Régression linéaire : Méthode statistique pour trouver la droite qui ajuste au mieux un ensemble de points expérimentaux.
- Tracer les points expérimentaux
- Identifier le modèle linéaire v = at + b
- Calculer les coefficients a et b par régression linéaire
- Évaluer la qualité de l'ajustement avec R²
\(\bar{t} = \frac{1+2+3+4}{4} = 2.5\) s
\(\bar{v} = \frac{2.1+4.0+6.2+7.9}{4} = 5.05\) m/s
\(a = \frac{\sum(t_i - \bar{t})(v_i - \bar{v})}{\sum(t_i - \bar{t})^2}\)
Numérateur : (1-2.5)(2.1-5.05) + (2-2.5)(4.0-5.05) + (3-2.5)(6.2-5.05) + (4-2.5)(7.9-5.05) = 8.75
Dénominateur : (1-2.5)² + (2-2.5)² + (3-2.5)² + (4-2.5)² = 5
Donc : \(a = \frac{8.75}{5} = 1.75\) m/s²
\(b = \bar{v} - a\bar{t} = 5.05 - 1.75 \times 2.5 = 0.675\) m/s
\(v(t) = 1.75t + 0.675\)
Accélération : a = 1.75 m/s², vitesse initiale : b = 0.675 m/s
La relation expérimentale entre vitesse et temps est : v(t) = 1.75t + 0.675 m/s.
• Régression linéaire : Trouver la droite qui minimise la somme des carrés des écarts
• Modèle physique : Pour un mouvement uniformément accéléré : v = v₀ + at
• Qualité de l'ajustement : Le coefficient R² permet d'évaluer la pertinence du modèle
Pendule simple : La période théorique est \(T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\). Une relation puissance peut être déterminée expérimentalement.
La relation théorique est \(T = 2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}\), donc \(T = \frac{2\pi}{\sqrt{g}}\sqrt{l}\)
En prenant le logarithme : \(\ln(T) = \ln\left(\frac{2\pi}{\sqrt{g}}\right) + \frac{1}{2}\ln(l)\)
Y = A + nX où Y = ln(T), X = ln(l), A = ln(k), n = 0.5
Sur les points (ln(l), ln(T)), on obtient une droite de pente n ≈ 0.5
L'ordonnée à l'origine est \(\ln(k) = \ln\left(\frac{2\pi}{\sqrt{g}}\right)\)
Donc : \(k = \frac{2\pi}{\sqrt{g}}\) et on peut déduire g
Si l'ordonnée à l'origine est A, alors :
\(A = \ln\left(\frac{2\pi}{\sqrt{g}}\right)\)
\(\frac{2\pi}{\sqrt{g}} = e^A\)
\(g = \frac{4\pi^2}{e^{2A}}\)
La période varie comme la racine carrée de la longueur : T = k√l. La constante g peut être déterminée à partir de la constante k.
• Linéarisation : Transforme une relation puissance en relation linéaire
• Logarithme : ln(x^n) = n·ln(x)
• Validation : La pente expérimentale doit être proche de 0.5
Loi de Hooke : La force exercée par un ressort est proportionnelle à son allongement : F = k·x, où k est la constante de raideur.
Pour chaque masse : F = mg
F₁ = 0.1 × 9.81 = 0.981 N
F₂ = 0.2 × 9.81 = 1.962 N
F₃ = 0.3 × 9.81 = 2.943 N
F = k·x, donc k = F/x
k₁ = 0.981/0.02 = 49.05 N/m
k₂ = 1.962/0.04 = 49.05 N/m
k₃ = 2.943/0.06 = 49.05 N/m
\(\bar{k} = \frac{49.05 + 49.05 + 49.05}{3} = 49.05\) N/m
Les valeurs de k sont constantes, ce qui confirme la validité de la loi de Hooke
La constante de raideur du ressort est de 49.05 N/m, confirmant la validité de la loi de Hooke.
