Résolution d'inéquations du 1er degré

Introduction

BONJOUR ET BIENVENUE !
INÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ
Résolution d'inéquations linéaires

Découvrez comment résoudre des inéquations du premier degré et représenter les solutions

Inéquations
Inégalités
Calcul

Définition des inéquations

Qu'est-ce qu'une inéquation ?

DÉFINITION
Inéquation du premier degré

Une inéquation du premier degré est une inégalité qui contient une inconnue \( x \) affectée d'une puissance 1.

Elle peut être de la forme :

  • \( ax + b < 0 \)
  • \( ax + b \leq 0 \)
  • \( ax + b > 0 \)
  • \( ax + b \geq 0 \)

où \( a \) et \( b \) sont des nombres réels donnés, et \( a \neq 0 \).

Exemples : \( 2x + 3 > 0 \), \( -x + 5 \leq 7 \), \( 3x - 6 < 9 \)

Règles de base

Propriétés des inégalités

PROPRIÉTÉS FONDAMENTALES
Règles de manipulation
  1. 1 On peut ajouter ou soustraire le même nombre des deux côtés d'une inégalité sans changer le sens
  2. 2 On peut multiplier ou diviser par un nombre positif sans changer le sens
  3. 3 On peut multiplier ou diviser par un nombre négatif en changeant le sens de l'inégalité
SIGNIFICATION DES SYMBOLES
Symboles d'inégalité
  • \( < \) : strictement inférieur à
  • \( \leq \) : inférieur ou égal à
  • \( > \) : strictement supérieur à
  • \( \geq \) : supérieur ou égal à

Méthodologie de résolution

Étapes de résolution

PROCÉDURE PAS À PAS
Méthode générale
1 Regrouper les termes contenant l'inconnue d'un côté
2 Regrouper les termes constants de l'autre côté
3 Diviser par le coefficient de l'inconnue (attention au signe !)
4 Donner la solution sous forme d'intervalle
5 Représenter la solution sur une droite graduée
6 Vérifier la solution
POINT CRUCIAL
Attention au signe du coefficient

Lorsque l'on divise ou multiplie par un nombre négatif, on change le sens de l'inégalité.

Exemple : si \( -2x > 6 \), alors \( x < -3 \) (le sens change !)

Exemple simple

Résolution pas à pas

EXEMPLE INTRODUCTIF
Résoudre 2x + 3 > 7
Étape 1 : On soustrait 3 des deux côtés : \( 2x + 3 - 3 > 7 - 3 \)
Étape 2 : \( 2x > 4 \)
Étape 3 : On divise par 2 (nombre positif, donc le sens ne change pas) : \( x > 2 \)
Solution : \( x \in ]2 ; +\infty[ \)
REPRÉSENTATION GRAPHIQUE
0
1
2
3
4
5
2
x > 2

Coefficient négatif

Changement de sens

EXEMPLE AVEC COEFFICIENT NÉGATIF
Résoudre -3x + 6 ≤ 12
Étape 1 : On soustrait 6 des deux côtés : \( -3x + 6 - 6 \leq 12 - 6 \)
Étape 2 : \( -3x \leq 6 \)
Étape 3 : On divise par -3 (nombre négatif, donc le sens change) : \( x \geq -2 \)
Solution : \( x \in [-2 ; +\infty[ \)
REPRÉSENTATION GRAPHIQUE
-3
-2
-1
0
1
2
-2
x ≥ -2

Ensemble de solutions

Intervalles

TYPES D'INTERVALLES
Notation des intervalles
  • \( ]a ; b[ \) : \( a < x < b \) (bornes exclues)
  • \( [a ; b] \) : \( a \leq x \leq b \) (bornes incluses)
  • \( [a ; b[ \) : \( a \leq x < b \) (a inclus, b exclu)
  • \( ]a ; b] \) : \( a < x \leq b \) (a exclu, b inclus)
  • \( ]a ; +\infty[ \) : \( x > a \)
  • \( [a ; +\infty[ \) : \( x \geq a \)
  • \( ]-\infty ; a[ \) : \( x < a \)
  • \( ]-\infty ; a] \) : \( x \leq a \)
REPRÉSENTATION
Représentation sur la droite réelle

Un point vide indique une borne exclue (symboles < ou >).

