Système du premier ordre : Système régi par une équation différentielle du premier ordre, caractérisé par une constante de temps \(\tau\).
- Identifier la constante de temps \(\tau\) à partir de la fonction de transfert
- Calculer les temps caractéristiques (temps de réponse à 5%)
- Comparer avec les exigences du cahier des charges
- Évaluer si le critère de rapidité est respecté
\(G(s) = \frac{K}{1 + \tau s}\) avec \(K = 2\) et \(\tau = 0.5\) s
\(y(t) = K(1 - e^{-t/\tau}) = 2(1 - e^{-2t})\)
\(t_{r5\%} = 3\tau = 3 \times 0.5 = 1.5\) s
Le système atteint 95% de sa valeur finale en 1.5 s
\(t_{r2\%} = 4\tau = 4 \times 0.5 = 2.0\) s
Le système atteint 98% de sa valeur finale en 2.0 s
Plus \(\tau\) est petit, plus le système est rapide
Ici, \(\tau = 0.5\) s indique une réponse relativement rapide
Le système du premier ordre avec \(\tau = 0.5\) s présente une rapidité correcte avec un temps de réponse à 5% de 1.5 s. La rapidité est inversement proportionnelle à la constante de temps.
• Temps de réponse à 5% : \(t_{r5\%} = 3\tau\)
• Temps de réponse à 2% : \(t_{r2\%} = 4\tau\)
• Fonction de transfert : \(G(s) = \frac{K}{1 + \tau s}\)
Système du second ordre : Système caractérisé par la pulsation propre \(\omega_0\) et le coefficient d'amortissement \(\delta\).
\(G(s) = \frac{K\omega_0^2}{s^2 + 2\delta\omega_0 s + \omega_0^2}\)
Avec \(K = 1\), \(\omega_0 = 4\) rad/s, \(\delta = 0.25\)
Pour une entrée en échelon unité, la valeur finale est : \(\lim_{t \to \infty} y(t) = K = 1\)
Erreur statique : \(e_{ss} = 1 - 1 = 0\)
\(D\% = 100 \times e^{-\frac{\pi\delta}{\sqrt{1-\delta^2}}} = 100 \times e^{-\frac{\pi \times 0.25}{\sqrt{1-0.0625}}}\)
\(D\% = 100 \times e^{-\frac{0.785}{0.968}} = 100 \times e^{-0.811} = 44.4\%\)
• Précision en régime permanent : Erreur nulle
• Précision en régime transitoire : Dépassement de 44.4%
• Le système est précis en régime permanent mais présente des oscillations
Plus \(\delta\) augmente, moins il y a de dépassement mais plus le système est lent
\(\delta = 0.707\) minimise le compromis rapidité/précision
Le système du second ordre présente une erreur statique nulle, ce qui signifie une précision parfaite en régime permanent. Cependant, le dépassement de 44.4% montre une imprécision temporaire importante.
• Erreur statique : \(e_{ss} = \lim_{s \to 0} sE(s)\)
• Dépassement : \(D\% = 100 \times e^{-\frac{\pi\delta}{\sqrt{1-\delta^2}}}\)
• Pulsation propre : \(\omega_0\) affecte la rapidité
Stabilité : Propriété d'un système à rester borné face à des entrées bornées, essentielle pour le fonctionnement correct.
\(BO(s) = \frac{K}{s(s+2)(s+5)}\) avec \(K = 10\)
Équation caractéristique : \(s^3 + 7s^2 + 10s + K = 0\)
| \(s^3\) | 1 | 10 |
|---|---|---|
| \(s^2\) | 7 | K |
| \(s^1\) | \(\frac{70-K}{7}\) | 0 |
| \(s^0\) | K | 0 |
\(\frac{70-K}{7} > 0\) ⇒ \(K < 70\)
\(K > 0\)
Pour \(K = 10\), \(0 < 10 < 70\) ⇒ Système stable
Calculées à partir du diagramme de Bode
Marge de gain : \(GM = 14.0\) dB
Marge de phase : \(PM = 65.3°\)
• Marge de gain positive ⇒ Stable
• Marge de phase > 45° ⇒ Bonne stabilité relative
• Système robuste face aux variations de gain
Le système bouclé est stable avec une marge de gain de 14.0 dB et une marge de phase de 65.3°, indiquant une bonne robustesse face aux perturbations.
• Critère de Routh : Tous les coefficients de la première colonne doivent être positifs
• Marges de stabilité : GM > 0dB et PM > 45° pour stabilité robuste
• Équation caractéristique : \(1 + BO(s) = 0\)
Optimisation des performances : Processus d'ajustement des paramètres pour atteindre les meilleurs compromis entre rapidité, précision et stabilité.
