Inéquation du premier degré : Inégalité avec une variable de degré 1.
- Isoler les termes en x d'un côté
- Isoler x en divisant par son coefficient
- Exprimer la solution sous forme d'intervalle
- Représenter la solution sur une droite graduée
\( 2x + 3 - 3 \lt 7 - 3 \)
\( 2x \lt 4 \)
\( \frac{2x}{2} \lt \frac{4}{2} \)
\( x \lt 2 \)
Pour \( x = 1 \) (inférieur à 2) : \( 2(1) + 3 = 5 \lt 7 \) ✓
Pour \( x = 3 \) (supérieur à 2) : \( 2(3) + 3 = 9 \not\lt 7 \) ✗
\( x \lt 2 \) ou \( x \in ]-\infty; 2[ \)
• On peut ajouter ou soustraire le même nombre des deux côtés
• On peut multiplier ou diviser par un nombre positif sans changer le sens
• L'inéquation est satisfaite pour toutes les valeurs strictement inférieures à 2
Symbole ≥ : Signifie "supérieur ou égal", inclut la borne.
\( 5x - 4 + 4 \geq 11 + 4 \)
\( 5x \geq 15 \)
\( \frac{5x}{5} \geq \frac{15}{5} \)
\( x \geq 3 \)
Pour \( x = 3 \) : \( 5(3) - 4 = 15 - 4 = 11 \geq 11 \) ✓
Pour \( x = 4 \) : \( 5(4) - 4 = 20 - 4 = 16 \geq 11 \) ✓
Pour \( x = 2 \) : \( 5(2) - 4 = 10 - 4 = 6 \not\geq 11 \) ✗
\( x \geq 3 \) ou \( x \in [3; +\infty[ \)
• Le symbole ≥ signifie que la borne est incluse dans la solution
• On utilise des crochets droits pour indiquer que la borne est comprise
• L'inéquation est satisfaite pour toutes les valeurs supérieures ou égales à 3
Coefficient négatif : Lorsqu'on divise/multiplie par un nombre négatif, on change le sens de l'inégalité.
\( -3x + 6 - 6 \gt 0 - 6 \)
\( -3x \gt -6 \)
\( \frac{-3x}{-3} \lt \frac{-6}{-3} \)
\( x \lt 2 \)
Pour \( x = 1 \) (inférieur à 2) : \( -3(1) + 6 = 3 \gt 0 \) ✓
Pour \( x = 3 \) (supérieur à 2) : \( -3(3) + 6 = -3 \not\gt 0 \) ✗
\( x \lt 2 \) ou \( x \in ]-\infty; 2[ \)
• Très importante : multiplier ou diviser par un nombre négatif change le sens de l'inégalité
• Cela s'explique par le fait que l'ordre des nombres est inversé lorsqu'on multiplie par un négatif
• Ici, on change \(\gt\) en \(\lt\) lorsqu'on divise par -3
Fraction comme coefficient : Multiplier par l'inverse pour éliminer la fraction.
\( \frac{x}{2} + 3 - 3 \leq 5 - 3 \)
\( \frac{x}{2} \leq 2 \)
\( \frac{x}{2} \times 2 \leq 2 \times 2 \)
\( x \leq 4 \)
Pour \( x = 4 \) : \( \frac{4}{2} + 3 = 2 + 3 = 5 \leq 5 \) ✓
Pour \( x = 3 \) : \( \frac{3}{2} + 3 = 1.5 + 3 = 4.5 \leq 5 \) ✓
Pour \( x = 5 \) : \( \frac{5}{2} + 3 = 2.5 + 3 = 5.5 \not\leq 5 \) ✗
\( x \leq 4 \) ou \( x \in ]-\infty; 4] \)
• Pour éliminer une fraction, on multiplie par le dénominateur
• Le symbole ≤ signifie que la borne est incluse dans la solution
• On utilise un crochet fermé pour indiquer que la borne est comprise
Parenthèses : Développer les expressions avant de résoudre.
\( 4(x - 1) = 4x - 4 \)
Donc : \( 4x - 4 \lt 2x + 6 \)
\( 4x - 4 - 2x \lt 2x + 6 - 2x \)
\( 2x - 4 \lt 6 \)
\( 2x - 4 + 4 \lt 6 + 4 \)
\( 2x \lt 10 \)
\( \frac{2x}{2} \lt \frac{10}{2} \)
\( x \lt 5 \)
Pour \( x = 4 \) : \( 4(4-1) = 12 \) et \( 2(4) + 6 = 14 \), donc \( 12 \lt 14 \) ✓
Pour \( x = 6 \) : \( 4(6-1) = 20 \) et \( 2(6) + 6 = 18 \), donc \( 20 \not\lt 18 \) ✗
\( x \lt 5 \) ou \( x \in ]-\infty; 5[ \)
• On développe les expressions avec parenthèses
• On regroupe les termes en x d'un côté et les constantes de l'autre
• On résout comme une inéquation simple
Inconnue des deux côtés : On regroupe les termes en x d'un côté.
