Simulation de phénomènes | Enseignement Scientifique 1ère

Les variables changent continuellement au fil du temps.

Exemple : modélisation de la température dans une pièce

Les variables changent à des instants précis.

Exemple : simulation d'une file d'attente

Basée sur des événements qui se produisent à des moments spécifiques.

Exemple : simulation de processus biologiques

Comprendre le phénomène à simuler, ses variables et ses interactions.

Traduire les relations du système réel en équations ou algorithmes.

Coder le modèle dans un langage ou un logiciel approprié.

Vérifier que le modèle fonctionne correctement et reproduit fidèlement le phénomène réel.

• 1 Excel (tableurs)
• 2 Scratch (programmation visuelle)
• 3 Python (langage de programmation)
• 4 GeoGebra (modélisation géométrique)

• 1 Rapidité de calcul
• 2 Visualisation des résultats
• 3 Tests multiples avec différents paramètres
• 4 Reproductibilité des expériences

Pour un objet en chute libre sans frottement :

Où :

• v(t) est la vitesse à l'instant t
• g est l'accélération de la pesanteur (≈9,81 m/s²)
• h(t) est la hauteur à l'instant t
• h₀ est la hauteur initiale

On peut simuler ce phénomène en calculant la position et la vitesse à chaque intervalle de temps Δt.

Pour une réaction du type A → produits, la vitesse de réaction est souvent proportionnelle à la concentration de A :

Pour une réaction d'ordre 1 (n=1), la concentration évolue selon :

On peut simuler l'évolution de la concentration d'un réactif au cours du temps pour observer comment la réaction progresse.

Le modèle de croissance exponentielle suppose que la population augmente proportionnellement à sa taille actuelle :

Où :

• N(t) est la population à l'instant t
• N₀ est la population initiale
• r est le taux de croissance

Le modèle logistique prend en compte les ressources limitées :

Où K est la capacité maximale du milieu.

Permet d'étudier des phénomènes dangereux ou coûteux sans risque.

Permet de modifier facilement les paramètres pour observer leurs effets.

Permet d'observer des phénomènes lents ou rapides à notre rythme.

Moins coûteux que les expériences réelles répétitives.

Les modèles simplifient la réalité et peuvent omettre des facteurs importants.

Les résultats dépendent de la qualité des données d'entrée et du modèle.

Les résultats doivent être validés par des observations ou expériences réelles.

Données : T₀ = 100°C, Tₑ = 20°C, k = 0,1 min⁻¹

Formule : T(t) = 20 + (100 - 20) · e^(-0,1t) = 20 + 80 · e^(-0,1t)

Après 10 minutes : T(10) = 20 + 80·e^(-1) ≈ 20 + 80·0,368 ≈ 49,4°C

Après 20 minutes : T(20) = 20 + 80·e^(-2) ≈ 20 + 80·0,135 ≈ 30,8°C

Après 30 minutes : T(30) = 20 + 80·e^(-3) ≈ 20 + 80·0,050 ≈ 24,0°C

La température diminue exponentiellement et tend vers la température ambiante de 20°C.

τ = R·C = 10×10³ × 100×10⁻⁶ = 1 seconde

Uc(t) = 12(1 - e^(-t))

Après 1s (τ) : Uc(1) = 12(1 - e^(-1)) ≈ 12(1 - 0,368) ≈ 7,58V

Après 3s (3τ) : Uc(3) = 12(1 - e^(-3)) ≈ 12(1 - 0,050) ≈ 11,4V

Après 5s (5τ) : Uc(5) = 12(1 - e^(-5)) ≈ 12(1 - 0,007) ≈ 11,9V

Le condensateur atteint environ 63% de la tension finale après 1τ, et presque 100% après 5τ.

N₀ = 1000, T = 20 min

N(t) = 1000 · 2^(t/20)

Après 20 min : N(20) = 1000 · 2^(20/20) = 1000 · 2¹ = 2000

Après 40 min : N(40) = 1000 · 2^(40/20) = 1000 · 2² = 4000

Après 60 min : N(60) = 1000 · 2^(60/20) = 1000 · 2³ = 8000

Après 120 min (2h) : N(120) = 1000 · 2^(120/20) = 1000 · 2⁶ = 64000

La population double toutes les 20 minutes, montrant une croissance exponentielle.

• Méthode pour reproduire un phénomène réel à l'aide d'un modèle
• Utilisée pour comprendre, analyser et prédire

• Continue : variables changeant continuellement
• Discrète : variables changeant à des instants précis
• Événements discrets : basée sur des événements spécifiques

• Analyse du système réel
• Conception du modèle
• Implémentation
• Vérification et validation