| Note | Fréquence (Hz) | Position |
|---|---|---|
| Do₃ | 261.6 | 0 |
| Do#₃ | 277.2 | 1 |
| Ré₃ | 293.7 | 2 |
| Ré#₃ | 311.1 | 3 |
| Mi₃ | 329.6 | 4 |
| Fa₃ | 349.2 | 5 |
| Fa#₃ | 370.0 | 6 |
| Sol₃ | 392.0 | 7 |
| Sol#₃ | 415.3 | 8 |
| La₃ | 440.0 | 9 |
| La#₃ | 466.2 | 10 |
| Si₃ | 493.9 | 11 |
Octave : Intervalle entre deux notes dont la fréquence est dans un rapport de 2:1. Do₃ = 261.6 Hz, donc Do₄ = 2 × 261.6 = 523.2 Hz.
- Identifier la note de départ (Do₃ = 261.6 Hz)
- Déterminer le nombre de demi-tons à monter (12 demi-tons pour une octave)
- Appliquer la formule : f_n = f_0 × 2^(n/12)
- Calculer : f₁₂ = 261.6 × 2^(12/12) = 261.6 × 2 = 523.2 Hz
La fréquence de Do₃ est de 261.6 Hz.
Do₃ à Do₄ = 12 demi-tons (une octave complète).
f_n = f_0 × 2^(n/12) = 261.6 × 2^(12/12) = 261.6 × 2¹ = 523.2 Hz.
La fréquence de Do₄ est bien le double de celle de Do₃.
La fréquence de la note Do₄ est de 523.2 Hz, ce qui correspond exactement au double de la fréquence de Do₃ (261.6 Hz).
• Formule : f_n = f_0 × 2^(n/12)
• Octave : Rapport 2:1 de fréquence
• Nombre de demi-tons : 12 par octave
Intervalle de quinte : 7 demi-tons correspondent à une quinte juste. La₃ = 440 Hz, donc la note 7 demi-tons au-dessus est Ré₄.
La fréquence de La₃ est de 440 Hz (diapason standard).
Utilisation de la formule : f_n = f_0 × 2^(n/12) avec n = 7.
f₇ = 440 × 2^(7/12) = 440 × 2^(0.5833) ≈ 440 × 1.4983 ≈ 659.2 Hz.
7 demi-tons au-dessus de La₃ = La#, Si, Do, Do#, Ré = Ré₄.
La fréquence de Ré₄ est effectivement d'environ 659.2 Hz.
La note située 7 demi-tons au-dessus de La₃ (440 Hz) est Ré₄ avec une fréquence d'environ 659.2 Hz.
• Formule : f_n = f_0 × 2^(n/12)
• Intervalle : 7 demi-tons = quinte juste
• Valeur : 2^(7/12) ≈ 1.4983
Deux octaves : Mi₃ à Mi₅ = 2 octaves = 24 demi-tons. La fréquence double à chaque octave.
La fréquence de Mi₃ est de 329.6 Hz.
De Mi₃ à Mi₅ = 2 octaves = 2 × 12 = 24 demi-tons.
f₂₄ = 329.6 × 2^(24/12) = 329.6 × 2² = 329.6 × 4 = 1318.4 Hz.
Mi₃ (329.6 Hz) → Mi₄ (659.2 Hz) → Mi₅ (1318.4 Hz).
La fréquence de Mi₅ est 4 fois celle de Mi₃ (2²).
La fréquence de Mi₅ est de 1318.4 Hz, ce qui correspond à 4 fois la fréquence de Mi₃ (329.6 Hz).
• Formule : f_n = f_0 × 2^(n/12)
• Octaves : Chaque octave double la fréquence
• Deux octaves : Multiplie par 4 la fréquence
Calcul inverse : Si f₁ et f₂ sont deux fréquences, alors n = 12 × log₂(f₂/f₁) donne le nombre de demi-tons entre elles.
Partir de f_n = f_0 × 2^(n/12) et isoler n.
f₂/f₁ = 2^(n/12), donc log₂(f₂/f₁) = n/12, d'où n = 12 × log₂(f₂/f₁).
Entre 440 Hz et 880 Hz : n = 12 × log₂(880/440) = 12 × log₂(2) = 12 × 1 = 12 demi-tons.
Entre 440 Hz et 659.2 Hz : n = 12 × log₂(659.2/440) = 12 × log₂(1.498) ≈ 12 × 0.583 ≈ 7 demi-tons.
7 demi-tons correspondent à une quinte (La₃ à Ré₄).
Le nombre de demi-tons entre deux fréquences f₁ et f₂ est donné par n = 12 × log₂(f₂/f₁), permettant de déterminer l'intervalle musical.
• Formule inverse : n = 12 × log₂(f₂/f₁)
• Logarithme : Base 2 pour la gamme tempérée
• Application : Déterminer les intervalles
Progression géométrique : La fréquence de chaque note est obtenue en multipliant la précédente par 2^(1/12) ≈ 1.059.
Chaque demi-ton multiplie la fréquence par r = 2^(1/12) ≈ 1.05946.
Si f₀ est la fréquence initiale, alors f_n = f₀ × r^n = f₀ × (2^(1/12))^n = f₀ × 2^(n/12).
Do₃ = 261.6 Hz, Do#₃ = 261.6 × 1.059 ≈ 277.2 Hz, Ré₃ = 277.2 × 1.059 ≈ 293.7 Hz.
Après 12 multiplications : 261.6 × (1.059)^12 ≈ 261.6 × 2 = 523.2 Hz = Do₄.
