- Arrangement périodique d'atomes dans l'espace
- Modélisée par un réseau de points identiques
- Maille élémentaire : unité de base du cristal
- 7 systèmes cristallins possibles
Structure cubique simple (CS) : Atomes situés uniquement aux 8 sommets du cube.
Atomes par maille : 8 × 1/8 = 1
Coordination : 6
- 3 axes de rotation d'ordre 4 (passant par les centres des faces opposées)
- 4 axes de rotation d'ordre 3 (passant par les diagonales du cube)
- 6 axes de rotation d'ordre 2 (passant par les milieux des arêtes opposées)
- 9 plans de symétrie
Structure cubique simple : a = b = c, α = β = γ = 90°
8 atomes aux sommets, chaque atome est partagé entre 8 mailles
Nombre d'atomes = 8 × (1/8) = 1 atome par maille
Dans CS, les atomes se touchent le long des arêtes : 2r = a
Donc r = a/2
Volume d'un atome = (4/3)πr³ = (4/3)π(a/2)³ = (πa³)/6
Volume de la maille = a³
Compacité = (Volume occupé)/(Volume total) = [(πa³)/6]/a³ = π/6 ≈ 0.52 ou 52%
La structure cubique simple a une compacité de π/6 ≈ 0.52 (52%)
• Paramètres de maille : a = b = c, α = β = γ = 90°
• Multiplicité : Un atome au sommet est partagé entre 8 mailles
• Compacité : Rapport entre volume occupé et volume total
Structure cubique face centrée (CFC) : Atomes aux 8 sommets et au centre des 6 faces.
Atomes par maille : 8×(1/8) + 6×(1/2) = 4
Coordination : 12
8 atomes aux sommets, 6 atomes aux centres des faces
Sommets : 8 × (1/8) = 1 atome
Faces : 6 × (1/2) = 3 atomes
Total : 4 atomes par maille
Sur la diagonale d'une face : 4r = a√2
Donc a = 4r/√2 = 2r√2
Axes de rotation : 3 d'ordre 4, 4 d'ordre 3, 6 d'ordre 2
Plans de symétrie : 9 plans
Centres d'inversion : 1 centre
La structure CFC appartient au groupe d'espace Fm3̄m
La structure CFC possède 4 atomes par maille, une coordination de 12, et un groupe de symétrie Fm3̄m avec 48 opérations de symétrie
• Coordination : Nombre de plus proches voisins
• Relation a-r : Sur la diagonale d'une face
• Groupe d'espace : Classification selon les opérations de symétrie
Structure hexagonale compacte (HCP) : Disposition compacte en couches ABAB...
Rapport idéal : c/a = 1.633
Atomes par maille : 6
Maille hexagonale avec 12 atomes aux sommets, 2 au centre des bases, 3 à l'intérieur
12 atomes aux sommets, chaque atome est partagé entre 6 mailles
Contribution : 12 × (1/6) = 2 atomes
2 atomes aux centres des bases, chaque atome est partagé entre 2 mailles
Contribution : 2 × (1/2) = 1 atome
3 atomes entièrement à l'intérieur de la maille
Contribution : 3 atomes
Total = 2 + 1 + 3 = 6 atomes par maille
La structure HCP contient 6 atomes par maille élémentaire
• Structure ABAB : Alternance des couches
• Multiplicités : Sommets (1/6), bases (1/2), intérieur (1)
• Compacité : 74% comme la structure CFC
Compacité : Taux de remplissage du volume par les atomes sphériques.
Atomes par maille : 1
Rayon : r = a/2
Volume occupé : (4/3)πr³ = (4/3)π(a/2)³ = (πa³)/6
Volume total : a³
Compacité CS = π/6 ≈ 0.52 (52%)
Atomes par maille : 2
Relation : 4r = a√3 (diagonale du cube)
Donc r = a√3/4
Volume occupé : 2 × (4/3)π(a√3/4)³ = 2 × (4/3)π × (3√3a³)/64 = (√3πa³)/8
Compacité CC = (√3π)/8 ≈ 0.68 (68%)
Atomes par maille : 4
Relation : 4r = a√2 (diagonale d'une face)
Donc r = a√2/4
Volume occupé : 4 × (4/3)π(a√2/4)³ = 4 × (4/3)π × (2√2a³)/64 = (√2πa³)/6
Compacité CFC = (√2π)/6 ≈ 0.74 (74%)
CFC (74%) > CC (68%) > CS (52%)
La structure la plus compacte minimise l'énergie du système
Ordre croissant de compacité : CS (52%) < CC (68%) < CFC (74%)
• Compacité maximale : 74% pour empilements compacts (CFC et HCP)
• Énergie de liaison : Structures plus compactes sont plus stables
• Coordination : Plus élevée dans les structures compactes
Structure NaCl : Réseau cubique à faces centrées avec alternance des ions Na⁺ et Cl⁻.