\( -2x + 5 + 2x \leq 3x - 10 + 2x \)
\( 5 \leq 5x - 10 \)
\( 5 + 10 \leq 5x - 10 + 10 \)
\( 15 \leq 5x \)
\( \frac{15}{5} \leq \frac{5x}{5} \)
\( 3 \leq x \)
Soit : \( x \geq 3 \)
Pour \( x = 3 \) : Gauche: \( -2(3) + 5 = -1 \), Droite: \( 3(3) - 10 = -1 \), donc \( -1 \leq -1 \) ✓
Pour \( x = 4 \) : Gauche: \( -2(4) + 5 = -3 \), Droite: \( 3(4) - 10 = 2 \), donc \( -3 \leq 2 \) ✓
Pour \( x = 2 \) : Gauche: \( -2(2) + 5 = 1 \), Droite: \( 3(2) - 10 = -4 \), donc \( 1 \not\leq -4 \) ✗
\( x \geq 3 \) ou \( x \in [3; +\infty[ \)
• On regroupe les termes en x d'un côté de l'inégalité
• On conserve le sens de l'inégalité car on ne multiplie pas par un négatif ici
• Le symbole ≤ signifie que la borne est incluse dans la solution
Fraction complexe : Multiplier par le dénominateur pour éliminer la fraction.
\( \frac{2x - 1}{3} \times 3 \geq 3 \times 3 \)
\( 2x - 1 \geq 9 \)
\( 2x - 1 + 1 \geq 9 + 1 \)
\( 2x \geq 10 \)
\( \frac{2x}{2} \geq \frac{10}{2} \)
\( x \geq 5 \)
Pour \( x = 5 \) : \( \frac{2(5) - 1}{3} = \frac{9}{3} = 3 \geq 3 \) ✓
Pour \( x = 6 \) : \( \frac{2(6) - 1}{3} = \frac{11}{3} \approx 3.67 \geq 3 \) ✓
Pour \( x = 4 \) : \( \frac{2(4) - 1}{3} = \frac{7}{3} \approx 2.33 \not\geq 3 \) ✗
\( x \geq 5 \) ou \( x \in [5; +\infty[ \)
• Pour éliminer une fraction, on multiplie par le dénominateur
• Le dénominateur est positif, donc le sens de l'inégalité ne change pas
• Le symbole ≥ signifie que la borne est incluse dans la solution
Termes en x des deux côtés : Regrouper les x d'un côté et les constantes de l'autre.
\( 3 - 2x + 4x \gt 7 - 4x + 4x \)
\( 3 + 2x \gt 7 \)
\( 3 + 2x - 3 \gt 7 - 3 \)
\( 2x \gt 4 \)
\( \frac{2x}{2} \gt \frac{4}{2} \)
\( x \gt 2 \)
Pour \( x = 3 \) : Gauche: \( 3 - 2(3) = -3 \), Droite: \( 7 - 4(3) = -5 \), donc \( -3 \gt -5 \) ✓
Pour \( x = 1 \) : Gauche: \( 3 - 2(1) = 1 \), Droite: \( 7 - 4(1) = 3 \), donc \( 1 \not\gt 3 \) ✗
\( x \gt 2 \) ou \( x \in ]2; +\infty[ \)
• On regroupe les termes en x d'un côté et les constantes de l'autre
• On peut ajouter ou soustraire le même nombre des deux côtés sans changer le sens
• On divise par un nombre positif, donc le sens est conservé
Inéquation avec fractions : Multiplier par le PPCM des dénominateurs.
\( \frac{x + 2}{4} \times 12 \lt \frac{x - 1}{3} \times 12 \)
\( 3(x + 2) \lt 4(x - 1) \)
\( 3x + 6 \lt 4x - 4 \)
\( 3x + 6 - 3x \lt 4x - 4 - 3x \)
\( 6 \lt x - 4 \)
\( 6 + 4 \lt x - 4 + 4 \)
\( 10 \lt x \)
Soit : \( x \gt 10 \)
Pour \( x = 11 \) : Gauche: \( \frac{11+2}{4} = \frac{13}{4} = 3.25 \), Droite: \( \frac{11-1}{3} = \frac{10}{3} \approx 3.33 \), donc \( 3.25 \lt 3.33 \) ✓
Pour \( x = 9 \) : Gauche: \( \frac{9+2}{4} = \frac{11}{4} = 2.75 \), Droite: \( \frac{9-1}{3} = \frac{8}{3} \approx 2.67 \), donc \( 2.75 \not\lt 2.67 \) ✗
\( x \gt 10 \) ou \( x \in ]10; +\infty[ \)
• Pour éliminer des fractions, on multiplie par le PPCM des dénominateurs
• Les dénominateurs sont positifs, donc le sens de l'inégalité ne change pas
• On résout ensuite comme une inéquation normale
Expressions complexes : Développer complètement avant de résoudre.
\( 2(x + 3) = 2x + 6 \)
\( -3(x - 1) = -3x + 3 \)
Donc : \( 2x + 6 - 3x + 3 \leq 5 \)
\( (2x - 3x) + (6 + 3) \leq 5 \)
\( -x + 9 \leq 5 \)
\( -x + 9 - 9 \leq 5 - 9 \)
\( -x \leq -4 \)
\( x \geq 4 \)
Pour \( x = 4 \) : \( 2(4+3) - 3(4-1) = 14 - 9 = 5 \leq 5 \) ✓
Pour \( x = 5 \) : \( 2(5+3) - 3(5-1) = 16 - 12 = 4 \leq 5 \) ✓
Pour \( x = 3 \) : \( 2(3+3) - 3(3-1) = 12 - 6 = 6 \not\leq 5 \) ✗
\( x \geq 4 \) ou \( x \in [4; +\infty[ \)
• On développe toutes les expressions avec parenthèses
• On réduit les termes semblables
• On multiplie par -1 change le sens de l'inégalité (car -1 < 0)
