Liaison sphérique (rotule) : Autorise les rotations autour des 3 axes mais empêche tout mouvement de translation. m = 3, l = 3.
- Identifier les degrés de liberté autorisés
- Compter les degrés de liberté bloqués
- Calculer la mobilité m et le nombre de liaisons l
- Vérifier que m + l = 6
Un solide 2 est lié à un solide 1 par une liaison sphérique. Déterminer les degrés de liberté, la mobilité m et le nombre de liaisons l.
La liaison sphérique autorise 3 rotations : θx, θy, θz
Elle bloque les 3 translations : Tx, Ty, Tz
m = nombre de degrés de liberté autorisés = 3
(les 3 rotations)
l = nombre de degrés de liberté bloqués = 3
(les 3 translations)
m + l = 3 + 3 = 6 ✓
Le solide 1 possède 6 degrés de liberté dans l'espace
La liaison sphérique a une mobilité m = 3 (rotations libres) et l = 3 (translations bloquées).
• Classification : m + l = 6 pour une liaison entre 2 solides
• Sphérique : Bloque les translations, autorise les rotations
• Repérage : Identifier clairement les mouvements libres et bloqués
Liaison pivot : Autorise une rotation autour d'un axe fixe et empêche tous les autres mouvements. m = 1, l = 5.
Un arbre tourne dans un palier suivant l'axe (O,z). Déterminer la mobilité, les degrés de liberté bloqués et écrire le torseur cinématique.
Mouvement autorisé : Rotation autour de l'axe (O,z)
Mouvements bloqués : 2 rotations (autour de x et y) + 3 translations (x, y, z)
m = 1 (rotation autour de z)
l = 5 (2 rotations + 3 translations bloquées)
\(\{\mathcal{V}_{2/1}\} = \begin{Bmatrix} \omega_x = 0 \\ \omega_y = 0 \\ \omega_z = \omega \\ V_{xO} = 0 \\ V_{yO} = 0 \\ V_{zO} = 0 \end{Bmatrix}_O\)
Seule la vitesse de rotation ωz est non nulle
m + l = 1 + 5 = 6 ✓
La liaison pivot a m = 1 et l = 5. Le torseur cinématique montre une seule composante non nulle : ωz.
• Torseur cinématique : Rassemble les composantes de vitesse de rotation et de translation
• Pivot : Une seule rotation libre, 5 mouvements bloqués
• Notation : ω pour rotation, V pour translation
Liaison glissière : Autorise une translation selon un axe fixe et empêche tous les autres mouvements. m = 1, l = 5.
Un piston se déplace dans un cylindre selon l'axe (O,x). Déterminer la mobilité, les degrés de liberté bloqués et écrire le torseur cinématique.
Mouvement autorisé : Translation selon l'axe (O,x)
Mouvements bloqués : 3 rotations (autour de x, y, z) + 2 translations (y, z)
m = 1 (translation selon x)
l = 5 (3 rotations + 2 translations bloquées)
\(\{\mathcal{V}_{2/1}\} = \begin{Bmatrix} \omega_x = 0 \\ \omega_y = 0 \\ \omega_z = 0 \\ V_{xO} = v \\ V_{yO} = 0 \\ V_{zO} = 0 \end{Bmatrix}_O\)
Seule la vitesse de translation Vx est non nulle
m + l = 1 + 5 = 6 ✓
La liaison glissière a m = 1 et l = 5. Le torseur cinématique montre une seule composante non nulle : Vx.
• Glissière : Une seule translation libre, 5 mouvements bloqués
• Contraintes : Empêche les rotations et les translations hors axe
• Applications : Pistons, tiges de vérins, guidages linéaires
Système avec liaisons multiples : Superposition de liaisons simples. La mobilité totale est la somme des mobilités individuelles moins les surcharges.
Un solide 2 est lié à un solide 1 par une liaison appui-plan (m = 3) et une liaison pivot d'axe (O,z) (m = 1). Déterminer la mobilité résultante.
Liaison appui-plan : m_appui = 3
Permet : 1 translation (selon x) + 2 rotations (autour de y et z)
Bloque : 1 translation (selon z) + 2 rotations (autour de x)
Liaison pivot (O,z) : m_pivot = 1
Permet : 1 rotation (autour de z)
Bloque : 1 rotation (autour de x) + 1 rotation (autour de y) + 3 translations
Appui-plan autorise : Tx, Ry, Rz
Pivot autorise : Rz
Mouvements autorisés simultanément : Rz (rotation autour de z)
m_total = 1 (seule rotation autour de z est permise)
Les autres degrés de liberté sont bloqués par au moins une des liaisons
Liaison appui-plan : l_appui = 3
Liaison pivot : l_pivot = 5
Liaisons totales imposées : 3 + 5 = 8
Mais max possible = 6, donc liaison hyperstatique de degré h = 8 - 6 = 2
Mobilité : m = 6 - h = 6 - 2 = 4 ? Non, car les liaisons sont en parallèle
En fait, m = 6 - max(l_appui, l_pivot) = 6 - 5 = 1 (la plus restrictive)
Le système a une mobilité m = 1 (rotation autour de z) et est hyperstatique.
• Superposition : Les mouvements autorisés sont ceux autorisés par toutes les liaisons
• Hyperstatisme : Lorsque le nombre de liaisons dépasse 6
• Redondance : Certaines liaisons sont redondantes
Système hyperstatique : Lorsque le degré d'hyperstatisme h = 6n - Σlᵢ > 0, où n est le nombre de solides mobiles et Σlᵢ la somme des liaisons.
Un système est composé de 2 solides mobiles (n = 2). Il comporte 3 liaisons : 1 pivot (l = 5), 1 glissière (l = 5), 1 appui-plan (l = 3). Calculer le degré d'hyperstatisme.
Nombre de solides mobiles : n = 2
Liaison pivot : l₁ = 5
Liaison glissière : l₂ = 5
Liaison appui-plan : l₃ = 3
Σlᵢ = l₁ + l₂ + l₃ = 5 + 5 + 3 = 13
Degré d'hyperstatisme : h = 6n - Σlᵢ
h = 6×2 - 13 = 12 - 13 = -1
h = -1 < 0, donc le système est hypostatique (mobile)
Il a |h| = 1 degré de mobilité interne
Reformulons : Supposons qu'il y ait 3 solides mobiles (n = 3)
Alors h = 6×3 - 13 = 18 - 13 = 5
Le système serait hyperstatique de degré 5
Avec 3 solides mobiles, le système est hyperstatique de degré h = 5.
• Hyperstatisme : h = 6n - Σlᵢ > 0
• Hypostatisme : h < 0 (système mobile)
• Isostatisme : h = 0 (équilibre stable)
- Liaison encastrement : m = 0, l = 6 (immobile)
- Liaison pivot-glissant : m = 2, l = 4
- Liaison pivot : m = 1, l = 5
- Liaison glissière : m = 1, l = 5
- Liaison sphérique : m = 3, l = 3
- Liaison appui-plan : m = 3, l = 3
- Liaison linéaire rectiligne : m = 4, l = 2
- Liaison ponctuelle : m = 5, l = 1
- Un solide libre dans l'espace a 6 degrés de liberté
- Pour une liaison entre 2 solides : m + l = 6
- Hyperstatisme : h = 6n - Σlᵢ > 0
- Hypostatisme : h < 0 (système mobile)
- Isostatisme : h = 0 (équilibre stable)
- Les liaisons peuvent être en série ou en parallèle
