Équations avec fractions / dénominateurs

Introduction

BONJOUR ET BIENVENUE !
ÉQUATIONS AVEC FRACTIONS
Résolution d'équations avec dénominateurs

Découvrez comment résoudre des équations contenant des fractions et des dénominateurs

Fractions
Dénominateurs
Calcul

Rappel sur les fractions

Opérations avec les fractions

OPÉRATIONS ESSENTIELLES
Rappel des opérations
\( \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd} \)
\( \frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} \)
\( \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{ad}{bc} \)
Ces opérations seront utiles pour résoudre des équations avec fractions

Méthodologie de résolution

Étapes de résolution

PROCÉDURE PAS À PAS
Méthode générale
1 Trouver le dénominateur commun
2 Multiplier chaque terme par ce dénominateur
3 Éliminer les fractions
4 Résoudre l'équation sans fractions
5 Vérifier la solution
PRINCIPE
On multiplie chaque terme par le PPCM des dénominateurs

Le PPCM (plus petit commun multiple) des dénominateurs permet d'éliminer toutes les fractions en une seule opération.

Exemple simple

Résolution pas à pas

EXEMPLE INTRODUCTIF
Résoudre x/2 + 3 = 5
Étape 1 : L'équation contient une fraction avec dénominateur 2
Étape 2 : On multiplie chaque terme par 2 pour éliminer la fraction
Étape 3 : \( 2 \times \frac{x}{2} + 2 \times 3 = 2 \times 5 \)
Étape 4 : \( x + 6 = 10 \)
Étape 5 : \( x = 10 - 6 = 4 \)
Solution : \( x = 4 \)
VÉRIFICATION
On remplace \( x = 4 \) dans l'équation originale :
\( \frac{4}{2} + 3 = 2 + 3 = 5 \) ✓

Équations avec plusieurs fractions

Plusieurs dénominateurs

MÉTHODE AVEC PLUSIEURS DÉNOMINATEURS
Trouver le PPCM des dénominateurs

Le PPCM (Plus Petit Commun Multiple) est le plus petit nombre divisible par tous les dénominateurs.

Exemple : PPCM de 2, 3 et 4 est 12.

EXEMPLE
Résoudre x/2 + x/3 = 5
Étape 1 : Dénominateurs : 2 et 3 → PPCM = 6
Étape 2 : On multiplie chaque terme par 6
Étape 3 : \( 6 \times \frac{x}{2} + 6 \times \frac{x}{3} = 6 \times 5 \)
Étape 4 : \( 3x + 2x = 30 \)
Étape 5 : \( 5x = 30 \)
Étape 6 : \( x = 6 \)
Solution : \( x = 6 \)

Fractions complexes

Équations avec fractions dans les fractions

FRACTIONS COMPOSÉES
Résoudre (2x + 1)/3 = (x - 2)/4
Étape 1 : Dénominateurs : 3 et 4 → PPCM = 12
Étape 2 : On multiplie chaque côté par 12
Étape 3 : \( 12 \times \frac{2x + 1}{3} = 12 \times \frac{x - 2}{4} \)
Étape 4 : \( 4(2x + 1) = 3(x - 2) \)
Étape 5 : \( 8x + 4 = 3x - 6 \)
Étape 6 : \( 8x - 3x = -6 - 4 \)
Étape 7 : \( 5x = -10 \)
Étape 8 : \( x = -2 \)
Solution : \( x = -2 \)

Équations avec dénominateurs variables

Dénominateurs contenant l'inconnue

CONDITIONS D'EXISTENCE
Toujours vérifier les conditions d'existence

Un dénominateur ne peut jamais être égal à zéro.

Avant de résoudre, on doit exclure les valeurs de x qui annulent les dénominateurs.

