Modélisation : Traduire un énoncé en langage mathématique pour résoudre un problème.
- Identifier l'inconnue
- Traduire les données en équation
- Résoudre l'équation
- Vérifier la solution
- Conclure
Soit \( x \) le nombre cherché.
"Un nombre augmenté de 5" → \( x + 5 \)
"vaut 12" → \( x + 5 = 12 \)
\( x + 5 = 12 \)
\( x = 12 - 5 \)
\( x = 7 \)
\( 7 + 5 = 12 \) ✓
Le nombre cherché est 7.
• Identifier clairement l'inconnue
• Traduire les mots en opérations mathématiques
• Isoler la variable pour la trouver
Traduction littérale : Convertir les expressions verbales en expressions algébriques.
Soit \( x \) le nombre cherché.
"Le triple d'un nombre" → \( 3x \)
"moins 4" → \( 3x - 4 \)
"vaut 11" → \( 3x - 4 = 11 \)
\( 3x - 4 = 11 \)
\( 3x = 11 + 4 \)
\( 3x = 15 \)
\( x = 5 \)
\( 3 \times 5 - 4 = 15 - 4 = 11 \) ✓
Le nombre cherché est 5.
• "Triple" signifie multiplication par 3
• "Moins" signifie soustraction
• On effectue les opérations inverses pour isoler la variable
Problème temporel : Un problème qui implique des changements d'âge ou des durées.
Soit \( x \) l'âge actuel de Paul.
"Dans 5 ans" → \( x + 5 \)
"Paul aura le double de son âge actuel" → \( 2x \)
"aura" → \( x + 5 = 2x \)
\( x + 5 = 2x \)
\( 5 = 2x - x \)
\( 5 = x \)
Aujourd'hui : 5 ans
Dans 5 ans : \( 5 + 5 = 10 \) ans
Le double de 5 ans est bien 10 ans ✓
Paul a 5 ans aujourd'hui.
• Pour un problème d'âge, on exprime les âges dans le futur/passe
• "Double" signifie multiplication par 2
• On regroupe les termes en x d'un côté
Problème financier : Un problème qui implique des dépenses, des revenus ou des soldes.
Soit \( x \) la somme initiale en euros.
"la moitié de son argent" → \( \frac{x}{2} \)
"plus 10€" → \( \frac{x}{2} + 10 \)
"dépense" → soustraction
"il lui reste 20€" → \( x - (\frac{x}{2} + 10) = 20 \)
\( x - \frac{x}{2} - 10 = 20 \)
\( \frac{x}{2} - 10 = 20 \)
\( \frac{x}{2} = 30 \)
\( x = 60 \)
Montant initial : 60€
Dépense : \( \frac{60}{2} + 10 = 30 + 10 = 40 \)€
Reste : \( 60 - 40 = 20 \)€ ✓
La personne avait 60€ au départ.
• On exprime la dépense en fonction de l'inconnue
• Montant restant = Montant initial - Montant dépensé
• "Moitié" signifie division par 2
Nombres consécutifs : Des nombres qui se suivent dans l'ordre naturel (n, n+1, n+2, ...).
Soit \( x \) le premier nombre. Alors les trois nombres sont : \( x \), \( x+1 \), \( x+2 \).
"somme de trois nombres consécutifs" → \( x + (x+1) + (x+2) \)
"est 36" → \( x + (x+1) + (x+2) = 36 \)
\( x + x + 1 + x + 2 = 36 \)
\( 3x + 3 = 36 \)
\( 3x = 33 \)
\( x = 11 \)
Premier nombre : \( x = 11 \)
Deuxième nombre : \( x+1 = 12 \)
Troisième nombre : \( x+2 = 13 \)
\( 11 + 12 + 13 = 36 \) ✓
Les trois nombres sont 11, 12 et 13.
• Pour des nombres consécutifs, on ajoute 1 à chaque fois
• On somme tous les termes et on résout l'équation
• On vérifie que la somme correspond à la valeur donnée
Problème géométrique : Un problème qui implique des figures géométriques et leurs propriétés.
Pour un rectangle : \( P = 2 \times (L + l) \)
Soit \( x \) la largeur du rectangle. Alors la longueur est \( 3x \).
"longueur triple de sa largeur" → \( L = 3x \)
"périmètre est 40cm" → \( 2 \times (L + l) = 40 \)
"\( 2 \times (3x + x) = 40 \)"
\( 2 \times (3x + x) = 40 \)
\( 2 \times 4x = 40 \)
\( 8x = 40 \)
\( x = 5 \)
Largeur : \( x = 5 \) cm
Longueur : \( 3x = 3 \times 5 = 15 \) cm
Périmètre : \( 2 \times (15 + 5) = 2 \times 20 = 40 \) cm ✓
Le rectangle a une largeur de 5 cm et une longueur de 15 cm.