• Temps de réponse à 5% : \(t_{r5\%} < 2.0\) s
• Dépassement : \(D\% < 10\%\)
• Erreur statique : \(e_{ss} = 0\)
\(G(s) = \frac{4}{s(s+2)}\), Correcteur PI : \(C(s) = K_p + \frac{K_i}{s}\)
Avec \(K_p = 1\), \(K_i = 0.5\) ⇒ \(C(s) = 1 + \frac{0.5}{s}\)
BO(s) = C(s)G(s) = \(\frac{(s+0.5) \times 4}{s^2(s+2)} = \frac{4s+2}{s^2(s+2)}\)
Résultats : \(t_{r5\%} = 2.8\) s (non conforme), \(D\% = 25\%\) (non conforme)
Augmenter \(K_p\) pour améliorer la rapidité
Augmenter \(K_i\) pour réduire l'erreur statique
Nouveau réglage : \(K_p = 2\), \(K_i = 1.0\)
BO(s) = \(\frac{(2s+1) \times 4}{s^2(s+2)} = \frac{8s+4}{s^2(s+2)}\)
Nouveaux résultats : \(t_{r5\%} = 1.6\) s (conforme), \(D\% = 8\%\) (conforme)
Après optimisation du correcteur PI avec \(K_p = 2\) et \(K_i = 1.0\), le système atteint les spécifications : temps de réponse < 2s et dépassement < 10%.
• Correcteur PI : \(C(s) = K_p + \frac{K_i}{s}\)
• Compromis performances : Rapidité vs Précision vs Stabilité
• Erreur statique nulle : Nécessite intégration dans la boucle
Comparaison des correcteurs : Évaluation comparative des performances obtenues avec différents types de correcteurs (P, PI, PD, PID).
\(G(s) = \frac{1}{s(s+1)(s+3)}\)
\(C_P(s) = K_p = 5\)
Avantages : Simple, améliore la rapidité
Inconvénients : Erreur statique non nulle
Performances : \(t_{r5\%} = 1.8\) s, \(e_{ss} = 15\%\), \(D\% = 45\%\)
\(C_{PI}(s) = K_p + \frac{K_i}{s} = 3 + \frac{1.5}{s}\)
Avantages : Erreur statique nulle
Inconvénients : Risque d'instabilité, dégradation de la rapidité
Performances : \(t_{r5\%} = 3.2\) s, \(e_{ss} = 0\%\), \(D\% = 60\%\)
\(C_{PID}(s) = K_p + \frac{K_i}{s} + K_d s = 4 + \frac{2}{s} + 0.8s\)
Avantages : Meilleur compromis performance/stabilité
Inconvénients : Complexité, sensibilité au bruit
Performances : \(t_{r5\%} = 1.4\) s, \(e_{ss} = 0\%\), \(D\% = 15\%\)
| Type | tr5% | Ess | D% | Avantages |
|---|---|---|---|---|
| P | 1.8s | 15% | 45% | Simplicité |
| PI | 3.2s | 0% | 60% | Précision |
| PID | 1.4s | 0% | 15% | Meilleur compromis |
Le correcteur PID offre le meilleur compromis entre les critères de performance : rapidité (1.4s), précision (0% d'erreur) et faible dépassement (15%).
• Correcteur P : \(C(s) = K_p\) (rapidité mais erreur)
• Correcteur PI : Ajoute intégration (précision mais instabilité potentielle)
• Correcteur PID : Compromis optimal entre les trois actions
- Identification des critères : Définir rapidité, précision, stabilité
- Calcul des indicateurs : Temps de réponse, dépassement, erreur statique
- Analyse fréquentielle : Marges de gain et de phase
- Comparaison aux spécifications : Conformité au cahier des charges
- Optimisation : Ajustement des paramètres pour améliorer les performances
- La stabilité est une condition nécessaire avant d'évaluer les autres critères
- Les critères de performance sont souvent antagonistes
- Il faut toujours comparer les performances aux spécifications
- La modélisation est essentielle pour l'analyse des performances
- Les outils de simulation facilitent l'analyse comparative
- Rapidité : Temps de réponse, bande passante, pulsation de coupure
- Précision : Erreur statique, erreur de traînage, dépassement
- Stabilité : Marges de gain/phase, pôles en boucle fermée, robustesse
- Compromis : Trade-off entre les différents critères
- Les critères de performance évaluent la qualité d'un système
- La rapidité, la précision et la stabilité sont les critères principaux
- Les critères sont souvent antagonistes et nécessitent des compromis
- Les outils d'analyse permettent d'optimiser les performances
- La validation par rapport au cahier des charges est essentielle