EXEMPLE
Résoudre 2/(x-1) = 3/(x+2)
Condition d'existence : \( x \neq 1 \) et \( x \neq -2 \)
Étape 1 : Multiplier chaque côté par \( (x-1)(x+2) \)
Étape 2 : \( 2(x+2) = 3(x-1) \)
Étape 3 : \( 2x + 4 = 3x - 3 \)
Étape 4 : \( 4 + 3 = 3x - 2x \)
Étape 5 : \( 7 = x \)
Vérification : \( x = 7 \) n'est ni 1 ni -2, donc c'est valide
Solution : \( x = 7 \)

Applications concrètes

Problèmes concrets

PROBLÈME 1 : Taux de travail
Deux ouvriers effectuant un travail

Un ouvrier A fait un travail en 6 heures, un ouvrier B en 4 heures. Combien de temps mettent-ils ensemble ?

Équation : \( \frac{1}{6} + \frac{1}{4} = \frac{1}{x} \) (où x est le temps ensemble)
PPCM de 6 et 4 : 12
Multiplication par 12 : \( 12 \times \frac{1}{6} + 12 \times \frac{1}{4} = 12 \times \frac{1}{x} \)
Résultat : \( 2 + 3 = \frac{12}{x} \) → \( 5 = \frac{12}{x} \) → \( x = \frac{12}{5} = 2.4 \) heures
Réponse : 2h24 (2.4 heures)
PROBLÈME 2 : Concentration chimique
Mélange de solutions

On mélange 2L d'une solution à 20% avec 3L d'une solution à 30%. Quelle est la concentration finale ?

Quantité de soluté : \( \frac{20}{100} \times 2 + \frac{30}{100} \times 3 = \frac{x}{100} \times 5 \)
Équation : \( 0.4 + 0.9 = \frac{5x}{100} \)
Résultat : \( 1.3 = \frac{5x}{100} \) → \( x = \frac{130}{5} = 26 \)
Réponse : 26%

Erreurs fréquentes

Pièges à éviter

ERREURS COMMUNES
Erreurs à ne pas commettre
  • 1 Oublier de multiplier tous les termes par le PPCM ❌
  • 2 Ne pas vérifier les conditions d'existence
  • 3 Confondre addition et multiplication de fractions
  • 4 Oublier de distribuer le PPCM aux parenthèses
CORRECTIONS
Bonnes pratiques
  • Multiplier TOUS les termes par le PPCM ✅
  • Vérifier que la solution ne rende pas un dénominateur nul ✅
  • Respecter les priorités opératoires ✅
  • Utiliser la distributivité correctement ✅

Vérification des solutions

Toujours vérifier

MÉTHODE DE VÉRIFICATION
Comment vérifier une solution
  1. Vérifier que la solution ne rende pas un dénominateur nul
  2. Remplacer la valeur trouvée dans l'équation originale
  3. Calculer le membre de gauche
  4. Calculer le membre de droite
  5. Vérifier que les deux membres sont égaux
EXEMPLE DE VÉRIFICATION
Vérifions x = 6 pour x/2 + x/3 = 5
Membre de gauche : \( \frac{6}{2} + \frac{6}{3} = 3 + 2 = 5 \)
Membre de droite : \( 5 \)
Donc : \( 5 = 5 \) ✓
La solution est correcte !

Exercices d'application

Problèmes à résoudre

EXERCICES DE BASE
Résoudre les équations suivantes

1. \( \frac{x}{3} + 2 = 5 \)

2. \( \frac{x}{4} + \frac{x}{6} = 5 \)

3. \( \frac{2x + 1}{5} = \frac{x - 3}{3} \)

4. \( \frac{3}{x} = \frac{6}{x + 2} \) (avec \( x \neq 0 \) et \( x \neq -2 \))

EXERCICES AVANCÉS
Problèmes concrets

5. Une voiture roule à 60 km/h pendant la moitié d'un trajet, puis à 40 km/h pendant l'autre moitié. Quelle est sa vitesse moyenne ?

