Fonction affine : Fonction de la forme y = ax + b, où a est la pente et b l'ordonnée à l'origine.
Utiliser la méthode des moindres carrés ou résoudre un système d'équations à partir des points donnés.
Points donnés : (0,2), (1,5), (2,8), (3,11)
Quand x augmente de 1, y augmente de 3
Donc la pente a = 3
Quand x = 0, y = 2
Donc b = 2
y = 3x + 2
Pour x = 1 : y = 3(1) + 2 = 5 ✓
Pour x = 2 : y = 3(2) + 2 = 8 ✓
Pour x = 3 : y = 3(3) + 2 = 11 ✓
a = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) = (5 - 2)/(1 - 0) = 3
Équation : y - y₁ = a(x - x₁)
y - 2 = 3(x - 0)
y = 3x + 2
Le modèle linéaire montre une croissance constante de 3 unités par unité de x
Le modèle linéaire est : y = 3x + 2, où a = 3 (pente) et b = 2 (ordonnée à l'origine).
• Fonction affine : y = ax + b, avec a=pente, b=ordonnée à l'origine
• Pente : a = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
• Vérification : Remplacer les points dans l'équation pour confirmer
Fonction quadratique : Fonction de la forme y = ax² + bx + c, avec a ≠ 0.
Points : (0,1), (1,3), (2,7)
Pour (0,1) : 1 = a(0)² + b(0) + c → c = 1
Pour (1,3) : 3 = a(1)² + b(1) + c → a + b + 1 = 3 → a + b = 2
Pour (2,7) : 7 = a(2)² + b(2) + c → 4a + 2b + 1 = 7 → 4a + 2b = 6
On a : a + b = 2 et 4a + 2b = 6
De la première équation : b = 2 - a
Substituer dans la deuxième : 4a + 2(2-a) = 6
4a + 4 - 2a = 6
2a = 2
a = 1
b = 2 - a = 2 - 1 = 1
y = ax² + bx + c = 1·x² + 1·x + 1 = x² + x + 1
Pour x = 0 : y = 0² + 0 + 1 = 1 ✓
Pour x = 1 : y = 1² + 1 + 1 = 3 ✓
Pour x = 2 : y = 2² + 2 + 1 = 7 ✓
Le modèle quadratique est : y = x² + x + 1, avec a = 1, b = 1, c = 1.
• Fonction quadratique : y = ax² + bx + c
• Système d'équations : Utiliser les points pour former des équations
• Résolution : Méthode par substitution ou élimination
Fonction exponentielle : Fonction de la forme N(t) = N₀·e^(kt), où N₀ est la valeur initiale et k le taux de croissance.
N(0) = 100 → N₀ = 100
N(1) = 150
N(t) = 100·e^(kt)
N(1) = 100·e^(k·1) = 150
100·e^k = 150
e^k = 150/100 = 1.5
k = ln(1.5)
k ≈ 0.405
N(t) = 100·e^(0.405t)
N(0) = 100·e^(0) = 100·1 = 100 ✓
N(1) = 100·e^(0.405) ≈ 100·1.5 = 150 ✓
Le taux de croissance est de 40.5% par unité de temps
Le modèle exponentiel est : N(t) = 100·e^(0.405t), avec N₀ = 100 et k ≈ 0.405.
• Fonction exponentielle : N(t) = N₀·e^(kt)
• Logarithme naturel : ln(e^x) = x
• Taux de croissance : k > 0 pour croissance, k < 0 pour décroissance
Loi de Newton du refroidissement : T(t) = T∞ + (T₀ - T∞)·e^(-kt), où T∞ est la température ambiante.
