Distance géodésique : Plus courte distance entre deux points à la surface d'une sphère ou d'un ellipsoïde.
- Connaître les coordonnées géographiques des deux points
- Appliquer la formule de la distance orthodromique
- Convertir les angles en radians
- Effectuer le calcul trigonométrique
Paris : φ₁ = 48.8566°N, λ₁ = 2.3522°E
Marseille : φ₂ = 43.2964°N, λ₂ = 5.3698°E
φ₁ = 48.8566° × π/180° = 0.8527 rad
φ₂ = 43.2964° × π/180° = 0.7557 rad
Δλ = (5.3698 - 2.3522)° × π/180° = 3.0176° × π/180° = 0.0526 rad
d = R × arccos(sin φ₁ × sin φ₂ + cos φ₁ × cos φ₂ × cos Δλ)
d = 6371 × arccos(sin(0.8527) × sin(0.7557) + cos(0.8527) × cos(0.7557) × cos(0.0526))
sin(0.8527) = 0.7523
sin(0.7557) = 0.6840
cos(0.8527) = 0.6588
cos(0.7557) = 0.7293
cos(0.0526) = 0.9986
d = 6371 × arccos(0.7523 × 0.6840 + 0.6588 × 0.7293 × 0.9986)
d = 6371 × arccos(0.5146 + 0.4804) = 6371 × arccos(0.9950)
d = 6371 × 0.0998 = 636 km
La distance géodésique entre Paris et Marseille est de 636 km
• Formule orthodromique : d = R × arccos(sin φ₁ × sin φ₂ + cos φ₁ × cos φ₂ × cos Δλ)
• Rayon terrestre : R = 6371 km
• Angles en radians : Nécessaire pour les fonctions trigonométriques
Projection Lambert : Projection cartographique conique conforme utilisée en France.
France utilise RGF93/Lambert 93
Origine : Latitude φ₀ = 46.5°N, Longitude λ₀ = 3°E
Facteur d'échelle : k₀ = 0.99987742
Point A : φ = 48.8566°N, λ = 2.3522°E
Δλ = λ - λ₀ = 2.3522° - 3° = -0.6478°
X = E₀ + k₀ × R × (λ - λ₀) × cos(φ₀)
Y = N₀ + k₀ × R × (φ - φ₀)
E₀ = 700000 m (faux Est)
N₀ = 6600000 m (faux Nord)
R = rayon de la sphère de conformité ≈ 6371000 m
Δλ = -0.6478° × π/180° = -0.0113 rad
Δφ = (48.8566 - 46.5)° × π/180° = 2.3566° × π/180° = 0.0411 rad
X = 700000 + 0.99987742 × 6371000 × (-0.0113) × cos(46.5°)
X = 700000 + 0.99987742 × 6371000 × (-0.0113) × 0.6880 = 652724 m
Y = 6600000 + 0.99987742 × 6371000 × 0.0411 = 6862345 m
Les coordonnées Lambert 93 de Paris sont environ X=652724 m, Y=6862345 m
• Système RGF93 : Référentiel géodésique français actuel
• Projection Lambert : Conique conforme minimisant les déformations
• Faux Est/Nord : Pour éviter les coordonnées négatives
Géoïde : Surface équipotentielle du champ de gravité terrestre, proche du niveau moyen des mers.
Hauteur ellipsoïdale (h) : Distance au-dessus de l'ellipsoïde de référence
Hauteur orthométrique (H) : Distance au-dessus du géoïde
Niveau du géoïde (N) : Différence entre ellipsoïde et géoïde
h = H + N
Où h est la hauteur ellipsoïdale, H la hauteur orthométrique, N le nivellement du géoïde
Point A mesuré par GPS : h = 150.00 m (hauteur ellipsoïdale)
Modèle géoïdal (EGM2008) donne : N = 47.50 m
H = h - N = 150.00 - 47.50 = 102.50 m
Le point A est à 102.50 m au-dessus du niveau de la mer (géoïde)
Et à 150.00 m au-dessus de l'ellipsoïde de référence
La hauteur orthométrique du point est de 102.50 m au-dessus du géoïde
• Relation fondamentale : h = H + N
• Géoïde : Surface de référence pour les altitudes
• GPS : Fournit la hauteur ellipsoïdale, pas orthométrique
Triangulation : Méthode de mesure de distances et de positions basée sur la géométrie des triangles.
