Modèle linéaire : N(t) = N₀ + rt où N(t) est la population à l'instant t.
- Identifier les variables : temps (t) et nombre de bactéries (N)
- Vérifier la linéarité en traçant N en fonction de t
- Calculer le coefficient directeur r
- Valider le modèle avec des points expérimentaux
N₀ = 100 bactéries, après 2h : N(2) = 140, après 4h : N(4) = 180
r = (140 - 100) / 2 = 20 bactéries/h
N(t) = 100 + 20t, donc N(4) = 100 + 20×4 = 180 ✓
Modèle valable pour t court, ne tient pas compte des ressources limitées
Le modèle linéaire N(t) = 100 + 20t décrit correctement la croissance pour les premières heures
• Linéarité : La variation est constante par unité de temps
• Validation : Comparaison avec valeurs expérimentales
• Domaine de validité : Conditions initiales et limites biologiques
Loi exponentielle : N(t) = N₀e^(-λt) où λ est la constante radioactive.
N₀ = 1000 noyaux initiaux, λ = 0.001 s⁻¹
t₁/₂ = ln(2)/λ = 0.693/0.001 = 693 secondes
Après 693s : N(693) = 1000 × e^(-0.001×693) ≈ 500 noyaux
Le modèle prédit une décroissance exponentielle caractéristique
Le modèle N(t) = 1000e^(-0.001t) prédit correctement la désintégration radioactive
• Constante radioactive : λ > 0, exprimée en s⁻¹
• Demi-vie : Temps pour réduire la population de moitié
• Caractère aléatoire : La loi s'applique à un grand nombre de noyaux
Équation horaire : z(t) = h₀ + v₀t - ½gt² pour la chute libre.
Objet lâché sans vitesse initiale depuis h₀ = 20m
v₀ = 0 m/s, g = 9.81 m/s²
z(t) = 20 - 4.905t²
Temps de chute : z(t) = 0 ⇒ t = √(20/4.905) ≈ 2.02s
Le modèle z(t) = 20 - 4.905t² prédit le mouvement de chute libre
• Accélération constante : g = 9.81 m/s² vers le bas
• Quadratique : Position varie quadratiquement avec le temps
• Conditions initiales : Position et vitesse initiales déterminent le modèle
Modèles numériques : Résolution d'équations physiques complexes.
Modèle A : T(t) = 15 + 2sin(πt/12), Modèle B : T(t) = 15 + 3cos(πt/12)
Amplitude : Modèle B plus variable, Phase : décalage de π/2
Données réelles : T(0h)=15°C, T(6h)=17°C, T(12h)=15°C
Modèle A : T(6h) = 15 + 2sin(π/2) = 17°C ✓, Modèle B : T(6h) = 15 + 3cos(π/2) = 15°C
Le modèle A est plus précis pour ces observations particulières
• Comparaison : Analyser les écarts entre modèles et observations
• Précision : Mesurer l'erreur absolue moyenne
• Contexte : Les modèles doivent tenir compte des conditions spécifiques
Modèle logistique : P(t) = K/(1 + (K-P₀)/P₀ × e^(-rt)) avec K capacité maximale.
P₀ = 100 individus, K = 1000, r = 0.1
P(10) = 1000/(1 + 9×e^(-1)) ≈ 1000/(1 + 9×0.368) ≈ 231
Croissance rapide initialement, ralentissement vers la limite K
Tenir compte des ressources limitées et de la compétition
Le modèle logistique prédit une croissance limitée par les ressources disponibles
• Capacité limite : K représente la population maximale soutenable
• Croissance logistique : Croissance rapide initialement, ralentissement final
• Équilibre dynamique : La population tend vers K si conditions stables
Modèle exponentiel : PIB(t) = PIB₀ × (1 + r)^t où r est le taux de croissance.
PIB₀ = 200 milliards €, r = 0.03 (3% par an)
PIB(5) = 200 × (1.03)^5 ≈ 200 × 1.159 ≈ 231.8 milliards €
Modèle simplifié, ne tient pas compte des crises économiques
Comparer avec données réelles pour ajuster les paramètres
Le modèle prédit une croissance continue mais idéaliste
• Taux de croissance : r exprimé en proportion par période
• Limites du modèle : Ne tient pas compte des facteurs externes
• Validation : Comparaison avec données historiques
Loi de vitesse : v = k[A]^n avec k constante cinétique, n ordre de réaction.
A → produits, ordre 1, k = 0.05 s⁻¹
d[A]/dt = -k[A], solution : [A](t) = [A]₀e^(-kt)
[A]₀ = 0.1 mol/L, [A](20) = 0.1 × e^(-0.05×20) ≈ 0.1 × e^(-1) ≈ 0.037 mol/L
La concentration diminue exponentiellement selon le modèle
Le modèle prédit correctement la cinétique de la réaction d'ordre 1
• Ordre de réaction : Relie la vitesse à la concentration
• Constante cinétique : Dépend de la température et des conditions
• Validation : Comparaison avec mesures expérimentales
Modèle SIR : Compartiments Susceptibles, Infectés, Retirés.
S(t) = susceptibles, I(t) = infectés, R(t) = retirés
dS/dt = -βSI/N, dI/dt = βSI/N - γI, dR/dt = γI
β = taux de transmission, γ = taux de guérison
Le pic épidémique dépend du taux de reproduction R₀ = β/γ
Le modèle SIR permet d'anticiper l'évolution d'une épidémie
• Conservation : S + I + R = N (population totale constante)
• Paramètres clés : Taux de transmission et de guérison
• Limite : Modèle simplifié, ne tient pas compte de tous les facteurs
Modèle théorique : Basé sur des lois physiques, modélisation expérimentale : observation.
Théorique : y = 2x + 1, Expérimental : (1,2.5), (2,5.2), (3,6.8), (4,9.1)
Point (1,2.5) : théorie = 3, écart = 0.5 ; Point (2,5.2) : théorie = 5, écart = 0.2
EQM = (0.5² + 0.2² + 0.2² + 0.9²)/4 = (0.25 + 0.04 + 0.04 + 0.81)/4 = 0.285
Modèle acceptable mais non parfait, amélioration possible
Le modèle théorique s'approche des données expérimentales avec une erreur modérée
• Validation : Comparaison systématique entre théorie et expérience
• Erreur quadratique moyenne : Mesure de la précision du modèle
• Amélioration : Ajustement des paramètres ou changement de modèle
Équation de la chaleur : T(x,t) = T₀ + (T₁-T₀)e^(-αx²/4t) pour diffusion 1D.
T₀ = 20°C (température initiale), T₁ = 100°C (température source), α = 0.1
T(2,5) = 20 + 80×e^(-0.1×4/20) = 20 + 80×e^(-0.2) ≈ 20 + 80×0.819 ≈ 85.5°C
Diffusion progressive, la chaleur se propage avec le temps
Température diminue avec la distance et augmente avec le temps
Le modèle décrit correctement la propagation de la chaleur dans un matériau
• Diffusion : Propagation progressive de l'énergie thermique
• Paramètre α : Constante de diffusivité thermique
• Validation : Conformité avec les lois de la thermodynamique
