Équation avec fraction : Une équation qui contient une variable dans une fraction.
- Multiplier chaque côté de l'équation par le dénominateur
- Simplifier pour isoler la variable
- Vérifier la solution
\( \frac{x}{3} \times 3 = 4 \times 3 \)
\( x = 12 \)
\( \frac{12}{3} = 4 \) ✓
\( x = 12 \)
• Pour isoler \( x \), on multiplie par l'inverse du coefficient
• Ici, le coefficient de \( x \) est \( \frac{1}{3} \), donc on multiplie par 3
• Lorsqu'on multiplie les deux côtés d'une équation par le même nombre, l'égalité est conservée
Coefficient fractionnaire : Lorsque le coefficient de la variable est une fraction.
\( \frac{2x}{5} \times 5 = 6 \times 5 \)
\( 2x = 30 \)
\( \frac{2x}{2} = \frac{30}{2} \)
\( x = 15 \)
\( \frac{2 \times 15}{5} = \frac{30}{5} = 6 \) ✓
\( x = 15 \)
• On élimine d'abord le dénominateur en multipliant par lui-même
• Puis on isole la variable en divisant par son coefficient
• La multiplication et division sont des opérations inverses
Expression au numérateur : Lorsque le numérateur contient une expression algébrique.
\( \frac{x+1}{2} \times 2 = 5 \times 2 \)
\( x+1 = 10 \)
\( x+1-1 = 10-1 \)
\( x = 9 \)
\( \frac{9+1}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) ✓
\( x = 9 \)
• On multiplie par le dénominateur pour éliminer la fraction
• Puis on isole la variable en effectuant les opérations inverses
• Addition et soustraction sont des opérations inverses
Expression linéaire au numérateur : Lorsque le numérateur est une expression de la forme \( ax + b \).
\( \frac{3x-2}{4} \times 4 = 7 \times 4 \)
\( 3x-2 = 28 \)
\( 3x-2+2 = 28+2 \)
\( 3x = 30 \)
\( \frac{3x}{3} = \frac{30}{3} \)
\( x = 10 \)
\( \frac{3 \times 10-2}{4} = \frac{30-2}{4} = \frac{28}{4} = 7 \) ✓
\( x = 10 \)
• On multiplie par le dénominateur pour éliminer la fraction
• Puis on isole la variable en effectuant les opérations inverses dans l'ordre inverse
• On commence par les additions/soustractions, puis les multiplications/divisions
Addition de fractions avec variables : On doit mettre au même dénominateur.
Le PPCM de 2 et 3 est 6
\( \frac{x}{2} = \frac{3x}{6} \) et \( \frac{x}{3} = \frac{2x}{6} \)
\( \frac{3x}{6} + \frac{2x}{6} = \frac{5x}{6} \)
\( \frac{5x}{6} = 5 \)
\( 5x = 30 \)
\( x = 6 \)
\( \frac{6}{2} + \frac{6}{3} = 3 + 2 = 5 \) ✓
\( x = 6 \)
• Pour additionner des fractions, on met au même dénominateur
• Le dénominateur commun est le PPCM des dénominateurs
• Une fois au même dénominateur, on additionne les numérateurs
Égalité de deux fractions : On utilise le produit en croix.
Si \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \), alors \( a \cdot d = b \cdot c \)
\( (2x+1) \cdot 2 = (x-1) \cdot 3 \)
\( 2(2x+1) = 3(x-1) \)
\( 4x + 2 = 3x - 3 \)
\( 4x - 3x = -3 - 2 \)
\( x = -5 \)
Gauche : \( \frac{2(-5)+1}{3} = \frac{-10+1}{3} = \frac{-9}{3} = -3 \)
Droite : \( \frac{-5-1}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)
Donc -3 = -3 ✓
\( x = -5 \)
• Produit en croix : multiplier en diagonale
• On développe les expressions après le produit en croix
• Puis on résout comme une équation normale
Variable au dénominateur : On utilise le produit en croix et on vérifie que x ≠ 0.
