Introduction au Codage Binaire | Sciences de l'Ingénieur 1ère

Utilise 10 symboles : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Position des chiffres : unités, dizaines, centaines, etc.

Exemple : 253 = 2×10² + 5×10¹ + 3×10⁰ = 200 + 50 + 3

Utilise 2 symboles : 0, 1

Position des bits : 2⁰, 2¹, 2², 2³, etc.

Exemple : 1101₂ = 1×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 4 + 0 + 1 = 13₁₀

Utilise 16 symboles : 0-9, A-F

Facilite la lecture des nombres binaires longs

Exemple : A3₁₆ = 10×16¹ + 3×16⁰ = 160 + 3 = 163₁₀

Pour convertir un nombre décimal en binaire :

1. Diviser le nombre par 2
2. Note le reste (0 ou 1)
3. Recommencer avec le quotient
4. Arrêter quand le quotient est 0
5. Le résultat est constitué des restes lus de bas en haut

25 ÷ 2 = 12 reste 1

12 ÷ 2 = 6 reste 0

6 ÷ 2 = 3 reste 0

3 ÷ 2 = 1 reste 1

1 ÷ 2 = 0 reste 1

11001₂ = 1×2⁴ + 1×2³ + 0×2² + 0×2¹ + 1×2⁰

= 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25₁₀ ✓

Pour convertir un nombre binaire en décimal :

1. Attribuer à chaque bit une puissance de 2
2. Commencer par 2⁰ pour le bit de droite
3. Multiplier chaque bit par sa puissance de 2
4. Additionner tous les résultats

Bits : 1 1 0 1 0

Puissances : 2⁴ 2³ 2² 2¹ 2⁰

Valeurs : 16 8 0 2 0

11010₂ = 1×2⁴ + 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 0×2⁰

= 1×16 + 1×8 + 0×4 + 1×2 + 0×1

= 16 + 8 + 0 + 2 + 0 = 26₁₀

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10 (soit 0 avec une retenue de 1)

1011 (11₁₀)

+ 1101 (13₁₀)

= 11000 (24₁₀)

0 × 0 = 0

0 × 1 = 0

1 × 0 = 0

1 × 1 = 1

101 (5₁₀)

× 11 (3₁₀)

= 1111 (15₁₀)

Sur n bits, on peut représenter des entiers de 0 à 2ⁿ - 1

Exemple sur 8 bits : 0 à 255

Exemple : 42₁₀ = 00101010₂

Le bit de poids fort indique le signe (0 = positif, 1 = négatif)

Sur n bits, on peut représenter des entiers de -2^(n-1) à 2^(n-1) - 1

Exemple sur 8 bits : -128 à 127

Pour -42₁₀ sur 8 bits :

1. Écrire 42 en binaire : 00101010
2. Inverser tous les bits : 11010101
3. Ajouter 1 : 11010110

Les processeurs exécutent des instructions codées en binaire.

La mémoire stocke les données sous forme binaire.

Les fichiers sont constitués de séquences binaires.

Les circuits logiques manipulent des signaux binaires (0 ou 1).

Les portes logiques (ET, OU, NON) effectuent des opérations binaires.

Les automates et microcontrôleurs traitent des données binaires.

• Smartphones : photos, vidéos, musique en binaire
• Internet : transmission des données en binaire
• Automobile : systèmes électroniques embarqués
• Médecine : imagerie médicale numérique

45 ÷ 2 = 22 reste 1

22 ÷ 2 = 11 reste 0

11 ÷ 2 = 5 reste 1

5 ÷ 2 = 2 reste 1

2 ÷ 2 = 1 reste 0

1 ÷ 2 = 0 reste 1

1100101₂ = 1×2⁶ + 1×2⁵ + 0×2⁴ + 0×2³ + 1×2² + 0×2¹ + 1×2⁰

= 64 + 32 + 0 + 0 + 4 + 0 + 1 = 101₁₀

255 ÷ 2 = 127 reste 1

127 ÷ 2 = 63 reste 1

63 ÷ 2 = 31 reste 1

31 ÷ 2 = 15 reste 1

15 ÷ 2 = 7 reste 1

7 ÷ 2 = 3 reste 1

3 ÷ 2 = 1 reste 1

1 ÷ 2 = 0 reste 1

255 = 2⁸ - 1, donc 255₁₀ = 11111111₂ (8 bits à 1).

C'est le plus grand nombre représentable sur 8 bits non signés.

1011 (11₁₀)

+ 1101 (13₁₀)

------

11000 (24₁₀)

Explication : 1+1=0 avec retenue, 1+0+1=0 avec retenue, etc.

101 (5₁₀)

× 11 (3₁₀)

------

101

101

------

1111 (15₁₀)

Question 1 : 11000₂ = 1×2⁴ + 1×2³ = 16 + 8 = 24₁₀

11₁₀ + 13₁₀ = 24₁₀ ✓

Question 2 : 1111₂ = 1×2³ + 1×2² + 1×2¹ + 1×2⁰ = 8 + 4 + 2 + 1 = 15₁₀

5₁₀ × 3₁₀ = 15₁₀ ✓

• Base 10 : 0-9, utilisé par les humains
• Base 2 : 0-1, utilisé par les machines
• Base 16 : 0-9,A-F, pour représenter de manière compacte

• Décimal → Binaire : divisions successives par 2
• Binaire → Décimal : multiplication par les puissances de 2
• Vérifier toujours ses conversions

• Addition : attention aux retenues
• Multiplication : similaire au décimal
• Essentiel pour les circuits logiques