Algèbre de Boole | Sciences de l'Ingénieur
Informations du Cours
Niveau 1ère - Transfert de l'information et logique
Introduction à l'Algèbre de Boole
Historique et Concepts Fondamentaux
L'algèbre de Boole a été introduite en 1847 par George Boole, un mathématicien britannique. Cette algèbre permet de traiter les propositions logiques en attribuant des valeurs binaires (0 ou 1) aux variables.
- 1 Une variable booléenne ne peut prendre que deux valeurs : 0 (faux) ou 1 (vrai)
- 2 On note souvent A, B, C... les variables booléennes
- 3 L'état complémentaire d'une variable A est noté Ā (A barre)
Opérations Logiques de Base
Les Trois Opérations de Base
L'opération NOT inverse la valeur de la variable : si A = 0 alors S = 1, si A = 1 alors S = 0.
| A | S = Ā |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
Opération ET (AND)
Fonctionnement de l'Opération ET
Notation : S = A.B ou S = A AND B
L'opération AND produit 1 seulement si toutes les entrées sont à 1.
| A | B | S = A.B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Opération OU (OR)
Fonctionnement de l'Opération OU
Notation : S = A+B ou S = A OR B
L'opération OR produit 1 si au moins une des entrées est à 1.
| A | B | S = A+B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Lois de l'Algèbre de Boole
Principes Fondamentaux
- 1 A + 0 = A
- 2 A . 1 = A
- 3 A + 1 = 1
- 4 A . 0 = 0
- 1 A + A = A
- 2 A . A = A
- 1 Ā = A (double négation)
Lois de Commutativité
Propriétés de Commutativité
L'ordre des opérandes n'affecte pas le résultat de l'opération ET.
L'ordre des opérandes n'affecte pas le résultat de l'opération OU.
- 1 A.B.C = C.B.A (commutativité de l'opération ET)
- 2 A+B+C = C+B+A (commutativité de l'opération OU)
Lois de Distributivité
Propriétés de Distributivité
L'opération ET est distributive par rapport à l'opération OU.
L'opération OU est distributive par rapport à l'opération ET.
Soit l'expression : A . (A + B)
En appliquant la distributivité : A . (A + B) = (A . A) + (A . B) = A + (A . B)
On peut encore simplifier : A + (A . B) = A (absorption)
Lois de Morgan
Principe Fondamental
L'inverse d'une somme logique est égal au produit logique des inverses.
L'inverse d'un produit logique est égal à la somme logique des inverses.
- 1 Simplification d'expressions logiques
- 2 Transformation de circuits logiques
- 3 Optimisation de circuits
- 4 Réduction du nombre de portes
Loi d'Absorption
Propriétés d'Absorption
La somme d'une variable et de son produit avec une autre variable est égale à la variable elle-même.
Le produit d'une variable et de sa somme avec une autre variable est égal à la variable elle-même.
A + (A . B) = A . 1 + A . B (car A = A . 1)
= A . (1 + B) (par distributivité)
= A . 1 (car 1 + B = 1)
= A
Tables de Vérité
Représentation des Fonctions Logiques
Une table de vérité est un tableau qui montre toutes les combinaisons possibles des variables d'entrée et la valeur correspondante de la fonction de sortie.
Pour n variables d'entrée, la table contient 2^n lignes.
| A | B | C | A.B | S = A.B + C |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Formes Canoniques
Somme de Produits et Produit de Sommes
La forme canonique disjonctive (ou forme normale disjonctive) est une somme de termes produits, où chaque terme produit contient toutes les variables.
Chaque terme produit correspond à une ligne de la table de vérité où la fonction vaut 1.
La forme canonique conjointive (ou forme normale conjonctive) est un produit de termes sommes, où chaque terme somme contient toutes les variables.
Chaque terme somme correspond à une ligne de la table de vérité où la fonction vaut 0.
Exemple d'Application
Simplification d'Expression
Étape 1 : Appliquer la loi A.Ā = 0
S = A.B + 0 + B.Ā = A.B + B.Ā
Étape 2 : Factoriser B
S = B.(A + Ā)
Étape 3 : Appliquer la loi A + Ā = 1
S = B.1 = B
| A | B | Ā | A.B | A.Ā | B.Ā | S = A.B + A.Ā + B.Ā | S = B |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
Exercice 1 : Analyse d'Expression
Problème à Résoudre
Soit l'expression logique : S = A.B + A.C + B.C
1. Donnez la table de vérité de cette expression.
2. Simplifiez l'expression en utilisant les lois de l'algèbre de Boole.
3. Dessinez le circuit logique correspondant à l'expression simplifiée.
Solution Exercice 1
Correction Détaillée
| A | B | C | A.B | A.C | B.C | S |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
Ajoutons A.B.C + A.B.C = A.B.C (car A.B.C + A.B.C = A.B.C)
S = A.B + A.C + B.C
= A.B.(C + C̄) + A.C.(B + B̄) + B.C.(A + Ā)
= A.B.C + A.B.C̄ + A.B.C + A.B̄.C + A.B.C + Ā.B.C
= A.B.C + A.B.C̄ + A.B̄.C + Ā.B.C
= A.B.C + A.B.C̄ + A.B̄.C + Ā.B.C
= A.B + A.C + B.C (cette expression ne se simplifie pas davantage)
Exercice 2 : Synthèse de Circuit
Problème de Synthèse
Soit la fonction logique S définie par la table de vérité suivante :
| A | B | C | S |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
1. Donnez la forme canonique disjonctive de S.
2. Simplifiez l'expression obtenue.
3. Dessinez le circuit logique correspondant.
Solution Exercice 2
Correction Détaillée
- 1 Ligne 2 : A=0, B=0, C=1 → Ā.B̄.C
- 2 Ligne 4 : A=0, B=1, C=1 → Ā.B.C
- 3 Ligne 6 : A=1, B=0, C=1 → A.B̄.C
- 4 Ligne 7 : A=1, B=1, C=0 → A.B.C̄
- 5 Ligne 8 : A=1, B=1, C=1 → A.B.C
On peut regrouper certains termes :
Applications Pratiques
Domaines d'Application
- 1 Informatique (processeurs, mémoires)
- 2 Électronique numérique
- 3 Automatismes industriels
- 4 Télécommunications
- 5 Systèmes embarqués
- 1 Détecteur de passage (porte AND)
- 2 Alarme de sécurité (porte OR)
- 3 Contrôle d'accès (porte XOR)
- 4 Systèmes de vote (portes complexes)
Résumé
Points Clés
- NOT : inversion logique (A → Ā)
- AND : conjonction logique (A, B → A.B)
- OR : disjonction logique (A, B → A+B)
- Lois de base (identités, idempotence, involution)
- Lois de commutativité
- Lois de distributivité
- Lois de Morgan
- Lois d'absorption
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences