Construction et Lecture d'un Graphique | Représentation Graphique de Fonction Seconde

Pour tracer le graphique d'une fonction, on utilise un repère du plan (O, I, J) :

• L'axe horizontal (Ox) est l'axe des abscisses (valeurs de x)
• L'axe vertical (Oy) est l'axe des ordonnées (valeurs de f(x))
• Chaque point du graphique a pour coordonnées (x, f(x))

Avant de tracer le graphique, il faut connaître l'ensemble de définition D de la fonction.

Cela détermine les valeurs de x que l'on peut utiliser.

Exemple : Pour f(x) = √x, on a D = [0, +∞[.

Choisir plusieurs valeurs de x dans D et calculer les images f(x).

On sélectionne des valeurs régulièrement espacées ou des valeurs particulières.

Plus il y a de points, plus le graphique est précis.

Tracer les axes du repère avec des unités adaptées.

Veiller à bien graduer les axes pour que le graphique soit lisible.

Placer dans le repère les points de coordonnées (x, f(x)) du tableau.

Chaque point représente une association x → f(x).

Relier les points par une courbe continue (si la fonction est continue).

Veiller à respecter le comportement de la fonction entre les points.

Pour lire l'image d'une valeur x₀ sur le graphique :

1. Repérer x₀ sur l'axe des abscisses
2. Tracer une droite verticale passant par x₀
3. Repérer le point d'intersection avec la courbe
4. Lire l'ordonnée de ce point

Cette ordonnée est f(x₀), l'image de x₀ par f.

Pour lire les antécédents d'une valeur y₀ sur le graphique :

1. Repérer y₀ sur l'axe des ordonnées
2. Tracer une droite horizontale passant par y₀
3. Repérer les points d'intersection avec la courbe
4. Lire les abscisses de ces points

Ces abscisses sont les antécédents de y₀ par f.

Le graphique permet de lire :

• Les variations de la fonction (croissance, décroissance)
• Les extremums (minimum, maximum)
• Les points d'intersection avec les axes
• Les solutions d'équations f(x) = k
• Le signe de la fonction

Sur le graphique de f, pour lire f(2) :

• On repère x = 2 sur l'axe des abscisses
• On trace la verticale x = 2
• On lit l'ordonnée du point d'intersection avec la droite
• On trouve y = 3, donc f(2) = 3

On peut vérifier : f(2) = 2(2) - 1 = 4 - 1 = 3 ✓

Pour lire les antécédents de 4 :

• On repère y = 4 sur l'axe des ordonnées
• On trace la droite horizontale y = 4
• On lit les abscisses des points d'intersection avec la parabole
• On trouve x = -2 et x = 2

Donc les antécédents de 4 sont -2 et 2.

On peut vérifier : g(-2) = (-2)² = 4 et g(2) = 2² = 4 ✓

Sur le graphique, on peut observer :

• Un minimum en x = 2
• La valeur du minimum est h(2) = 4 - 8 + 3 = -1
• La fonction est décroissante sur ]-∞, 2]
• La fonction est croissante sur [2, +∞[

Les graphiques permettent de :

• Visualiser le comportement d'une fonction
• Identifier des points particuliers
• Résoudre graphiquement des équations
• Comparer des fonctions

• 1 Analyse de données (évolution de prix, température)
• 2 Modélisation de phénomènes physiques
• 3 Étude de fonctions économiques
• 4 Dessin technique et conception

On a f(x) = -x² + 4x - 3

• f(0) = -(0)² + 4(0) - 3 = 0 + 0 - 3 = -3
• f(1) = -(1)² + 4(1) - 3 = -1 + 4 - 3 = 0
• f(2) = -(2)² + 4(2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1
• f(3) = -(3)² + 4(3) - 3 = -9 + 12 - 3 = 0
• f(4) = -(4)² + 4(4) - 3 = -16 + 16 - 3 = -3

1. Tracer un repère orthonormé (O, I, J)

2. Placer les points (0, -3), (1, 0), (2, 1), (3, 0), (4, -3)

3. Relier les points par une courbe lisse (parabole)

4. La courbe est une parabole tournée vers le bas

On repère x = 1.5 sur l'axe des abscisses, on trace la verticale x = 1.5, et on lit l'ordonnée du point d'intersection avec la courbe.

Calculons : f(1.5) = -(1.5)² + 4(1.5) - 3 = -2.25 + 6 - 3 = 0.75

L'image de 1.5 est environ 0.75.

On trace la droite horizontale y = 0 (axe des abscisses) et on lit les abscisses des points d'intersection avec la courbe.

On voit que la courbe coupe l'axe des abscisses en x = 1 et x = 3.

Donc les antécédents de 0 sont 1 et 3.

On peut vérifier : f(1) = 0 et f(3) = 0 ✓

En observant le graphique, on voit que la fonction atteint son maximum en x = 2.

La valeur maximale est f(2) = 1.

On peut vérifier que c'est un maximum car f(x) ≤ 1 pour toutes les valeurs de x dans l'ensemble de définition.

1. Déterminer l'ensemble de définition
2. Créer un tableau de valeurs
3. Tracer un repère adapté
4. Placer les points (x, f(x))
5. Relier les points pour former la courbe

• Pour lire l'image de x₀ : tracer une verticale en x₀, lire l'ordonnée du point d'intersection
• Pour lire les antécédents de y₀ : tracer une horizontale en y₀, lire les abscisses des points d'intersection
• Pour identifier les variations : observer la pente de la courbe
• Pour trouver les extrema : repérer les points les plus hauts/bas locaux

• Visualiser le comportement d'une fonction
• Résoudre des équations et inéquations
• Identifier des propriétés de la fonction
• Modéliser des situations réelles