Loi de Newton : \(\vec{F}_{A/B} = -G \frac{m_A m_B}{d^2} \vec{u}_{AB}\)
m₁ = 1000 kg, m₂ = 500 kg, d = 10 m
F = G × (m₁ × m₂) / d²
F = 6,67 × 10⁻¹¹ × (1000 × 500) / 10²
F = 6,67 × 10⁻¹¹ × 500 000 / 100
F = 6,67 × 10⁻¹¹ × 5000
F = 3,335 × 10⁻⁷ N
Force très faible, typique des objets de faible masse
La force gravitationnelle entre les deux masses est de 3,335 × 10⁻⁷ N
• Loi de Newton : F = G(m₁m₂)/d²
• Constante gravitationnelle : G = 6,67 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²
• Force inversement proportionnelle au carré de la distance
Champ gravitationnel : g = GM/R² où M est la masse de la Terre et R le rayon terrestre.
Masse de la Terre M = 5,97 × 10²⁴ kg
Rayon terrestre R = 6,37 × 10⁶ m
g = GM/R²
g = (6,67 × 10⁻¹¹ × 5,97 × 10²⁴) / (6,37 × 10⁶)²
g = (3,98 × 10¹⁴) / (4,06 × 10¹³)
g = 9,81 N/kg
Cohérent avec la valeur connue g ≈ 9,81 m/s²
L'intensité du champ gravitationnel terrestre est de 9,81 N/kg
• Champ gravitationnel : g = GM/R²
• Relation poids-masse : P = mg
• Valeur standard : g = 9,81 m/s² à la surface de la Terre
Orbite circulaire : Force gravitationnelle = force centripète : GMm/r² = mv²/r
Force gravitationnelle = Force centripète
GMm/r² = mv²/r
GM/r² = v²/r
v² = GM/r
v = √(GM/r)
Altitude h = 400 km, donc r = R + h = 6,37 × 10⁶ + 400 × 10³ = 6,77 × 10⁶ m
v = √(6,67 × 10⁻¹¹ × 5,97 × 10²⁴ / 6,77 × 10⁶)
v = √(3,98 × 10¹⁴ / 6,77 × 10⁶)
v = √(5,88 × 10⁷)
v = 7,67 × 10³ m/s = 7,67 km/s
La vitesse orbitale du satellite est de 7,67 km/s
• Condition d'équilibre : F_gravitationnelle = F_centripète
• Vitesse orbitale : v = √(GM/r)
• Rayon orbital : r = R_terre + altitude
Interaction Terre-Lune : Forces égales et opposées selon la 3ème loi de Newton.
Masse Terre = 5,97 × 10²⁴ kg, Masse Lune = 7,34 × 10²² kg
Distance Terre-Lune = 3,84 × 10⁸ m
F = G × (M_terre × M_lune) / d²
F = 6,67 × 10⁻¹¹ × (5,97 × 10²⁴ × 7,34 × 10²²) / (3,84 × 10⁸)²
F = 6,67 × 10⁻¹¹ × (4,38 × 10⁴⁷) / (1,47 × 10¹⁷)
F = 6,67 × 10⁻¹¹ × 2,98 × 10³⁰
F = 1,99 × 10²⁰ N
Force mutuelle, même intensité pour les deux corps
La force gravitationnelle entre la Terre et la Lune est de 1,99 × 10²⁰ N
• Loi de Newton : F = G(m₁m₂)/d²
• 3ème loi de Newton : Actions mutuelles égales et opposées
• Force colossale : Malgré la distance, force très importante
Champ gravitationnel variable : g(h) = GM/(R+h)² avec h l'altitude.
g(h) = GM/(R+h)²
g(0) = GM/R²
g(h)/g(0) = R²/(R+h)²
h = 10 km = 10⁴ m, R = 6,37 × 10⁶ m
g(h)/g(0) = (6,37 × 10⁶)² / (6,37 × 10⁶ + 10⁴)²
g(h)/g(0) = 4,06 × 10¹³ / (6,38 × 10⁶)²
g(h)/g(0) = 4,06 × 10¹³ / 4,07 × 10¹³ = 0,9975
Le poids diminue de 0,25% à 10 km d'altitude
À 10 km d'altitude, le poids diminue de 0,25% par rapport à la surface
• Champ variable : g(h) = GM/(R+h)²
• Approximation : Pour h << R, g(h) ≈ g(0)(1-2h/R)
• Conséquence : Le poids diminue avec l'altitude
Vitesse de libération : Vitesse minimale pour échapper au champ gravitationnel.