Connaître une distance de base (base géodésique) et mesurer des angles pour déterminer des distances inaccessibles
ΔABC : a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R
Où a, b, c sont les côtés opposés aux angles A, B, C
Soit une base AB = 1000 m
Angles mesurés : ∠CAB = 45°, ∠CBA = 60°
∠ACB = 180° - 45° - 60° = 75°
AC/sin(60°) = AB/sin(75°)
AC = AB × sin(60°)/sin(75°) = 1000 × 0.866/0.966 = 896 m
Les géodésiens formaient des réseaux de triangles pour cartographier la Terre
Exemple : Le méridien de Paris mesuré par Delambre et Méchain
La triangulation permet de mesurer des distances inaccessible directement en utilisant la géométrie des triangles
• Loi des sinus : a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)
• Précision : Plusieurs triangles pour couvrir une zone
• Application : Cartographie, mesure de la Terre
Trilatération : Méthode de positionnement basée sur les distances à plusieurs satellites.
Recevoir des signaux de 4 satellites ou plus
Calculer la distance à chaque satellite par le temps de propagation
Intersection des sphères de position
d = c × Δt
Où c = vitesse de la lumière (299 792 458 m/s)
Δt = différence entre temps d'émission et de réception
Pour 4 satellites, on a 4 équations du type :
(x - xᵢ)² + (y - yᵢ)² + (z - zᵢ)² = (c(t - tᵢ) + b)²
Où (x,y,z) est la position du récepteur, (xᵢ,yᵢ,zᵢ) position satellite
t est le temps récepteur, tᵢ le temps satellite, b l'erreur d'horloge
4 équations, 4 inconnues : x, y, z (position) et b (décalage horloge)
Solution par méthodes numériques (itérations)
Précision : 3-5 mètres en positionnement standard
Correction des erreurs : Ionosphère, troposphère, multipath
Le GPS détermine la position par trilatération en mesurant les distances à au moins 4 satellites
• Trilatération : Intersection de sphères de position
• Temps de vol : d = c × Δt
• Quatre satellites : Pour résoudre les 4 inconnues
Déformation cartographique : Altération des distances, angles ou surfaces lors de la projection.
Conforme : Préserve les angles mais déforme les surfaces
Équivalente : Préserve les surfaces mais déforme les angles
Équidistante : Préserve certaines distances
Conforme : Préserve les angles
Déforme les surfaces : Les pôles sont infiniment étirés
Exemple : Le Groenland semble aussi grand que l'Afrique
Conique conforme
Bonne précision pour les zones moyennes latitudes
Minimise les déformations en France
Facteur d'échelle : k = ds_projecté/ds_réel
Où ds est un élément infinitésimal de distance
Pour une projection Lambert à φ = 45°, le facteur d'échelle est :
k = 0.99987742 + 0.00012258 × (φ - 46.5°)²
Pour φ = 45° : k = 0.99987742 + 0.00012258 × (-1.5°)² = 0.999900
Soit une déformation de 0.01%
Les projections cartographiques introduisent des déformations inévitables, le choix dépend de l'usage prévu
• Impossibilité : Impossible de conserver angles, distances et surfaces simultanément
• Projection adaptée : Choisir selon la zone géographique et l'application
• Quantification : Facteur d'échelle pour mesurer la déformation
Système de référence : Ensemble de paramètres définissant un repère spatial pour la géodésie.