La gamme tempérée égale assure que (2^(1/12))^12 = 2, donc une octave exacte.
Les fréquences des notes successives forment une suite géométrique de raison 2^(1/12) ≈ 1.059, assurant une division égale de l'octave en 12 demi-tons.
• Suite géométrique : f_n = f_0 × r^n
• Raison : r = 2^(1/12)
• Propriété : r^12 = 2 (octave exacte)
Position dans la gamme : Chaque note a une position numérique permettant de calculer sa fréquence à partir d'une référence (ex: La₃ = 440 Hz).
Attribuer une position à chaque note (ex: La₃ = 0, La#₃ = 1, Si₃ = 2, etc.).
Si la fréquence de référence est f_ref à la position n_ref, alors f_n = f_ref × 2^((n-n_ref)/12).
Pour Do₄ (position 12 si La₃ = 0) : f = 440 × 2^((12-0)/12) = 440 × 2^1 = 880 Hz.
Pour Sol₃ (position -2 si La₃ = 0) : f = 440 × 2^((-2-0)/12) = 440 × 2^(-1/6) ≈ 392 Hz.
La position permet de calculer n'importe quelle fréquence à partir d'une référence connue.
La fréquence d'une note se calcule à partir de sa position dans la gamme avec f_n = f_ref × 2^((n-n_ref)/12), où f_ref est une fréquence de référence connue.
• Formule : f_n = f_ref × 2^((n-n_ref)/12)
• Position : Numéro relatif à la référence
• Flexibilité : Peut utiliser n'importe quelle référence
Corde vibrante : La fréquence fondamentale est inversement proportionnelle à la longueur de la corde : f ∝ 1/L.
La fréquence fondamentale d'une corde est : f = (1/2L) × √(T/μ), où L est la longueur, T la tension, μ la masse linéique.
Si la tension et la masse linéique sont constantes, alors f ∝ 1/L.
Si une corde de 60 cm produit un La₃ (440 Hz), une corde de 30 cm produira un La₄ (880 Hz).
Sur une guitare, en appuyant sur les frettes, on diminue L et augmente f.
Si L₁ = 60 cm, f₁ = 440 Hz, et L₂ = 40 cm, alors f₂ = f₁ × (L₁/L₂) = 440 × (60/40) = 660 Hz.
La fréquence d'une corde vibrante est inversement proportionnelle à sa longueur : f ∝ 1/L, ce qui explique comment les instruments à cordes produisent différentes notes.
• Formule : f = (1/2L) × √(T/μ)
• Proportionnalité : f ∝ 1/L
• Application : Instruments à cordes
Intervalles justes : Rapports simples de fréquence basés sur les harmoniques naturels (ex: octave 2:1, quinte 3:2, quarte 4:3).
Octave : 2/1 = 2.000, Quinte : 3/2 = 1.500, Quarte : 4/3 = 1.333, Tierce majeure : 5/4 = 1.250.
Quinte tempérée : 2^(7/12) ≈ 1.4983 vs quinte juste : 3/2 = 1.500 (différence = comma).
Si La₃ = 440 Hz, alors la quinte juste Mi₄ = 440 × 3/2 = 660 Hz.
Dans le tempérament égal, Mi₄ = 440 × 2^(7/12) ≈ 659.2 Hz (légèrement plus bas).
Les intervalles justes sont utilisés dans le chant a cappella et certains instruments anciens.
Les intervalles justes reposent sur des rapports simples de fréquence (2:1, 3:2, 4:3), offrant une consonance pure mais limitant la modulation, contrairement au tempérament égal.
• Intervalles justes : Rapports entiers simples
• Octave : 2:1
• Quinte : 3:2
Période : Durée d'une oscillation complète, inverse de la fréquence : T = 1/f.
La période T (en secondes) est l'inverse de la fréquence f (en hertz) : T = 1/f.
Pour La₃ = 440 Hz, T = 1/440 ≈ 0.00227 s = 2.27 ms.
Pour Do₃ = 261.6 Hz, T = 1/261.6 ≈ 0.00382 s = 3.82 ms.
Si la fréquence double (une octave plus haut), la période est divisée par 2.
Pour les fréquences audio, la période est souvent exprimée en millisecondes (ms).
La période d'une note musicale est l'inverse de sa fréquence : T = 1/f. Par exemple, La₃ (440 Hz) a une période de 2.27 ms.
• Relation : T = 1/f
• Unités : T en secondes, f en hertz
• Octave : Doublement de f = Division par 2 de T
Accord pythagoricien : Basé sur des quintes pures (rapport 3:2), contrairement au tempérament égal qui divise l'octave en 12 parties égales.
On part d'une note de base et on monte par quintes pures (×3/2), ramenant dans l'octave (÷2) si nécessaire.
12 quintes pures (3/2)^12 ≈ 129.746 ne correspondent pas exactement à 7 octaves (2^7 = 128).
On divise l'octave en 12 demi-tons égaux, chaque quinte valant 2^(7/12) ≈ 1.4983 (légèrement inférieure à 3/2).
Permet la modulation libre entre toutes les tonalités sans réaccordage.
Pythagoricien : quintes pures mais tierces impures, Tempérament égal : compromis équilibré entre toutes les consonances.
Le système pythagoricien utilise des quintes pures mais crée des dissonances dans certaines tonalités, tandis que le tempérament égal distribue uniformément les imperfections pour permettre la modulation libre.
• Pythagoricien : Quintes pures (3:2)
• Tempérament égal : Demi-tons égaux
• Compromis : Pureté vs flexibilité