Un point plein indique une borne incluse (symboles ≤ ou ≥).

Exemples variés

Différents types d'inéquations

EXEMPLE 1
Résoudre 5x - 3 ≥ 2x + 9
Étape 1 : \( 5x - 2x \geq 9 + 3 \)
Étape 2 : \( 3x \geq 12 \)
Étape 3 : \( x \geq 4 \)
Solution : \( x \in [4 ; +\infty[ \)
EXEMPLE 2
Résoudre -2(x + 1) < 4x - 6
Étape 1 : \( -2x - 2 < 4x - 6 \)
Étape 2 : \( -2x - 4x < -6 + 2 \)
Étape 3 : \( -6x < -4 \)
Étape 4 : \( x > \frac{2}{3} \) (division par -6, donc changement de sens)
Solution : \( x \in ]\frac{2}{3} ; +\infty[ \)

Applications concrètes

Problèmes concrets

PROBLÈME 1 : Budget
Un budget mensuel

Une personne dispose de 500€ par mois. Elle dépense 200€ pour le loyer et 30€ par jour pour la nourriture. Combien de jours peut-elle manger au maximum ?

Modélisation : Soit x le nombre de jours
Inéquation : \( 200 + 30x \leq 500 \)
Résolution : \( 30x \leq 300 \) → \( x \leq 10 \)
Réponse : Maximum 10 jours
PROBLÈME 2 : Production
Coût de production

Le coût de fabrication d'un article est de 15€ par unité plus des charges fixes de 2000€. Le prix de vente est de 25€ par unité. Combien d'articles faut-il vendre pour réaliser un bénéfice ?

Modélisation : Soit x le nombre d'articles
Bénéfice : Recette - Coût = 25x - (15x + 2000) = 10x - 2000
Inéquation : \( 10x - 2000 > 0 \)
Résolution : \( 10x > 2000 \) → \( x > 200 \)
Réponse : Plus de 200 articles (soit au minimum 201)

Erreurs fréquentes

Pièges à éviter

ERREURS COMMUNES
Erreurs à ne pas commettre
  • 1 Oublier de changer le sens de l'inégalité lorsqu'on divise/multiplie par un nombre négatif ❌
  • 2 Confondre ≤ et < (bornes incluses/exclues)
  • 3 Ne pas vérifier la solution
  • 4 Oublier de représenter graphiquement la solution
CORRECTIONS
Bonnes pratiques
  • Toujours penser à changer le sens si on multiplie/divise par un nombre négatif ✅
  • Utiliser des crochets pour les bornes incluses [ ] et des parenthèses pour les bornes exclues ] [ ✅
  • Vérifier en remplaçant une valeur dans l'inéquation originale ✅
  • Représenter la solution sur une droite graduée ✅

Vérification des solutions

Toujours vérifier

MÉTHODE DE VÉRIFICATION
Comment vérifier une solution
  1. Choisir une valeur dans l'intervalle solution
  2. Remplacer cette valeur dans l'inéquation originale
  3. Vérifier que l'inégalité est vraie
  4. Vérifier que la frontière est correcte (≤ vs <)
EXEMPLE DE VÉRIFICATION
Vérifions x > 2 pour 2x + 3 > 7
Choix : x = 3 (car 3 > 2)
Remplacement : 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9
Vérification : 9 > 7 ✓
Frontière : Pour x = 2 : 2(2) + 3 = 7, donc 7 > 7 est faux ✓
La solution est correcte !