NTF (Nouvelle Triangulation Française) : Basé sur l'ellipsoïde de Clarke 1880
Datum : Ancrage local, pas global
Basé sur l'ellipsoïde GRS80
Centré sur la Terre (géocentrique)
Lié au système international ITRF
Utilisé par le GPS
Très proche de RGF93 (différence < 1 mètre)
Clarke 1880 : a = 6378249.2 m, b = 6356515.0 m
GRS80 : a = 6378137.0 m, b = 6356752.3 m
WGS84 : a = 6378137.0 m, b = 6356752.3 m (identique à GRS80)
Transformation Helmert : 7 paramètres (translation, rotation, échelle)
Exemple : NTF → RGF93 nécessite une transformation précise
RGF93 est le système de référence officiel français, basé sur un ellipsoïde géocentrique moderne
• Évolution : Du local au global (géocentrique)
• Ellipsoïde : Paramètres précis pour la modélisation de la Terre
• Compatibilité : Nécessité de transformations entre systèmes
Correction altimétrique : Ajustement des mesures géodésiques en fonction de l'altitude.
g(h) ≈ g₀(1 - 2h/R)
Où h est l'altitude, R le rayon terrestre
À haute altitude, la surface de la Terre est plus éloignée du centre
Les distances mesurées sur la surface doivent être réduites au niveau de la mer
Quand on mesure à l'altitude h, la hauteur ellipsoïdale devient : h_corr = h_mesurée + h_altitude
Altitude : h = 4809 m
Correction gravité : Δg = g₀ × 2h/R = 9.8 × 2 × 4809 / 6,371,000 = 0.0148 m/s²
Gravité au sommet : g = 9.8 - 0.0148 = 9.7852 m/s²
Le GPS mesure la hauteur ellipsoïdale, pas orthométrique
À haute altitude, la différence entre géoïde et ellipsoïde peut varier
Correction nécessaire pour des applications précises
L'altitude affecte la gravité, les distances mesurées et les conversions de hauteur en géodésie
• Correction gravité : g(h) ≈ g₀(1 - 2h/R)
• Hauteurs : Distinction entre ellipsoïdale et orthométrique
• GPS : Nécessite correction pour haute précision
Erreurs géodésiques : Sources d'imprécision dans les mesures de position et de distance.
Erreurs systématiques : Tendance constante (biais)
Erreurs aléatoires : Fluctuations autour de la vraie valeur
Erreurs grossières : Fautes humaines ou instrumentales
Précision des instruments de mesure
Calibration incorrecte
Vieillissement des équipements
Conditions atmosphériques (température, pression)
Ionosphère et troposphère (pour les signaux GPS)
Conditions météorologiques pour les mesures optiques
Approximation de la forme de la Terre
Modèle de géoïde imparfait
Choix inapproprié de la projection cartographique
Évaluation statistique (écart-type, précision)
Contrôles et validations multiples
Utilisation de points de contrôle connus
Les erreurs en géodésie proviennent de multiples sources et doivent être soigneusement gérées pour garantir la précision
• Classification : Systématiques vs aléatoires vs grossières
• Propagation : Accumulation des erreurs dans les calculs
• Qualité : Indispensable pour des applications critiques
Applications modernes : Domaines d'application avancés de la géodésie dans la société contemporaine.
GPS intégré dans les véhicules et smartphones
Aviation et maritime : Navigation précise
Guidage automatique et véhicules autonomes
Surveillance des glaciers et calottes polaires
Observation des changements du niveau de la mer
Surveillance des volcans et séismes
GPS pour le guidage des machines agricoles
Cartographie des rendements et des besoins en intrants
Optimisation de l'utilisation des terres
Positionnement précis pour les grands projets
Surveillance des structures (ponts, barrages)
Arpentage et cadastre
Intégration de l'intelligence artificielle
Surveillance en temps réel
Amélioration continue de la précision (centimétrique voire millimétrique)
La géodésie moderne s'applique à de nombreux domaines, de la navigation à la surveillance environnementale
• Interopérabilité : Systèmes coordonnés mondialement
• Précision : En constante amélioration pour de nouvelles applications
• Transversalité : Domaine fondamental pour de nombreuses sciences