L'énergie cinétique doit compenser l'énergie potentielle gravitationnelle
½mv² = GMm/R
v² = 2GM/R
v = √(2GM/R)
v = √(2 × 6,67 × 10⁻¹¹ × 5,97 × 10²⁴ / 6,37 × 10⁶)
v = √(7,96 × 10¹⁴ / 6,37 × 10⁶)
v = √(1,25 × 10⁸)
v = 1,12 × 10⁴ m/s = 11,2 km/s
La vitesse de libération terrestre est de 11,2 km/s
• Énergie mécanique : Conservation E_cinétique + E_potentielle = constante
• Vitesse de libération : v = √(2GM/R)
• Application : Satellites, missions spatiales
Loi de Kepler : Les planètes suivent des orbites elliptiques avec le Soleil au foyer.
La ligne reliant le Soleil à une planète balaye des aires égales en des temps égaux
T²/a³ = constante pour toutes les planètes
T²/a³ = 4π²/(GM_soleil)
a = 1,50 × 10¹¹ m (1 UA), T = 365,25 jours = 3,16 × 10⁷ s
T²/a³ = (3,16 × 10⁷)² / (1,50 × 10¹¹)³
T²/a³ = 9,99 × 10¹⁴ / 3,38 × 10³³ = 2,96 × 10⁻¹⁹ s²/m³
4π²/(GM_soleil) = 2,96 × 10⁻¹⁹
M_soleil = 4π²/(G × 2,96 × 10⁻¹⁹) = 1,99 × 10³⁰ kg
La masse du Soleil est de 1,99 × 10³⁰ kg, confirmant la 3ème loi de Kepler
• Loi de Kepler (3ème) : T²/a³ = constante
• Relation avec Newton : Loi de la gravitation explique Kepler
• Applications : Prédiction des orbites, découverte de planètes
Étoiles binaires : Deux étoiles en interaction gravitationnelle mutuelle.
m₁ = 2,0 × 10³⁰ kg (comme le Soleil), m₂ = 1,5 × 10³⁰ kg
d = 10¹¹ m (distance comparable à la distance Terre-Soleil)
F = G × (m₁ × m₂) / d²
F = 6,67 × 10⁻¹¹ × (2,0 × 10³⁰ × 1,5 × 10³⁰) / (10¹¹)²
F = 6,67 × 10⁻¹¹ × (3,0 × 10⁶⁰) / (10²²)
F = 6,67 × 10⁻¹¹ × 3,0 × 10³⁸
F = 2,00 × 10²⁸ N
Force Terre-Soleil ≈ 3,5 × 10²² N
La force entre étoiles est ~10⁶ fois plus grande !
La force gravitationnelle entre les deux étoiles est de 2,00 × 10²⁸ N
• Loi de Newton : F = G(m₁m₂)/d²
• Échelle stellaire : Forces colossales malgré grandes distances
• Importance : Maintient les systèmes binaires et multiples
Période orbitale : Temps pour effectuer un tour complet autour de la Terre.
v = 2πr/T où r est le rayon orbital
v = √(GM/r)
2πr/T = √(GM/r)
(2πr/T)² = GM/r
4π²r²/T² = GM/r
T² = 4π²r³/GM
T = 2π√(r³/GM)
r = R + h = 6,37 × 10⁶ + 400 × 10³ = 6,77 × 10⁶ m
T = 2π√((6,77 × 10⁶)³ / (6,67 × 10⁻¹¹ × 5,97 × 10²⁴))
T = 2π√(3,11 × 10²⁰ / 3,98 × 10¹⁴)
T = 2π√(7,81 × 10⁵)
T = 2π × 884 = 5 555 s ≈ 92,6 min
La période orbitale du satellite est de 92,6 minutes
• Période orbitale : T = 2π√(r³/GM)
• Loi de Kepler : T²/r³ = constante
• Application : Satellites GPS, ISS, etc.
Applications de la gravitation : Satellites, pesanteur, marées, astrophysique.
- Pesanteur et chute des corps
- Satellites artificiels (GPS, météo, télécommunications)
- Marées causées par la Lune et le Soleil
- Lois de Kepler et mouvement planétaire
- Formation des galaxies et des étoiles
- Lentilles gravitationnelles
- Lancement de fusées et vitesse de libération
- Orbites stationnaires pour les satellites
- Missions interplanétaires
- Accéléromètres et gyromètres
- Étude des anomalies gravitationnelles
- Recherche de pétrole et minéraux
La gravitation est une force fondamentale qui gouverne l'Univers à toutes les échelles
La gravitation a des applications multiples, de la vie quotidienne à l'astrophysique
• Universalité : La gravitation affecte tous les objets massifs
• Échelles multiples : Du microscopique à l'astronomique
• Importance : Force dominante à grande échelle