• On identifie la relation entre les dimensions
• On utilise la formule du périmètre d'un rectangle
• On exprime toutes les dimensions en fonction d'une seule inconnue
Problème de pourcentage : Un problème qui implique des taux de réduction ou d'augmentation.
Soit \( x \) le prix initial en euros.
"réduction de 20%" → on paie 80% du prix initial
"prix après réduction est 48€" → \( x \times (1 - 0.20) = 48 \)
"\( x \times 0.80 = 48 \)"
\( 0.8x = 48 \)
\( x = \frac{48}{0.8} \)
\( x = 60 \)
Réduction : \( 60 \times 0.20 = 12 \)€
Prix après réduction : \( 60 - 12 = 48 \)€ ✓
Le prix initial de l'article était de 60€.
• Une réduction de 20% signifie qu'on paie 80% du prix initial
• Pourcentage = fraction sur 100
• Prix final = Prix initial × (1 - taux de réduction)
Problème d'âge : Un problème qui implique la relation entre les âges de plusieurs personnes.
Soit \( x \) l'âge du cadet. Alors l'âge de l'aîné est \( x + 4 \).
"ensemble 30 ans" → \( x + (x + 4) = 30 \)
\( x + x + 4 = 30 \)
\( 2x + 4 = 30 \)
\( 2x = 26 \)
\( x = 13 \)
Âge du cadet : \( x = 13 \) ans
Âge de l'aîné : \( x + 4 = 17 \) ans
Total : \( 13 + 17 = 30 \) ans ✓
Différence : \( 17 - 13 = 4 \) ans ✓
Le cadet a 13 ans et l'aîné a 17 ans.
• On exprime un âge en fonction de l'autre
• On utilise la relation entre les deux personnes
• On résout l'équation avec une seule inconnue
Problème de mouvement : Un problème qui implique la relation entre distance, vitesse et temps.
\( \text{Distance} = \text{Vitesse} \times \text{Temps} \)
Soit \( t \) la durée en heures du premier trajet. Le second trajet dure \( t + 2 \) heures.
Première partie : \( \text{Distance}_1 = 60 \times t = 60t \) km
Seconde partie : \( \text{Distance}_2 = 80 \times (t + 2) = 80(t + 2) = 80t + 160 \) km
"distance totale est 460 km" → \( 60t + 80t + 160 = 460 \)
\( 60t + 80t + 160 = 460 \)
\( 140t + 160 = 460 \)
\( 140t = 300 \)
\( t = \frac{300}{140} = \frac{15}{7} \approx 2.14 \) heures
Premier trajet : \( t = \frac{15}{7} \) heures
Second trajet : \( t + 2 = \frac{15}{7} + 2 = \frac{15 + 14}{7} = \frac{29}{7} \) heures
Distance 1 : \( 60 \times \frac{15}{7} = \frac{900}{7} \) km
Distance 2 : \( 80 \times \frac{29}{7} = \frac{2320}{7} \) km
Total : \( \frac{900 + 2320}{7} = \frac{3220}{7} = 460 \) km ✓
La première partie du trajet a duré \( \frac{15}{7} \) heures (~2h8min) et la seconde \( \frac{29}{7} \) heures (~4h8min).
• On utilise la relation Distance = Vitesse × Temps
• On calcule séparément les distances pour chaque phase
• On somme les distances pour égaler la distance totale
Problème économique : Un problème qui implique des coûts, des recettes et des seuils de rentabilité.
Soit \( x \) le nombre d'objets vendus.
Coût total : \( 2x + 50 \) euros (variable + fixe)
Recette totale : \( 5x \) euros
"être rentable" → Recette ≥ Coût
\( 5x \geq 2x + 50 \)
\( 5x \geq 2x + 50 \)
\( 5x - 2x \geq 50 \)
\( 3x \geq 50 \)
\( x \geq \frac{50}{3} \)
\( x \geq 16.67 \)
Puisque \( x \) doit être un entier, il faut vendre au minimum 17 objets.
Pour 17 objets :
Coût : \( 2 \times 17 + 50 = 34 + 50 = 84 \)€
Recette : \( 5 \times 17 = 85 \)€
Bénéfice : \( 85 - 84 = 1 \)€ > 0 ✓
Il faut vendre au moins 17 objets pour que l'entreprise soit rentable.
• On distingue les coûts fixes et variables
• Rentabilité signifie que la recette dépasse les coûts
• On résout une inéquation pour trouver le seuil de rentabilité
