Fonction de profit : \(\Pi(q) = R(q) - C(q)\) où \(R(q)\) est la recette totale et \(C(q)\) le coût total.
- Exprimer la fonction de profit en fonction de la quantité
- Dériver la fonction de profit
- Annuler la dérivée pour trouver les points critiques
- Vérifier qu'il s'agit d'un maximum
Coût total : \(C(q) = 0.1q^2 + 2q + 100\)
Recette totale : \(R(q) = 15q\)
Profit : \(\Pi(q) = 15q - (0.1q^2 + 2q + 100) = -0.1q^2 + 13q - 100\)
\(\Pi'(q) = -0.2q + 13\)
\(\Pi'(q) = 0 \Rightarrow -0.2q + 13 = 0\)
\(0.2q = 13 \Rightarrow q = 65\)
\(\Pi''(q) = -0.2 < 0\), donc \(q = 65\) est un maximum
\(\Pi(65) = -0.1(65)^2 + 13(65) - 100 = -422.5 + 845 - 100 = 322.5\)
Le profit est maximisé pour une production de 65 unités avec un profit de 322.50€.
• Optimisation : Maximum trouvé en annulant la dérivée première
• Validation : Dérivée seconde négative confirme le maximum
• Interprétation : La quantité de 65 unités équilibre coûts et recettes
Le profit est maximal quand le coût marginal égale le prix de vente
La fonction de profit est quadratique avec coefficient négatif
Fonction de demande : \(q(p) = 100 - 2p\) relie la quantité demandée au prix.
Recette : \(R(p) = p \times q(p) = p(100 - 2p) = 100p - 2p^2\)
\(R'(p) = 100 - 4p\)
\(R'(p) = 0 \Rightarrow 100 - 4p = 0\)
\(4p = 100 \Rightarrow p = 25\)
\(R''(p) = -4 < 0\), donc \(p = 25\) est un maximum
\(q(25) = 100 - 2(25) = 50\) unités
\(R(25) = 25 \times 50 = 1250\) euros
Les recettes sont maximisées au prix de 25€ avec une quantité de 50 unités et une recette de 1250€.
• Économie : Recettes = Prix × Quantité
• Optimisation : Maximum de recettes obtenu en annulant la dérivée
• Interprétation : Le prix optimal équilibre volume et prix unitaire
La recette maximale n'est pas obtenue au prix le plus élevé
Augmenter le prix diminue la quantité demandée
Coût moyen : \(CM(q) = \frac{C(q)}{q}\) est le coût par unité produite.
\(CM(q) = 5 + \frac{50}{q} + 0.2q\)
\(CM'(q) = -\frac{50}{q^2} + 0.2\)
\(CM'(q) = 0 \Rightarrow -\frac{50}{q^2} + 0.2 = 0\)
\(\frac{50}{q^2} = 0.2\)
\(q^2 = \frac{50}{0.2} = 250\)
\(q = \sqrt{250} = 5\sqrt{10} \approx 15.81\)
\(CM''(q) = \frac{100}{q^3} > 0\) pour \(q > 0\), donc c'est un minimum
\(CM(15.81) = 5 + \frac{50}{15.81} + 0.2(15.81)\)
\(CM(15.81) = 5 + 3.16 + 3.16 = 11.32\) euros
Le coût moyen est minimisé pour environ 16 unités avec un coût moyen de 11.32€.
• Économie : Le coût moyen combine coûts fixes et variables
• Optimisation : Minimum trouvé en annulant la dérivée
• Interprétation : La quantité optimale équilibre coûts fixes et variables
Le coût moyen diminue initialement grâce aux économies d'échelle
Le coût moyen minimum est atteint quand CM = C'
Seuil de rentabilité : Point où les recettes égalent les coûts, \(\Pi(q) = 0\).
Coût total : \(C(q) = 0.05q^2 + 3q + 200\)
Recette totale : \(R(q) = 30q\)
Profit : \(\Pi(q) = 30q - (0.05q^2 + 3q + 200) = -0.05q^2 + 27q - 200\)
\(\Pi(q) = 0 \Rightarrow -0.05q^2 + 27q - 200 = 0\)
\(0.05q^2 - 27q + 200 = 0\)
\(\Delta = (-27)^2 - 4(0.05)(200) = 729 - 40 = 689\)
\(\sqrt{\Delta} = \sqrt{689} \approx 26.25\)
\(q_1 = \frac{27 - 26.25}{2(0.05)} = \frac{0.75}{0.1} = 7.5\)
\(q_2 = \frac{27 + 26.25}{2(0.05)} = \frac{53.25}{0.1} = 532.5\)
À \(q_1 = 7.5\) : seuil de rentabilité initial
À \(q_2 = 532.5\) : seuil de perte de profitabilité
L'entreprise est rentable pour une production comprise entre 7.5 et 532.5 unités.
• Économie : Le seuil de rentabilité est le point de passage à la rentabilité
• Mathématiques : Résolution d'équation du second degré
• Interprétation : Les deux racines définissent la plage de rentabilité
Le seuil de rentabilité est le point où le profit est nul
La production doit être comprise entre les deux seuils pour être rentable
Élasticité-prix : \(\epsilon = \frac{dq}{dp} \times \frac{p}{q}\) mesure la sensibilité de la demande au prix.
\(q(p) = 200e^{-0.05p}\)
\(\frac{dq}{dp} = 200 \times (-0.05) \times e^{-0.05p} = -10e^{-0.05p}\)
\(q(10) = 200e^{-0.05 \times 10} = 200e^{-0.5} \approx 200 \times 0.6065 = 121.31\)
\(\frac{dq}{dp}\big|_{p=10} = -10e^{-0.05 \times 10} = -10e^{-0.5} \approx -10 \times 0.6065 = -6.065\)
\(\epsilon = \frac{dq}{dp} \times \frac{p}{q} = -6.065 \times \frac{10}{121.31} = -6.065 \times 0.0824 = -0.5\)
\(|\epsilon| = 0.5 < 1\) : la demande est inélastique au prix p = 10
Une augmentation de 1% du prix entraîne une diminution de 0.5% de la quantité demandée
L'élasticité-prix de la demande est de -0.5 au prix de 10€, ce qui signifie que la demande est inélastique.
• Économie : L'élasticité mesure la sensibilité relative des variations
• Mathématiques : Dérivation de fonctions exponentielles
• Interprétation : Valeur absolue de l'élasticité détermine l'élasticité/inélasticité
Si \(|\epsilon| > 1\), la demande est élastique ; si \(|\epsilon| < 1\), elle est inélastique
L'élasticité dépend du point considéré sur la courbe de demande
- Identifier les variables : Prix, quantité, coûts, recettes, profit
- Établir les relations : Fonctions de coût, de demande, de recette
- Poser le problème : Exprimer la fonction à optimiser
- Résoudre mathématiquement : Utiliser les techniques d'analyse
- Interpréter économiquement : Donner du sens aux résultats
- Le profit est maximal quand le coût marginal égale le prix de vente
- Le coût moyen est minimal quand il égale le coût marginal
- Le seuil de rentabilité est atteint quand les recettes égalent les coûts
- L'élasticité mesure la sensibilité relative des variations
- Les solutions doivent être économiquement plausibles