Coordination : 6 pour chaque ion
Groupe spatial : Fm3̄m
Paramètre : a ≈ 5.64 Å
Les ions Cl⁻ forment un réseau CFC, les ions Na⁺ occupent les sites octaédriques
Ions Cl⁻ : 8 × (1/8) + 6 × (1/2) = 4 ions
Ions Na⁺ : 12 × (1/4) + 1 × 1 = 4 ions
Formule : 4 NaCl par maille
Chaque ion Na⁺ est entouré de 6 ions Cl⁻
Chaque ion Cl⁻ est entouré de 6 ions Na⁺
Coordination : 6:6
Distance Na⁺-Cl⁻ = a/2 = 2.82 Å
Haute température de fusion, solubilité dans l'eau, conductivité électrique en solution
La structure NaCl est constituée de deux réseaux CFC imbriqués, avec une coordination de 6:6 et 4 unités formulaire par maille
• Structure ionique : Arrangement déterminé par les charges et tailles des ions
• Coordination : Minimisation de l'énergie électrostatique
• Rapport des rayons : r⁺/r⁻ ≈ 0.414 pour coordination 6
Système orthorhombique : a ≠ b ≠ c, α = β = γ = 90°
- 3 axes de rotation d'ordre 2 (le long des axes x, y, z)
- 3 plans de symétrie (perpendiculaires aux axes)
- 1 centre d'inversion
- 3 plans de symétrie supplémentaires (médians)
Paramètres : a ≠ b ≠ c, α = β = γ = 90°
3 axes d'ordre 2 le long des directions [100], [010], [001]
Plan xy (z = 0), plan xz (y = 0), plan yz (x = 0)
Plans médians : x = a/2, y = b/2, z = c/2
Point (0,0,0) ou (a/2, b/2, c/2) selon la variante
Selon la distribution des atomes, possible groupes : mm2, mmm, 222
Le système orthorhombique possède 3 plans de symétrie principaux et jusqu'à 3 plans supplémentaires, avec 3 axes d'ordre 2
• Plans de symétrie : Divisent la structure en deux parties équivalentes
• Groupes ponctuels : Classification selon les opérations de symétrie
• Centre d'inversion : Chaque point a un homologue symétrique
Densité d'un cristal : ρ = (Z × M) / (N_A × V_maille)
ρ = (Z × M) / (N_A × V_maille)
Z = nombre d'unités formulaire par maille
M = masse molaire de l'unité
N_A = nombre d'Avogadro = 6.022 × 10²³ mol⁻¹
V_maille = volume de la maille
Soit un cristal cubique simple avec Z = 1, M = 56 g/mol, a = 3 Å
V_maille = a³ = (3 × 10⁻¹⁰ m)³ = 27 × 10⁻³⁰ m³
V_maille = 27 × 10⁻²⁴ cm³
ρ = (1 × 56) / (6.022 × 10²³ × 27 × 10⁻²⁴)
ρ = 56 / (6.022 × 27 × 10⁻¹) = 56 / 16.26 = 3.44 g/cm³
Unités cohérentes : g/cm³ pour la densité
La densité d'un cristal se calcule avec la formule ρ = (Z × M) / (N_A × V_maille)
• Unités : S'assurer de la cohérence des unités
• Nombre d'Avogadro : Convertit mole en nombre d'unités
• Volume de la maille : Calculé à partir des paramètres de réseau
Système rhomboédrique : a = b = c, α = β = γ ≠ 90°
Exemple : Structure du CaCO₃ (calcite)
Groupe spatial : R3̄c
a = b = c, α = β = γ ≠ 90°
Les atomes sont positionnés aux coordonnées fractionnaires
Exemple : (0,0,0), (1/3, 2/3, 1/3), (2/3, 1/3, 2/3)
Un rhomboèdre est un prisme à base losange
Peut être vu comme une cellule primitive d'un réseau trigonal
Dans la calcite (CaCO₃), les atomes de Ca sont aux sommets
Les groupes CO₃²⁻ occupent des positions spécifiques
Les positions atomiques dans un système rhomboédrique sont définies par des coordonnées fractionnaires avec a = b = c et α = β = γ ≠ 90°
• Coordonnées fractionnaires : Comprises entre 0 et 1
• Équivalence : Points liés par translation du réseau
• Symétrie : Les positions respectent les opérations de symétrie
Système trigonal : a = b ≠ c, α = β = 90°, γ = 120°
- Axe de rotation d'ordre 3 selon [001]
- 3 axes de rotation d'ordre 2 dans le plan (xy)
- 3 plans de symétrie
- Absence de centre d'inversion dans certaines variantes
Paramètres : a = b ≠ c, α = β = 90°, γ = 120°
Axe d'ordre 3 selon la direction c (001)
3 plans de symétrie contenant l'axe principal
Le système trigonal peut présenter des propriétés optiques uniques
Exemple : biréfringence, pyroélectricité
18 groupes d'espace trigonaux possibles
Exemples : P3, P3₁, P3₂, R3, etc.
Le système trigonal présente un axe d'ordre 3 et des propriétés physiques uniques liées à sa symétrie particulière
• Ordre de rotation : Rotation de 360°/n avec n=3
• Propriétés tensorielles : La symétrie limite les coefficients non nuls
• Classes cristallines : 5 classes dans le système trigonal
Relation structure-propriétés : La structure cristalline détermine les propriétés physiques.
Structure cubique de type diamant (CFC avec motif de 2 atomes)
Propriétés : très dur, transparent, mauvais conducteur
Structure hexagonale avec couches
Propriétés : doux, conducteur dans les plans, lubrifiant
Isotropie vs anisotropie : dépend du système cristallin
Les cristaux cubiques sont isotropes pour certaines propriétés
Conductivité électrique, élasticité, susceptibilité magnétique
Représentées par des tenseurs d'ordre 2 ou supérieur
Matériaux piézoélectriques : absence de centre d'inversion
Matériaux ferroélectriques : moment dipolaire permanent
La structure cristalline détermine les propriétés physiques du matériau par les arrangements atomiques et la symétrie
• Théorème de Neumann : Propriétés physiques doivent respecter la symétrie du cristal
• Loi de Bravais : Forme des cristaux liée à la structure interne
• Symétrie et propriétés : Relations entre éléments de symétrie et coefficients tensoriels