T₀ = 80°C (température initiale)
T∞ = 20°C (température ambiante)
T(10) = 50°C (température après 10 minutes)
T(t) = 20 + (80 - 20)·e^(-kt)
T(t) = 20 + 60·e^(-kt)
50 = 20 + 60·e^(-10k)
30 = 60·e^(-10k)
0.5 = e^(-10k)
ln(0.5) = -10k
-ln(2) = -10k
k = ln(2)/10
k ≈ 0.0693 min⁻¹
T(t) = 20 + 60·e^(-0.0693t)
T(0) = 20 + 60·e^0 = 20 + 60 = 80°C ✓
T(10) = 20 + 60·e^(-0.693) = 20 + 60·0.5 = 50°C ✓
Le modèle de refroidissement est : T(t) = 20 + 60·e^(-0.0693t), avec k ≈ 0.0693 min⁻¹.
• Loi de Newton : T(t) = T∞ + (T₀ - T∞)·e^(-kt)
• Constante de temps : Plus k est grand, plus le refroidissement est rapide
• Équilibre : lim(t→∞) T(t) = T∞
Fonction logistique : Modèle de croissance bornée, souvent utilisé pour représenter la croissance d'une population ou d'une plante.
Hauteur initiale : h(0) = 5 cm
Hauteur maximale (plafond) : L = 50 cm
Forme générale : h(t) = L/(1 + A·e^(-kt))
Où L est le plafond de croissance
A et k sont des constantes à déterminer
h(0) = 5 = 50/(1 + A·e^0) = 50/(1 + A)
5(1 + A) = 50
5 + 5A = 50
5A = 45
A = 9
h(t) = 50/(1 + 9·e^(-kt))
Quand t → ∞ : h(t) → 50 cm (plafond)
Quand t = 0 : h(0) = 50/(1 + 9) = 50/10 = 5 cm
La croissance est rapide au début, puis ralentit en approchant le plafond
k détermine la rapidité de la croissance
Plus k est grand, plus la croissance est rapide
Le modèle logistique est : h(t) = 50/(1 + 9·e^(-kt)), avec plafond de 50 cm et hauteur initiale de 5 cm.
• Fonction logistique : h(t) = L/(1 + A·e^(-kt))
• Plafond : Limite supérieure de croissance
• Paramètre A : Dépend de la condition initiale
Modèle exponentiel d'épidémie : Modèle de propagation où le nombre de cas augmente exponentiellement dans les premières phases.
Nombre initial d'infectés : N(0) = 10
Nombre d'infectés après 2 jours : N(2) = 40
N(t) = N₀·e^(kt)
N₀ = 10 (nombre initial)
N(t) = 10·e^(kt)
40 = 10·e^(2k)
4 = e^(2k)
ln(4) = 2k
k = ln(4)/2 = ln(2²)/2 = 2ln(2)/2 = ln(2)
k ≈ 0.693
N(t) = 10·e^(0.693t)
Ou N(t) = 10·2^t (formulation équivalente)
N(0) = 10·e^0 = 10·1 = 10 ✓
N(2) = 10·e^(1.386) = 10·e^(2ln(2)) = 10·e^(ln(4)) = 10·4 = 40 ✓
Le nombre de cas double tous les jours (puisque k = ln(2) ≈ 0.693)
Le modèle exponentiel est : N(t) = 10·e^(0.693t) ou N(t) = 10·2^t, avec taux de croissance k ≈ 0.693.
• Modèle exponentiel : N(t) = N₀·e^(kt)
• Doublement : Si k = ln(2)/T, alors la quantité double tous les T unités de temps
• Épidémie : Valable uniquement dans les premières phases
Loi de la chute libre : La distance parcourue suit un modèle quadratique d = ½gt², où g est l'accélération gravitationnelle.
g = 9.8 m/s² (accélération gravitationnelle)
Modèle : d = ½gt²
d(t) = ½ × 9.8 × t²
d(t) = 4.9t²
d(3) = 4.9 × (3)²
d(3) = 4.9 × 9
d(3) = 44.1 m
[d] = [g][t²] = (m/s²)(s²) = m ✓
La distance augmente quadratiquement avec le temps
La vitesse augmente linéairement : v(t) = gt = 9.8t
Ce modèle suppose une chute libre sans résistance de l'air
Pour des vitesses élevées, la résistance de l'air devient significative
La distance parcourue après 3 secondes est : d(3) = 44.1 mètres, selon le modèle d = 4.9t².
