Courbe représentative : Ensemble des points (x, f(x)) dans un repère.
- Choisir des valeurs de x
- Calculer les images f(x)
- Placer les points (x, f(x)) dans un repère
- Relier les points par une ligne continue
| x | f(x) = 2x - 1 |
|---|---|
| -2 | 2×(-2) - 1 = -5 |
| -1 | 2×(-1) - 1 = -3 |
| 0 | 2×0 - 1 = -1 |
| 1 | 2×1 - 1 = 1 |
| 2 | 2×2 - 1 = 3 |
On sélectionne 5 valeurs de x : -2, -1, 0, 1, 2
Pour chaque x, on calcule f(x) = 2x - 1
On place les points : (-2, -5), (-1, -3), (0, -1), (1, 1), (2, 3)
On relie les points par une droite (car f est affine)
La droite a pour équation y = 2x - 1
La courbe de f(x) = 2x - 1 est une droite passant par les points calculés
• Fonction affine : Sa courbe est une droite
• Deux points suffisent : Pour tracer une droite
• Repère : Orthonormé avec axes gradués
Point sur une courbe : A(a, b) ∈ C_f ⟺ f(a) = b.
Point A(2, 3) et fonction g(x) = x² - 1
g(2) = 2² - 1 = 4 - 1 = 3
g(2) = 3 et l'ordonnée de A est 3
Donc g(2) = 3
Le point A(2, 3) vérifie y = g(x), donc il appartient à la courbe
Oui, le point A(2, 3) appartient à la courbe de g(x) = x² - 1
• Appartenance : A(a, b) ∈ C_f ⟺ f(a) = b
• Substitution : Remplacer x par l'abscisse du point
• Vérification : Comparer le résultat avec l'ordonnée du point
Lecture d'image : Trouver l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse x.
h(x) = -x + 4 est une fonction affine, donc sa courbe est une droite
• On part de x = 1 sur l'axe des abscisses
• On trace une verticale jusqu'à la droite
• On lit l'ordonnée du point d'intersection
• h(1) = -1 + 4 = 3
• On part de x = 3 sur l'axe des abscisses
• On trace une verticale jusqu'à la droite
• On lit l'ordonnée du point d'intersection
• h(3) = -3 + 4 = 1
h(1) = -1 + 4 = 3 ✓
h(3) = -3 + 4 = 1 ✓
Graphiquement : h(1) = 3 et h(3) = 1
• Lecture d'image : Abscisse → verticale → courbe → ordonnée
• Représentation : Fonction affine → droite
• Précision : Lire les coordonnées exactement
Lecture d'antécédent : Trouver l'abscisse du point de la courbe d'ordonnée y.
f(x) = 0.5x + 1 est une fonction affine, donc sa courbe est une droite
• On part de y = 2 sur l'axe des ordonnées
• On trace une horizontale jusqu'à la droite
• On lit l'abscisse du point d'intersection
On observe que le point d'ordonnée 2 a pour abscisse x = 2
On résout f(x) = 2
0.5x + 1 = 2
0.5x = 1
x = 2
L'antécédent de 2 par f est x = 2
• Lecture d'antécédent : Ordonnée → horizontale → courbe → abscisse
• Fonction affine : f(x) = ax + b a un unique antécédent pour chaque image
• Vérification : Résoudre f(x) = y pour confirmer
Fonction du second degré : Courbe appelée parabole.
| x | g(x) = x² - 2x |
|---|---|
| -1 | (-1)² - 2×(-1) = 1 + 2 = 3 |
| 0 | 0² - 2×0 = 0 |
| 1 | 1² - 2×1 = 1 - 2 = -1 |
| 2 | 2² - 2×2 = 4 - 4 = 0 |
| 3 | 3² - 2×3 = 9 - 6 = 3 |
On sélectionne 5 valeurs de x autour de x = 1 (sommet potentiel)
Pour chaque x, on calcule g(x) = x² - 2x
On place les points : (-1, 3), (0, 0), (1, -1), (2, 0), (3, 3)
On relie les points par une courbe lisse (parabole)
La parabole a l'air d'avoir un minimum en x = 1
La courbe de g(x) = x² - 2x est une parabole passant par les points calculés
• Fonction quadratique : Courbe est une parabole
• Points de passage : Toujours inclure le sommet si possible
• Tracé lisse : Relier les points par une courbe continue
Point sur une courbe : A(a, b) ∈ C_f ⟺ f(a) = b.