\( \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \)
Donc : \( \frac{5}{x} = \frac{5}{2} \)
\( 5 \cdot 2 = 5 \cdot x \)
\( 10 = 5x \)
\( \frac{10}{5} = \frac{5x}{5} \)
\( x = 2 \)
\( \frac{5}{2} = \frac{5}{2} \) ✓
Et \( x = 2 \neq 0 \), donc la solution est valide
\( x = 2 \)
• Variable au dénominateur : x ≠ 0
• On peut utiliser le produit en croix
• On simplifie les fractions si possible
Variables aux dénominateurs multiples : On multiplie par le dénominateur commun.
\( x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \)
\( x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1 \)
\( \frac{3}{x-1} \cdot (x-1)(x+1) + \frac{2}{x+1} \cdot (x-1)(x+1) = 1 \cdot (x-1)(x+1) \)
\( 3(x+1) + 2(x-1) = (x-1)(x+1) \)
\( 3x + 3 + 2x - 2 = x^2 - 1 \)
\( 5x + 1 = x^2 - 1 \)
\( 0 = x^2 - 1 - 5x - 1 \)
\( 0 = x^2 - 5x - 2 \)
On utilise la méthode du discriminant (hors programme de seconde)
Ou on essaie de factoriser : impossible ici
Donc : \( x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 8}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{2} \)
\( x = \frac{5 + \sqrt{33}}{2} \) ou \( x = \frac{5 - \sqrt{33}}{2} \)
• On détermine les conditions d'existence (dénominateur ≠ 0)
• On multiplie par le dénominateur commun
• On simplifie et on résout l'équation obtenue
Égalité de fractions avec variables au numérateur et dénominateur : Produit en croix.
\( x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3 \)
\( x-1 \neq 0 \Rightarrow x \neq 1 \)
\( 2x \cdot (x-1) = 4 \cdot (x+3) \)
\( 2x(x-1) = 4(x+3) \)
\( 2x^2 - 2x = 4x + 12 \)
\( 2x^2 - 2x - 4x - 12 = 0 \)
\( 2x^2 - 6x - 12 = 0 \)
\( x^2 - 3x - 6 = 0 \)
On peut essayer de factoriser ou utiliser la méthode du discriminant
Discriminant : \( \Delta = 9 + 24 = 33 \)
\( x = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{2} \)
\( x = \frac{3 + \sqrt{33}}{2} \) ou \( x = \frac{3 - \sqrt{33}}{2} \)
• Produit en croix pour égalité de fractions
• On détermine les conditions d'existence
• On résout l'équation quadratique obtenue
Fractions avec identités remarquables : \( x^2-4 = (x-2)(x+2) \).
\( x^2-4 = (x-2)(x+2) \)
\( x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 \)
\( x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 \)
\( x^2-4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2 \)
\( \frac{x}{x-2} \cdot (x-2)(x+2) + \frac{1}{x+2} \cdot (x-2)(x+2) = \frac{2x}{(x-2)(x+2)} \cdot (x-2)(x+2) \)
\( x(x+2) + 1(x-2) = 2x \)
\( x^2 + 2x + x - 2 = 2x \)
\( x^2 + 3x - 2 = 2x \)
\( x^2 + 3x - 2 - 2x = 0 \)
\( x^2 + x - 2 = 0 \)
\( x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1) = 0 \)
\( x = -2 \) ou \( x = 1 \)
Mais \( x \neq -2 \) (condition d'existence)
Donc \( x = 1 \)
Pour \( x = 1 \):
Gauche : \( \frac{1}{1-2} + \frac{1}{1+2} = \frac{1}{-1} + \frac{1}{3} = -1 + \frac{1}{3} = -\frac{2}{3} \)
Droite : \( \frac{2 \times 1}{1^2-4} = \frac{2}{-3} = -\frac{2}{3} \)
Donc égalité ✓
\( x = 1 \)
• Reconnaître les identités remarquables
• Déterminer les conditions d'existence
• Multiplier par le dénominateur commun
• Éliminer les solutions invalides
