Lois de Mouvement dans les Liaisons | des Systèmes Mécaniques | Sciences de l'Ingénieur

Les lois de mouvement dans les liaisons reposent sur :

• Le respect des degrés de liberté imposés par la liaison
• Les conditions de conservation des mouvements autorisés
• Les relations de fermeture cinématique

Pour une liaison encastrement entre deux solides S1 et S2 :

• Les vitesses relatives sont nulles : \( \vec{V}_{S2/S1} = \vec{0} \)
• Les accélérations relatives sont nulles : \( \vec{a}_{S2/S1} = \vec{0} \)
• Les positions relatives sont constantes

• Aucun mouvement relatif n'est possible
• Les deux solides se déplacent comme un seul
• Les paramètres cinématiques sont identiques

Une vis fixée dans un bloc métallique : la tête de la vis et le bloc se déplacent ensemble, sans aucun mouvement relatif possible.

Pour une liaison pivot d'axe (O, \( \vec{u} \)) entre deux solides S1 et S2 :

• Le point O est fixe dans le mouvement relatif
• Seule la rotation autour de l'axe \( \vec{u} \) est autorisée
• La vitesse angulaire relative est : \( \vec{\omega}_{S2/S1} = \dot{\theta} \vec{u} \)
• La vitesse d'un point A sur l'axe est nulle

La vitesse d'un point M éloigné de l'axe de distance d est :

Où A est un point sur l'axe de rotation.

La porte tourne autour de l'axe de la charnière, la vitesse de chaque point de la porte est perpendiculaire à la droite joignant ce point à l'axe de rotation.

Pour une liaison glissière d'axe (O, \( \vec{u} \)) entre deux solides S1 et S2 :

• Seule la translation selon l'axe \( \vec{u} \) est autorisée
• Les vitesses relatives sont colinéaires à \( \vec{u} \)
• La vitesse relative est : \( \vec{V}_{S2/S1} = \dot{x} \vec{u} \)
• La vitesse angulaire relative est nulle : \( \vec{\omega}_{S2/S1} = \vec{0} \)

Tous les points des solides liés par une liaison glissière ont la même vitesse relative :

Pour tous points M et N des solides.

Le tiroir se déplace uniquement selon l'axe de ses glissières, tous les points du tiroir ont la même vitesse de translation.

Pour une liaison sphérique de centre O entre deux solides S1 et S2 :

• Le point O est fixe dans le mouvement relatif
• Toutes les rotations autour de O sont autorisées
• La vitesse du point O est nulle : \( \vec{V}_{O \in S2/S1} = \vec{0} \)
• La vitesse angulaire relative est quelconque : \( \vec{\omega}_{S2/S1} \)

La vitesse d'un point M par rapport au centre O est :

Comme pour la liaison pivot, mais avec \( \vec{\omega}_{S2/S1} \) de direction variable.

Le joint de cardan permet des rotations dans toutes les directions autour d'un point fixe, simulant une liaison sphérique.

Pour une liaison pivot-glissant d'axe (O, \( \vec{u} \)) entre deux solides S1 et S2 :

• Translation selon l'axe \( \vec{u} \) est autorisée
• Rotation autour de l'axe \( \vec{u} \) est autorisée
• La vitesse relative est : \( \vec{V}_{S2/S1} = \dot{x} \vec{u} \)
• La vitesse angulaire relative est : \( \vec{\omega}_{S2/S1} = \dot{\theta} \vec{u} \)

La vitesse d'un point M éloigné de l'axe de distance d est la somme :

Où A est un point sur l'axe de la liaison.

Le vérin hydraulique combine une translation de la tige et une rotation potentielle autour de son axe.

Le théorème de composition des vitesses s'énonce :

Ce théorème est fondamental pour analyser les mouvements dans les systèmes mécaniques complexes.

Soit un point M appartenant au solide S2, en mouvement par rapport à un solide S1 :

Où \( \vec{V}_{S2/S1} \) dépend des lois de mouvement de la liaison entre S1 et S2.

Une bielle liée par des pivots aux extrémités a des vitesses aux points de liaison qui dépendent des lois de mouvement des liaisons pivot.

1. Identifier les solides : déterminer les différentes pièces du mécanisme
2. Repérer les liaisons : identifier les contacts entre les solides
3. Appliquer les lois de mouvement : utiliser les relations cinématiques pour chaque liaison
4. Écrire les équations de fermeture : relier les paramètres cinématiques
5. Résoudre le système : déterminer les vitesses et accélérations inconnues

• Solide 1 : Carter fixe (repère R1)
• Solide 2 : Manivelle (rotation autour de O)
• Solide 3 : Bielle (liaison pivot avec la manivelle et le piston)
• Solide 4 : Piston (glissière dans le carter)
• Liaisons : pivot, pivot, glissière

• Les articulations (liaisons pivot) doivent respecter des lois de mouvement pour la cinématique directe/inverse
• Les effecteurs terminaux doivent suivre des trajectoires précises
• Les lois de mouvement assurent la coordination des axes

• Le piston (liaison glissière) se déplace selon une loi liée à la manivelle
• La bielle transmet le mouvement selon les lois des liaisons pivot
• La cinématique détermine les performances du moteur

• Relations mathématiques liant les mouvements relatifs entre solides liés
• Permettent de prédire le comportement cinématique d'un système
• Respectent les degrés de liberté imposés par la liaison

• Encastrement : vitesses et accélérations relatives nulles
• Pivot : rotation autorisée, vitesse angulaire colinéaire à l'axe
• Glissière : translation autorisée, vitesse colinéaire à l'axe
• Sphérique : rotations libres autour d'un point fixe
• Pivot-glissant : rotation et translation selon le même axe

• Vitesse absolue = Vitesse relative + Vitesse d'entraînement
• Fondamental pour l'analyse des systèmes complexes

Utilisons la composition des vitesses angulaires :

Comme les deux vitesses angulaires sont colinéaires à l'axe \( \vec{z} \) :

Le point A est à une distance r = 10 cm = 0,1 m de l'axe de rotation.

Le solide S2 effectue un mouvement de rotation uniforme autour de l'axe Oz avec une vitesse angulaire de 3 rad/s. La vitesse de rotation est constante, donc le mouvement est une rotation uniforme.