Demi-vie des isotopes radioactifs
Introduction
Découvrez comment la demi-vie permet de caractériser la stabilité des noyaux radioactifs
Définition de la demi-vie
Qu'est-ce que la demi-vie ?
La demi-vie (notée t1/2) est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux radioactifs d'une quantité initiale donnée se sont désintégrés.
C'est une grandeur caractéristique de chaque radio-isotope.
- Grandeur caractéristique de chaque radio-isotope
- Constante dans le temps
- Indépendante de la quantité initiale
- Ne dépend pas des conditions extérieures (température, pression, etc.)
Loi de décroissance radioactive
Modèle mathématique
Le nombre de noyaux N(t) restant à l'instant t est donné par :
Où λ est la constante radioactive et N₀ le nombre initial de noyaux.
La demi-vie est liée à la constante radioactive λ par la relation :
Soit environ : t1/2 = 0,693/λ
Après n demi-vies, la fraction de noyaux restants est :
Exemple : Après 3 demi-vies, il reste (1/2)³ = 1/8 des noyaux initiaux.
Exemples de demi-vie
Valeurs caractéristiques
Demi-vie : 5 730 ans
Type de désintégration : β⁻
Utilisation : datation archéologique
Demi-vie : 4,5 milliards d'années
Type de désintégration : α
Utilisation : datation géologique
Demi-vie : 8 jours
Type de désintégration : β⁻
Utilisation : médecine nucléaire
Demi-vie : 3,8 jours
Type de désintégration : α
Origine : dérivé de l'uranium dans les roches
Applications de la demi-vie
Utilisations pratiques
Tomographie par émission de positons (TEP) avec le fluor 18 (t1/2 = 110 min)
Scintigraphie avec des traceurs radioactifs
Radiothérapie pour traiter certains cancers
Utilisation d'iode 131 (t1/2 = 8 jours) pour le traitement de la thyroïde
Datation au carbone 14 pour les objets organiques (jusqu'à 50 000 ans)
Datation uranium-plomb pour les roches anciennes (milliards d'années)
Centrales nucléaires utilisant l'uranium 235
Générateurs thermoélectriques pour sondes spatiales
Calculs de demi-vie
Méthodes de calcul
Si N(t) = N₀/2, alors :
On simplifie par N₀ :
On prend le logarithme népérien :
Soit :
On mesure l'activité A(t) = λN(t) au cours du temps
On trace ln(A) en fonction du temps
La pente de la droite est -λ
On calcule t1/2 = ln(2)/λ
Exercice d'application
Problème complet
On dispose d'une quantité initiale de 100 g de carbone 14 (14C), dont la demi-vie est de 5 730 ans.
1. Quelle quantité de carbone 14 restera-t-il après 11 460 ans ?
2. Après combien de temps ne restera-t-il que 12,5 g de carbone 14 ?
3. Calculer la constante radioactive du carbone 14.
Solution de l'exercice
Correction détaillée
Nombre de demi-vies écoulées : n = 11 460 / 5 730 = 2
Quantité restante : m = m₀ × (1/2)n
m = 100 × (1/2)² = 100 × 1/4 = 25 g
Il restera 25 g de carbone 14 après 11 460 ans.
On cherche n tel que : 12,5 = 100 × (1/2)n
0,125 = (1/2)n
0,125 = 1/8 = (1/2)³
Donc n = 3 demi-vies
Temps nécessaire : t = 3 × 5 730 = 17 190 ans
λ = ln(2) / t1/2
λ = 0,693 / 5 730 = 1,21 × 10⁻⁴ an⁻¹
La constante radioactive du carbone 14 est de 1,21 × 10⁻⁴ an⁻¹
Autre exercice
Problème complémentaire
Un échantillon contient initialement 80 g d'iode 131, dont la demi-vie est de 8 jours.
1. Quelle est la quantité d'iode 131 après 24 jours ?
2. Après combien de temps ne restera-t-il que 5 g d'iode 131 ?
3. Quel pourcentage de l'échantillon initial restera-t-il après 40 jours ?
Solution de l'autre exercice
Correction détaillée
Nombre de demi-vies écoulées : n = 24 / 8 = 3
Quantité restante : m = m₀ × (1/2)n
m = 80 × (1/2)³ = 80 × 1/8 = 10 g
Il restera 10 g d'iode 131 après 24 jours.
On cherche n tel que : 5 = 80 × (1/2)n
5/80 = (1/2)n
0,0625 = (1/2)n
0,0625 = 1/16 = (1/2)⁴
Donc n = 4 demi-vies
Temps nécessaire : t = 4 × 8 = 32 jours
Nombre de demi-vies écoulées : n = 40 / 8 = 5
Quantité restante : m = m₀ × (1/2)n
m = 80 × (1/2)⁵ = 80 × 1/32 = 2,5 g
Pourcentage restant : (2,5 / 80) × 100 = 3,125 %
Datation par la demi-vie
Principe de datation
Le carbone 14 est présent dans tous les organismes vivants à une concentration constante.
À la mort de l'organisme, la désintégration commence et la proportion de 14C diminue.
Sachant que la demi-vie du carbone 14 est de 5 730 ans, on peut déterminer depuis combien de temps l'organisme est mort.
Si on mesure que la proportion de 14C est divisée par 4 par rapport à celle d'un organisme vivant, cela signifie que 2 demi-vies se sont écoulées.
L'âge de l'échantillon est donc : 2 × 5 730 = 11 460 ans.
Résumé
Points clés
- Durée au bout de laquelle la moitié des noyaux radioactifs se sont désintégrés
- Grandeur caractéristique de chaque radio-isotope
- Constante dans le temps
- N(t) = N₀ × e-λt
- t1/2 = ln(2)/λ
- Après n demi-vies, il reste (1/2)n des noyaux initiaux
- Datation archéologique et géologique
- Médecine nucléaire
- Industrie nucléaire
Conclusion
Félicitations !
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