Interactions gravitationnelles

Deux corps matériels A et B, de masses respectives m_A et m_B, exercent l'un sur l'autre une force attractive.

La force gravitationnelle exercée par A sur B est proportionnelle au produit des masses et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare.

F : Force gravitationnelle (en newtons, N)

G : Constante de gravitation universelle = 6,67 × 10⁻¹¹ m³·kg⁻¹·s⁻²

m_A et m_B : Masses des corps A et B (en kg)

d : Distance entre les centres de gravité des corps (en m)

La force gravitationnelle est toujours dirigée le long de la droite joignant les centres de gravité des deux corps.

Elle est attractive : les corps s'attirent mutuellement.

La force exercée par A sur B est égale en intensité à la force exercée par B sur A.

Elles sont opposées : ⃗F_A/B = -⃗F_B/A

La force gravitationnelle a une portée infinie, bien qu'elle diminue avec la distance.

Elle est toujours attractive (jamais répulsive).

Elle est proportionnelle au produit des masses des corps.

Elle est inversement proportionnelle au carré de la distance.

Deux personnes de masses 70 kg et 60 kg sont séparées par 2 m.

Force = G × (m₁ × m₂) / d²

Force = 6,67×10⁻¹¹ × (70 × 60) / 2²

Force = 6,67×10⁻¹¹ × 4200 / 4

Force = 7,00×10⁻⁸ N

Cette force est extrêmement faible, imperceptible dans la vie quotidienne.

Masses : m_T = 5,97×10²⁴ kg ; m_L = 7,35×10²² kg

Distance : d = 3,84×10⁸ m

Force = 6,67×10⁻¹¹ × (5,97×10²⁴ × 7,35×10²²) / (3,84×10⁸)²

Force ≈ 1,98×10²⁰ N

Cette force immense maintient la Lune en orbite autour de la Terre.

Le champ gravitationnel ⃗g en un point de l'espace est la force gravitationnelle exercée par un corps attracteur sur une unité de masse placée en ce point.

Expression : ⃗g = G × M / r²

Où M est la masse du corps attracteur et r la distance du point au centre du corps.

Le champ gravitationnel terrestre moyen vaut g₀ ≈ 9,81 N/kg

À une altitude h, le champ gravitationnel diminue : g(h) = g₀ × (R_T / (R_T + h))²

Où R_T est le rayon de la Terre (≈ 6 371 km)

1. Loi des orbites : Les planètes décrivent des ellipses dont le Soleil occupe un des foyers.

2. Loi des aires : Le segment reliant une planète au Soleil balaye des aires égales pendant des durées égales.

3. Loi des périodes : Le carré de la période orbitale est proportionnel au cube du demi-grand axe de l'ellipse.

La vitesse de libération est la vitesse minimale qu'il faut communiquer à un objet pour qu'il échappe à l'attraction gravitationnelle d'un corps céleste.

Expression : v_lib = √(2GM/R)

Pour la Terre : v_lib ≈ 11,2 km/s

Distance entre le centre de la Terre et la fusée :

r = R_T + h = 6,37×10⁶ + 200×10³ = 6,57×10⁶ m

Force = G × (M_T × m) / r²

Force = 6,67×10⁻¹¹ × (5,97×10²⁴ × 500) / (6,57×10⁶)²

Force = 6,67×10⁻¹¹ × 2,985×10²⁷ / 4,316×10¹³

Force ≈ 4,59×10³ N

g(h) = G × M_T / r²

g(h) = 6,67×10⁻¹¹ × 5,97×10²⁴ / (6,57×10⁶)²

g(h) = 3,98×10¹⁴ / 4,316×10¹³

g(h) ≈ 9,22 N/kg

Au sol : g₀ ≈ 9,81 N/kg

Au point d'altitude h = 200 km : g(h) ≈ 9,22 N/kg

Le champ gravitationnel diminue avec l'altitude.

Diminution relative : (9,81 - 9,22) / 9,81 ≈ 6%

Un satellite géostationnaire tourne à la même vitesse angulaire que la Terre.

Altitude : environ 35 786 km

Période orbitale : 24 heures

Utilisé pour les communications et la météorologie.

Les interactions gravitationnelles assurent la cohésion des systèmes planétaires.

Elles permettent la formation des planètes à partir de disques protoplanétaires.

Elles régulent les orbites et empêchent l'éjection des planètes.

La gravité maintient les galaxies ensemble.

Elle influence la formation des étoiles et des systèmes stellaires.

Elle est responsable de la structure à grande échelle de l'Univers.

Distance Terre-objet : d₁ = (3,84×10⁸) / 2 = 1,92×10⁸ m

F₁ = G × (M_T × m) / d₁²

F₁ = 6,67×10⁻¹¹ × (5,97×10²⁴ × 1) / (1,92×10⁸)²

F₁ = 6,67×10⁻¹¹ × 5,97×10²⁴ / 3,69×10¹⁶

F₁ ≈ 1,08×10⁻³ N

Distance Lune-objet : d₂ = (3,84×10⁸) / 2 = 1,92×10⁸ m

F₂ = G × (M_L × m) / d₂²

F₂ = 6,67×10⁻¹¹ × (7,35×10²² × 1) / (1,92×10⁸)²

F₂ = 6,67×10⁻¹¹ × 7,35×10²² / 3,69×10¹⁶

F₂ ≈ 1,33×10⁻⁵ N

La force exercée par la Terre est plus importante que celle exercée par la Lune.

F₁ / F₂ = (1,08×10⁻³) / (1,33×10⁻⁵) ≈ 81

La Terre exerce une force 81 fois plus intense que la Lune.

L'objet va se diriger vers la Terre car la force gravitationnelle exercée par la Terre est 81 fois plus intense que celle exercée par la Lune.

La force nette est orientée vers la Terre.

F = G × (m_A × m_B) / d²

La force est attractive, dirigée le long de la droite joignant les centres de gravité.

Elle dépend du produit des masses et varie en 1/d².

• Force toujours attractive
• Portée infinie
• Symétrique entre les deux corps
• Proportionnelle au produit des masses
• Inversement proportionnelle au carré de la distance

⃗g = G × M / r²

Champ gravitationnel créé par un corps de masse M à une distance r.

Force subie par un objet de masse m : ⃗F = m⃗g

• Mouvements des planètes (lois de Kepler)
• Orbitales des satellites
• Stabilité des systèmes planétaires
• Structure des galaxies
• Vitesse de libération