Résolution d'équations ax + b = cx + d

Introduction

BONJOUR ET BIENVENUE !
ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ
ax + b = cx + d

Découvrez comment résoudre des équations du premier degré avec des inconnues des deux côtés

Équations
Inconnue
Calcul

Définition de l'équation

Qu'est-ce qu'une équation ax + b = cx + d ?

DÉFINITION
Forme générale

Une équation du premier degré de la forme \( ax + b = cx + d \) est une équation où :

  • \( x \) est l'inconnue à déterminer
  • \( a, b, c, d \) sont des nombres connus (coefficients)
  • Le but est de trouver la valeur de \( x \) qui rend l'égalité vraie
\( ax + b = cx + d \)
Exemple : \( 2x + 3 = 5x - 1 \) est de la forme \( ax + b = cx + d \) avec \( a = 2 \), \( b = 3 \), \( c = 5 \), \( d = -1 \)

Méthodologie de résolution

Étapes de résolution

PROCÉDURE PAS À PAS
Méthode générale
1 Rassembler les termes en \( x \) d'un côté de l'égalité
2 Rassembler les termes constants de l'autre côté
3 Isoler \( x \) en divisant par son coefficient
4 Donner la solution
5 Vérifier la solution
PRINCIPE
On conserve l'égalité en faisant les mêmes opérations des deux côtés

On peut ajouter, soustraire, multiplier ou diviser les deux membres de l'équation par le même nombre (sauf 0 pour la division) sans modifier la solution.

Exemple simple

Résolution pas à pas

EXEMPLE INTRODUCTIF
Résoudre 2x + 3 = 5x - 1
Étape 1 : On rassemble les termes en \( x \) à gauche et les termes constants à droite
Étape 2 : \( 2x - 5x = -1 - 3 \) (on soustrait \( 5x \) et \( 3 \) des deux côtés)
Étape 3 : \( -3x = -4 \)
Étape 4 : \( x = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3} \) (on divise par \( -3 \))
Solution : \( x = \frac{4}{3} \)
VÉRIFICATION
On remplace \( x = \frac{4}{3} \) dans l'équation originale :
Membre de gauche : \( 2 \times \frac{4}{3} + 3 = \frac{8}{3} + 3 = \frac{8}{3} + \frac{9}{3} = \frac{17}{3} \)
Membre de droite : \( 5 \times \frac{4}{3} - 1 = \frac{20}{3} - 1 = \frac{20}{3} - \frac{3}{3} = \frac{17}{3} \)
Donc \( \frac{17}{3} = \frac{17}{3} \) ✓

Cas particuliers

Quand les coefficients de x sont égaux

SI a = c
Quand les coefficients de x sont identiques

Si dans l'équation \( ax + b = cx + d \), on a \( a = c \), alors :

\( ax + b = ax + d \)

Après simplification : \( b = d \)

  • Si \( b = d \) : l'équation est vérifiée pour toutes les valeurs de \( x \) (infinité de solutions)
  • Si \( b \neq d \) : l'équation n'a pas de solution
EXEMPLES
Cas particuliers
Exemple 1 : \( 3x + 2 = 3x + 2 \) → Toutes les valeurs de \( x \) sont solutions
Exemple 2 : \( 3x + 2 = 3x + 5 \) → Aucune solution (car \( 2 \neq 5 \))

Autres exemples

Variations de difficulté

EXEMPLE 1
Résoudre 4x - 5 = 2x + 7
Étape 1 : \( 4x - 2x = 7 + 5 \)
Étape 2 : \( 2x = 12 \)
Étape 3 : \( x = 6 \)
Solution : \( x = 6 \)
EXEMPLE 2
Résoudre -2x + 8 = 3x - 2
Étape 1 : \( -2x - 3x = -2 - 8 \)
Étape 2 : \( -5x = -10 \)
Étape 3 : \( x = 2 \)
Solution : \( x = 2 \)

Méthode générale détaillée

Résolution de ax + b = cx + d

ÉTAPES DÉTAILLÉES
Procédure complète
Étape 1 : Partir de l'équation : \( ax + b = cx + d \)
Étape 2 : Soustraire \( cx \) des deux côtés : \( ax - cx + b = d \)
Étape 3 : Soustraire \( b \) des deux côtés : \( ax - cx = d - b \)
Étape 4 : Factoriser à gauche : \( (a - c)x = d - b \)
Étape 5 : Diviser par \( (a - c) \) (si \( a \neq c \)) : \( x = \frac{d - b}{a - c} \)
CONDITIONS
Conditions de validité

La solution \( x = \frac{d - b}{a - c} \) est valable si et seulement si \( a \neq c \).

Si \( a = c \), alors :

  • Si \( b = d \) : infinité de solutions
  • Si \( b \neq d \) : aucune solution

Applications concrètes

Problèmes concrets

PROBLÈME 1 : Comparaison de tarifs
Deux abonnements Internet

Abonnement A : 20€ fixe + 0.05€ par minute de connexion

Abonnement B : 10€ fixe + 0.10€ par minute de connexion

A partir de combien de minutes les deux tarifs sont-ils égaux ?

Équation : \( 20 + 0.05x = 10 + 0.10x \) (où x est le nombre de minutes)
Résolution : \( 20 - 10 = 0.10x - 0.05x \) → \( 10 = 0.05x \) → \( x = 200 \)
Réponse : 200 minutes
PROBLÈME 2 : Comparaison de distances
Deux trains partant à des vitesses différentes

Train A : démarre à 8h et roule à 80 km/h

Train B : démarre à 9h et roule à 100 km/h

A quelle heure le train B rattrape-t-il le train A ?

