Chaînes s | des Systèmes Mécaniques | Sciences de l'Ingénieur

• Chaîne ouverte : structure en série sans boucles
• Chaîne fermée : structure avec au moins une boucle cinématique
• Chaîne complexe : combinaison de chaînes ouvertes et fermées

Une chaîne cinématique ouverte est une succession de solides liés par des liaisons, sans former de boucles. Chaque solide est lié à un ou deux autres solides.

Exemple typique : bras manipulateur robotique

• Calcul cinématique simple
• Grand espace de travail
• Facilité d'analyse

• Moins de rigidité
• Moins de précision
• Accumulation des erreurs

Un bras manipulateur industriel avec 6 degrés de liberté est un exemple de chaîne cinématique ouverte : base - articulation 1 - lien 1 - articulation 2 - ... - effecteur terminal.

Une chaîne cinématique fermée contient au moins une boucle cinématique, c'est-à-dire un chemin fermé reliant les solides entre eux.

Exemple typique : système bielle-manivelle

• Meilleure rigidité
• Meilleure précision
• Meilleure répartition des charges

• Calcul cinématique plus complexe
• Contraintes géométriques
• Moins de souplesse

Le système bielle-manivelle d'un moteur thermique est un exemple de chaîne cinématique fermée : carter - manivelle - bielle - piston - carter (boucle fermée).

Le graphe des liaisons est une représentation graphique d'une chaîne cinématique où :

• Les solides sont représentés par des sommets
• Les liaisons sont représentées par des arcs (arêtes)
• Les propriétés des liaisons sont indiquées sur les arcs

• Visualisation claire de la structure
• Identification des boucles cinématiques
• Calcul du degré d'hyperstatisme
• Étude de la mobilité du mécanisme

Pour un système constitué de 4 solides S1, S2, S3, S4 avec des liaisons pivot entre S1-S2, S2-S3, S3-S4 et S4-S1, le graphe forme un cycle fermé de 4 sommets.

La mobilité d'une chaîne cinématique est le nombre de paramètres indépendants nécessaires pour décrire complètement le mouvement du mécanisme.

Elle dépend :

• Des degrés de liberté des liaisons
• De la topologie de la chaîne
• Des liaisons redondantes

Pour une chaîne ouverte :

Où \( d_i \) est le nombre de degrés de liberté de la liaison i, et n le nombre de liaisons.

Pour une chaîne fermée :

Où c est le nombre de cycles indépendants.

Pour un bras manipulateur à 6 articulations pivot : m = 6 × 1 = 6 degrés de mobilité.

Le degré d'hyperstatisme d'une chaîne cinématique est le nombre de liaisons redondantes dans le système. C'est le nombre d'inconnues hyperstatiques dans les équations d'équilibre.

Un système hyperstatique a plus de liaisons que nécessaire pour assurer sa stabilité.

La formule générale est :

Où :

• \( N_s \) : nombre de degrés de liberté des solides
• \( N_c \) : nombre de degrés de liaison imposés par les liaisons

• h = 0 : système isostatique (juste stable)
• h > 0 : système hyperstatique (sur-stable)
• h < 0 : système hypostatique (instable)

Avantages : plus rigides, supportent mieux les charges. Inconvénients : sensibles aux défauts de fabrication, plus difficiles à assembler.

1. Identifier les solides : déterminer les différentes pièces du mécanisme
2. Repérer les liaisons : identifier les contacts entre les solides
3. Tracer le graphe des liaisons : représenter la structure cinématique
4. Classifier la chaîne : ouverte, fermée ou complexe
5. Calculer la mobilité : déterminer le nombre de degrés de liberté
6. Calculer l'hyperstatisme : évaluer la stabilité du système

• Solides : carter (fixe), manivelle, bielle, piston
• Liaisons : pivot (carter-manivelle), pivot (manivelle-bielle), pivot (bielle-piston), glissière (piston-carter)
• Graphe : forme une boucle fermée
• Chaîne : fermée
• Mobilité : m = 1 (un paramètre d'entrée)
• Hyperstatisme : h = 0 (isostatique)

• Les machines-outils à structure parallèle utilisent des chaînes cinématiques fermées
• Plus rigides et précises que les structures séries
• Exemples : plates-formes de simulation, machines à structure Delta

• Les transmissions automobiles combinent chaînes ouvertes et fermées
• Systèmes de suspension avec chaînes fermées pour la rigidité
• Boîtes de vitesses avec multiples chaînes cinématiques

• Ensemble de solides liés par des liaisons mécaniques
• Caractérisées par leur topologie (ouverte, fermée, complexe)
• Modélisées par des graphes de liaisons

• Ouvertes : structure en série, mobilité élevée
• Fermées : structure avec boucles, rigidité accrue
• Complexes : combinaison des deux types

• Mobilité : nombre de degrés de liberté du système
• Hyperstatisme : degré de redondance des liaisons
• Isostatique (h=0), hyperstatique (h>0), hypostatique (h<0)

Le graphe comporte 4 sommets (S1, S2, S3, S4) et 4 arcs (liaisons). La structure forme un cycle fermé : S1 - S2 - S3 - S4 - S1.

Le mécanisme contient une boucle cinématique (S1-S2-S3-S4-S1), donc c'est une chaîne cinématique fermée.

Nombre de liaisons : 4
Degrés de liberté des liaisons :
- Pivot (S1-S2) : 1
- Pivot-glissant (S2-S3) : 2
- Pivot (S3-S4) : 1
- Pivot (S4-S1) : 1
Total : 1 + 2 + 1 + 1 = 5
Nombre de cycles : 1
Mobilité : m = 5 - 6(1-1) = 5 - 0 = 5

Correction : pour une chaîne fermée : m = ∑di - 6(cycles indépendants)
m = 5 - 6×1 = -1
Cela signifie que le mécanisme est hypostatique (instable).

Nombre de solides mobiles : 3 (S2, S3, S4)
Degrés de liberté des solides : 3 × 6 = 18
Degrés de liaison imposés : (6-1) + (6-2) + (6-1) + (6-1) = 5 + 4 + 5 + 5 = 19
Hyperstatisme : h = 18 - 19 = -1
Le système est hypostatique (h < 0).