Exercices d'application

Problèmes à résoudre

EXERCICES DE BASE
Résoudre les inéquations suivantes

1. \( 3x - 5 < 7 \)

2. \( -2x + 4 \geq 8 \)

3. \( 5x + 3 \leq 2x - 9 \)

4. \( -4(x - 2) > 2x + 1 \)

EXERCICES AVANCÉS
Problèmes concrets

5. Un abonnement de téléphone coûte 20€ par mois plus 0.15€ par minute. Combien de minutes peut-on appeler avec un budget de 50€ maximum ?

6. Un producteur vend des articles à 30€ l'unité. Le coût de production est de 18€ par unité plus 1000€ de charges fixes. Combien d'articles faut-il vendre pour réaliser un bénéfice supérieur à 2000€ ?

Solutions des exercices

Corrections détaillées

EXERCICE 1 : 3x - 5 < 7
Correction
\( 3x - 5 < 7 \)
\( 3x < 7 + 5 \)
\( 3x < 12 \)
\( x < 4 \)
Solution : \( x \in ]-\infty ; 4[ \)
EXERCICE 2 : -2x + 4 ≥ 8
Correction
\( -2x + 4 \geq 8 \)
\( -2x \geq 8 - 4 \)
\( -2x \geq 4 \)
\( x \leq -2 \) (division par -2, donc changement de sens)
Solution : \( x \in ]-\infty ; -2] \)
EXERCICE 3 : 5x + 3 ≤ 2x - 9
Correction
\( 5x + 3 \leq 2x - 9 \)
\( 5x - 2x \leq -9 - 3 \)
\( 3x \leq -12 \)
\( x \leq -4 \)
Solution : \( x \in ]-\infty ; -4] \)
EXERCICE 4 : -4(x - 2) > 2x + 1
Correction
\( -4x + 8 > 2x + 1 \)
\( -4x - 2x > 1 - 8 \)
\( -6x > -7 \)
\( x < \frac{7}{6} \) (division par -6, donc changement de sens)
Solution : \( x \in ]-\infty ; \frac{7}{6}[ \)
EXERCICE 5 : Budget téléphone
Correction
Soit x le nombre de minutes
\( 20 + 0.15x \leq 50 \)
\( 0.15x \leq 30 \)
\( x \leq 200 \)
Réponse : Maximum 200 minutes
EXERCICE 6 : Bénéfice
Correction
Soit x le nombre d'articles
Bénéfice = Recette - Coût = 30x - (18x + 1000) = 12x - 1000
\( 12x - 1000 > 2000 \)
\( 12x > 3000 \)
\( x > 250 \)
Réponse : Plus de 250 articles (minimum 251)

Résumé

Points clés

MÉTHODE DE RÉSOLUTION
Étapes essentielles
  1. Isoler l'inconnue d'un côté de l'inégalité
  2. Regrouper les termes constants de l'autre côté
  3. Diviser par le coefficient de l'inconnue (attention au signe !)
  4. Exprimer la solution sous forme d'intervalle
  5. Représenter graphiquement la solution
  6. Vérifier la solution
Points critiques
  • Changer le sens de l'inégalité quand on multiplie/divise par un nombre négatif
  • Utiliser les bons symboles pour les intervalles (crochets vs parenthèses)
  • Représenter graphiquement la solution sur une droite graduée
  • Vérifier la solution en remplaçant une valeur
Conseils pratiques
  • Faire attention aux signes, surtout avec les coefficients négatifs
  • Ne pas oublier de représenter la solution graphiquement
  • Toujours vérifier la solution
  • Pratiquer régulièrement pour automatiser les manipulations
Maîtrisez ces règles pour résoudre toutes les inéquations du premier degré !

Conclusion

Félicitations !

FÉLICITATIONS !
MAÎTRISE DES INÉQUATIONS
Vous savez maintenant résoudre des inéquations du premier degré !

Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences

Compris
Retenu
Appliqué