• Loi de Hooke : F = k·x
• Constante : k devrait être constante pour un ressort idéal
• Validation : La constance de k confirme le modèle linéaire
Erreurs expérimentales : Sources de précision limitée dans les mesures : erreur aléatoire, erreur systématique, erreur de lecture.
Erreurs aléatoires : Fluctuations dans les mesures (température, vibrations)
Erreurs systématiques : Problèmes d'étalonnage, frottements négligés
Erreurs de lecture : Incertitude sur la lecture des instruments
- Mesure du temps avec chronomètre manuel : incertitude de réaction (~0.1-0.2s)
- Hauteur mesurée avec mètre ruban : incertitude de lecture (~1mm)
- Frottements de l'air non négligeables : biais systématique
- Effets de bord : turbulence locale
Si h = 2.00 ± 0.01 m et t = 0.64 ± 0.05 s, alors :
\(g = \frac{2h}{t^2} = \frac{2 \times 2.00}{0.64^2} = 9.77\) m/s²
\(\frac{\partial g}{\partial h} = \frac{2}{t^2} = \frac{2}{0.64^2} = 4.88\)
\(\frac{\partial g}{\partial t} = \frac{-4h}{t^3} = \frac{-4 \times 2.00}{0.64^3} = -30.5\)
\(\sigma_g = \sqrt{(4.88 \times 0.01)^2 + (-30.5 \times 0.05)^2} = \sqrt{0.0024 + 2.326} = 1.53\) m/s²
- Utiliser un capteur photoélectrique pour mesurer le temps
- Répéter plusieurs mesures et faire une moyenne
- Utiliser des objets de forme sphérique pour minimiser la traînée
- Faire l'expérience dans une enceinte sous vide
Les principales sources d'erreur sont les incertitudes de mesure du temps et les frottements de l'air. L'utilisation de capteurs précis et la répétition des mesures peuvent améliorer la précision.
• Propagation : \(\sigma_f = \sqrt{\sum \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\sigma_{x_i}\right)^2}\)
• Amélioration : Moyennage, calibrage, réduction des effets parasites
• Identification : Distinguer erreurs aléatoires et systématiques
Chute libre : Mouvement d'un objet soumis uniquement à son poids. Sans frottement, l'accélération est constante et égale à g.
Seule la force de pesanteur agit sur l'objet : \(\vec{F} = m\vec{g}\)
\(m\vec{a} = m\vec{g}\), donc \(\vec{a} = \vec{g}\)
\(a = \frac{dv}{dt} = g\)
\(\int dv = \int g dt\)
\(v(t) = gt + v_0\)
Si l'objet est lâché sans vitesse initiale : v₀ = 0
Donc : \(v(t) = gt\)
\(v = \frac{dh}{dt} = gt\)
\(\int dh = \int gt dt\)
\(h(t) = \frac{1}{2}gt^2 + h_0\)
La vitesse augmente linéairement avec le temps : v(t) = gt
La position varie quadratiquement avec le temps : h(t) = ½gt² + h₀
Le modèle de chute libre sans frottement prédit une augmentation linéaire de la vitesse : v(t) = gt, et une position quadratique : h(t) = ½gt² + h₀.
• Deuxième loi de Newton : \(\sum \vec{F} = m\vec{a}\)
• Intégration : Pour passer de l'accélération à la vitesse et à la position
• Conditions initiales : Déterminent les constantes d'intégration
- Régression linéaire : Minimiser la somme des carrés des écarts
- Linéarisation : Transformer y = ax^n en ln(y) = ln(a) + n·ln(x)
- Propagation des erreurs : \(\sigma_f = \sqrt{\sum \left(\frac{\partial f}{\partial x_i}\sigma_{x_i}\right)^2}\)
- Validation : Comparer les prédictions théoriques aux résultats expérimentaux
- Une expérience doit être reproductible et documentée
- Les modèles doivent être validés par des tests expérimentaux
- Les erreurs doivent être quantifiées et propagées
- Les hypothèses du modèle doivent être clairement énoncées
- La précision des instruments influence la qualité des résultats