Soit t le temps écoulé depuis 8h
Distance de A : 80t
Distance de B : 100(t-1) (car il démarre 1h plus tard)
Équation : 80t = 100(t-1) → 80t = 100t - 100 → 100 = 20t → t = 5
Réponse : 13h (5h après 8h)

Erreurs fréquentes

Pièges à éviter

ERREURS COMMUNES
Erreurs à ne pas commettre
  • 1 Oublier de changer le signe lorsqu'on passe un terme de l'autre côté ❌
  • 2 Diviser par zéro (quand a = c)
  • 3 Ne pas vérifier la solution trouvée
  • 4 Confondre addition et multiplication dans les opérations
CORRECTIONS
Bonnes pratiques
  • Quand on change de côté, on change de signe : \( +3 \) devient \( -3 \) ✅
  • Vérifier que \( a \neq c \) avant de diviser ✅
  • Toujours substituer la solution dans l'équation originale ✅
  • Faire attention aux signes, surtout avec les nombres négatifs ✅

Vérification des solutions

Toujours vérifier

MÉTHODE DE VÉRIFICATION
Comment vérifier une solution
  1. Remplacer la valeur trouvée de \( x \) dans l'équation originale
  2. Calculer le membre de gauche
  3. Calculer le membre de droite
  4. Vérifier que les deux membres sont égaux
EXEMPLE DE VÉRIFICATION
Vérifions x = 2 pour 3x + 1 = 2x + 5
Membre de gauche : \( 3 \times 2 + 1 = 6 + 1 = 7 \)
Membre de droite : \( 2 \times 2 + 5 = 4 + 5 = 9 \)
ATTENTION : \( 7 \neq 9 \), donc \( x = 2 \) n'est pas la solution !
Corrigé : \( 3x + 1 = 2x + 5 \) → \( x = 4 \) (car \( 3 \times 4 + 1 = 13 \) et \( 2 \times 4 + 5 = 13 \))

Exercices d'application

Problèmes à résoudre

EXERCICES DE BASE
Résoudre les équations suivantes

1. \( 5x + 3 = 2x + 12 \)

2. \( 4x - 1 = 7x + 8 \)

3. \( 2x + 5 = 2x + 3 \)

4. \( 6x - 4 = 3x + 11 \)

EXERCICES AVANCÉS
Problèmes concrets

5. Un téléphone coûte 200€ au magasin A et 150€ au magasin B, mais B facture 2€ de port par téléphone. À partir de combien de téléphones le magasin B est-il plus intéressant ?

6. \( 3(x + 2) - 4 = 2(x - 1) + 5 \)

Solutions des exercices

Corrections détaillées

EXERCICE 1 : 5x + 3 = 2x + 12
Correction
\( 5x - 2x = 12 - 3 \)
\( 3x = 9 \)
\( x = 3 \)
Solution : \( x = 3 \)
EXERCICE 2 : 4x - 1 = 7x + 8
Correction
\( 4x - 7x = 8 + 1 \)
\( -3x = 9 \)
\( x = -3 \)
Solution : \( x = -3 \)
EXERCICE 3 : 2x + 5 = 2x + 3
Correction
\( 2x - 2x = 3 - 5 \)
\( 0 = -2 \)
C'est impossible, donc l'équation n'a pas de solution
Aucune solution
EXERCICE 4 : 6x - 4 = 3x + 11
Correction
\( 6x - 3x = 11 + 4 \)
\( 3x = 15 \)
\( x = 5 \)
Solution : \( x = 5 \)
EXERCICE 5 : Problème de magasins
Correction
Soit x le nombre de téléphones
Coût magasin A : 200x
Coût magasin B : 150x + 2x = 152x
Équation : 200x = 152x → 48x = 0 → x = 0
Le magasin B est toujours plus intéressant (car 152 < 200)
Le magasin B est toujours plus intéressant
EXERCICE 6 : 3(x + 2) - 4 = 2(x - 1) + 5
Correction
Développons : \( 3x + 6 - 4 = 2x - 2 + 5 \)
Simplifions : \( 3x + 2 = 2x + 3 \)
\( 3x - 2x = 3 - 2 \)
\( x = 1 \)
Solution : \( x = 1 \)

Résumé

Points clés

MÉTHODE DE RÉSOLUTION
Équation ax + b = cx + d
  1. Rassembler les termes en x d'un côté
  2. Rassembler les constantes de l'autre côté
  3. Isoler x en divisant par son coefficient
  4. Vérifier la solution
Cas particuliers
  • Si \( a = c \) et \( b = d \) : infinité de solutions
  • Si \( a = c \) et \( b \neq d \) : aucune solution
  • Si \( a \neq c \) : une unique solution
Conseils pratiques
  • Faire attention aux changements de signe
  • Vérifier toujours la solution
  • Ne pas diviser par 0
  • Savoir reconnaître les cas particuliers
Maîtrisez cette méthode pour résoudre toutes les équations du premier degré !

Conclusion

Félicitations !

FÉLICITATIONS !
MAÎTRISE DES ÉQUATIONS
Vous savez maintenant résoudre ax + b = cx + d !

Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences

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