Indication : Si le trajet total est 2d, alors le temps total est \( \frac{d}{60} + \frac{d}{40} \)

6. \( \frac{2x - 1}{x + 3} = \frac{x + 1}{x - 2} \) (avec \( x \neq -3 \) et \( x \neq 2 \))

Solutions des exercices

Corrections détaillées

EXERCICE 1 : x/3 + 2 = 5
Correction
Multiplier par 3 : \( x + 6 = 15 \)
\( x = 15 - 6 = 9 \)
Solution : \( x = 9 \)
EXERCICE 2 : x/4 + x/6 = 5
Correction
PPCM de 4 et 6 = 12
Multiplier par 12 : \( 3x + 2x = 60 \)
\( 5x = 60 \)
\( x = 12 \)
Solution : \( x = 12 \)
EXERCICE 3 : (2x + 1)/5 = (x - 3)/3
Correction
PPCM de 5 et 3 = 15
Multiplier par 15 : \( 3(2x + 1) = 5(x - 3) \)
\( 6x + 3 = 5x - 15 \)
\( 6x - 5x = -15 - 3 \)
\( x = -18 \)
Solution : \( x = -18 \)
EXERCICE 4 : 3/x = 6/(x + 2)
Correction
Condition : \( x \neq 0 \) et \( x \neq -2 \)
Multiplier par \( x(x + 2) \) : \( 3(x + 2) = 6x \)
\( 3x + 6 = 6x \)
\( 6 = 6x - 3x \)
\( 6 = 3x \)
\( x = 2 \)
\( x = 2 \) n'est pas égal à 0 ou -2, donc c'est valide
Solution : \( x = 2 \)
EXERCICE 5 : Vitesse moyenne
Correction
Temps total : \( \frac{d}{60} + \frac{d}{40} = \frac{2d + 3d}{120} = \frac{5d}{120} = \frac{d}{24} \)
Distance totale : \( 2d \)
Vitesse moyenne = \( \frac{\text{distance}}{\text{temps}} = \frac{2d}{d/24} = 2d \times \frac{24}{d} = 48 \) km/h
Réponse : 48 km/h
EXERCICE 6 : (2x - 1)/(x + 3) = (x + 1)/(x - 2)
Correction
Condition : \( x \neq -3 \) et \( x \neq 2 \)
Multiplier par \( (x + 3)(x - 2) \) : \( (2x - 1)(x - 2) = (x + 1)(x + 3) \)
Développer : \( 2x^2 - 4x - x + 2 = x^2 + 3x + x + 3 \)
\( 2x^2 - 5x + 2 = x^2 + 4x + 3 \)
\( x^2 - 9x - 1 = 0 \)
Cette équation quadratique se résout avec la formule du discriminant
Solutions : \( x = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 4}}{2} = \frac{9 \pm \sqrt{85}}{2} \)

Résumé

Points clés

MÉTHODE DE RÉSOLUTION
Équations avec fractions
  1. Identifier tous les dénominateurs
  2. Calculer le PPCM des dénominateurs
  3. Multiplier chaque terme par le PPCM
  4. Éliminer les fractions
  5. Résoudre l'équation sans fractions
  6. Vérifier les conditions d'existence
Cas particuliers
  • Quand les dénominateurs contiennent l'inconnue, vérifier les conditions d'existence
  • Le PPCM élimine toutes les fractions en une seule opération
  • Ne jamais diviser par zéro
Conseils pratiques
  • Faire attention aux signes lors de la multiplication
  • Vérifier toujours la solution
  • Ne pas oublier de distribuer le PPCM
  • Simplifier les fractions avant de résoudre
Maîtrisez cette méthode pour résoudre toutes les équations avec fractions !

Conclusion

Félicitations !

FÉLICITATIONS !
MAÎTRISE DES ÉQUATIONS AVEC FRACTIONS
Vous savez maintenant résoudre des équations avec dénominateurs !

Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences

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