• Chute libre : d = ½gt² (sans vitesse initiale)
• Quadratique : La distance croît avec le carré du temps
• Limite : Valable uniquement sans résistance de l'air
Modèle exponentiel de décharge : Q(t) = Q₀·e^(-t/τ), où τ est la constante de temps du circuit.
Q₀ = 100% (charge initiale)
τ = 5h (constante de temps)
Modèle : Q(t) = Q₀·e^(-t/τ)
Q(t) = 100·e^(-t/5)
Q(10) = 100·e^(-10/5)
Q(10) = 100·e^(-2)
Q(10) = 100·e^(-2) ≈ 100·0.135
Q(10) ≈ 13.5%
Q(τ) = Q(5) = 100·e^(-5/5) = 100·e^(-1) ≈ 100·0.368 = 36.8%
Après 1 constante de temps (5h), la charge est réduite à 36.8% de sa valeur initiale
Après 2 constantes de temps (10h), la charge est réduite à 13.5% de sa valeur initiale
La décharge suit une loi exponentielle décroissante
La vitesse de décharge est proportionnelle à la charge restante
Après 10 heures, la batterie conserve environ 13.5% de sa charge initiale : Q(10) ≈ 13.5%.
• Décharge exponentielle : Q(t) = Q₀·e^(-t/τ)
• Constante de temps : Temps pour atteindre 36.8% de la valeur initiale
• Asymptote : Q(t) → 0 quand t → ∞ (théoriquement)
Décroissance exponentielle : C(t) = C₀·e^(-kt), modèle utilisé pour la désintégration radioactive, la décroissance de substances chimiques, etc.
Modèle : C(t) = C₀·e^(-kt)
Condition : C(2) = C₀/4
C(2) = C₀·e^(-2k) = C₀/4
e^(-2k) = 1/4
-2k = ln(1/4) = ln(1) - ln(4) = 0 - ln(4) = -ln(4)
2k = ln(4) = ln(2²) = 2ln(2)
k = ln(2)
k ≈ 0.693
C(t) = C₀·e^(-0.693t)
Ou C(t) = C₀·(1/2)^(t/1) = C₀·(1/2)^t (puisque k = ln(2))
C(0) = C₀·e^0 = C₀ ✓
C(2) = C₀·e^(-2ln(2)) = C₀·e^(ln(2⁻²)) = C₀·e^(ln(1/4)) = C₀·(1/4) = C₀/4 ✓
La concentration diminue de moitié chaque unité de temps (période de demi-vie = 1)
La demi-vie est indépendante de la concentration initiale
k = ln(2) ≈ 0.693 est le taux de décroissance
Plus k est grand, plus la décroissance est rapide
Le coefficient k est : k = ln(2) ≈ 0.693, donc le modèle est C(t) = C₀·e^(-0.693t).
• Décroissance exponentielle : C(t) = C₀·e^(-kt)
• Demi-vie : Temps pour réduire la concentration de moitié
• Relation : k = ln(2)/t₁/₂
Loi de l'inverse du carré : I(d) = I₀/d², modèle de décroissance de l'intensité lumineuse avec la distance.
I₀ = 100 (intensité à la source)
Modèle : I(d) = I₀/d²
Distance demandée : d = 5
I(d) = 100/d²
I(5) = 100/5²
I(5) = 100/25
I(5) = 4
I(1) = 100/1² = 100
I(2) = 100/2² = 100/4 = 25
I(10) = 100/10² = 100/100 = 1
Quand la distance double, l'intensité est divisée par 4
Quand la distance triple, l'intensité est divisée par 9
L'intensité lumineuse diminue avec le carré de la distance
Cela s'explique par la propagation sphérique de la lumière
L'intensité lumineuse à une distance de 5 unités est : I(5) = 4, selon le modèle I(d) = 100/d².
• Loi de l'inverse du carré : I(d) = I₀/d²
• Propagation sphérique : Surface d'une sphère = 4πd²
• Décroissance : Rapide, proportionnelle à 1/d²