Point B(-1, 5) et fonction f(x) = -2x + 3
f(-1) = -2×(-1) + 3 = 2 + 3 = 5
f(-1) = 5 et l'ordonnée de B est 5
Donc f(-1) = 5
Le point B(-1, 5) vérifie y = f(x), donc il appartient à la courbe
Oui, le point B(-1, 5) appartient à la courbe de f(x) = -2x + 3
• Appartenance : A(a, b) ∈ C_f ⟺ f(a) = b
• Substitution : Remplacer x par l'abscisse du point
• Vérification : Comparer le résultat avec l'ordonnée du point
Solutions de f(x) = 0 : Abscisses des points d'intersection avec l'axe des abscisses.
f(x) = x² - 4 est une fonction quadratique, donc sa courbe est une parabole
On cherche les points où la courbe traverse l'axe des abscisses (y = 0)
La parabole intersecte l'axe des x aux points d'abscisses x = -2 et x = 2
f(-2) = (-2)² - 4 = 4 - 4 = 0 ✓
f(2) = 2² - 4 = 4 - 4 = 0 ✓
f(x) = x² - 4 = (x-2)(x+2)
f(x) = 0 ⟺ x = 2 ou x = -2
Les solutions de f(x) = 0 sont x = -2 et x = 2
• Racines : Solutions de f(x) = 0 sont les abscisses des points d'intersection avec (Ox)
• Parabole : Peut couper l'axe des x en 0, 1 ou 2 points
• Vérification : Toujours contrôler graphique avec calcul
Fonction inverse : Courbe appelée hyperbole, non définie en x = 0.
| x | h(x) = 1/x |
|---|---|
| -4 | 1/(-4) = -0.25 |
| -2 | 1/(-2) = -0.5 |
| -1 | 1/(-1) = -1 |
| -0.5 | 1/(-0.5) = -2 |
| 0.5 | 1/0.5 = 2 |
| 1 | 1/1 = 1 |
| 2 | 1/2 = 0.5 |
| 4 | 1/4 = 0.25 |
h(x) = 1/x est définie pour x ≠ 0
On sélectionne des valeurs dans ]-∞, 0[ et ]0, +∞[
Pour chaque x, on calcule h(x) = 1/x
On place les points calculés dans le repère
On trace deux branches de courbe distinctes (pas de continuité en x = 0)
La fonction est impaire : h(-x) = -h(x)
La courbe de h(x) = 1/x est une hyperbole avec deux branches
• Fonction inverse : Courbe est une hyperbole
• Domaine : x ≠ 0, donc deux branches séparées
• Symétrie : La fonction est impaire
Antécédents de y : Solutions de f(x) = y, intersections avec la droite y = constante.
f(x) = x² - 2 est une fonction quadratique, donc sa courbe est une parabole
On trace la droite horizontale d'équation y = 1
On identifie les points d'intersection entre la parabole et la droite y = 1
La parabole intersecte la droite y = 1 aux points d'abscisses environ x = -1.7 et x = 1.7
On résout x² - 2 = 1
x² = 3
x = √3 ≈ 1.73 ou x = -√3 ≈ -1.73
Les antécédents de 1 par f sont x = -√3 et x = √3
• Antécédents : Solutions de f(x) = y sont les abscisses des intersections avec y = constante
• Parabole : Peut avoir 0, 1 ou 2 intersections avec une droite horizontale
• Vérification : Résoudre f(x) = y pour confirmer
Lecture d'image : Trouver l'ordonnée du point de la courbe d'abscisse x.
f(x) = -x² + 3x + 2 est une fonction quadratique avec a = -1 < 0, donc parabole orientée vers le bas
• On part de x = 0 sur l'axe des abscisses
• On trace une verticale jusqu'à la parabole
• On lit l'ordonnée du point d'intersection
• Graphiquement : f(0) ≈ 2
• On part de x = 2 sur l'axe des abscisses
• On trace une verticale jusqu'à la parabole
• On lit l'ordonnée du point d'intersection
• Graphiquement : f(2) ≈ 4
• On part de x = -1 sur l'axe des abscisses
• On trace une verticale jusqu'à la parabole
• On lit l'ordonnée du point d'intersection
• Graphiquement : f(-1) ≈ -2
f(0) = -0² + 3×0 + 2 = 2 ✓
f(2) = -2² + 3×2 + 2 = -4 + 6 + 2 = 4 ✓
f(-1) = -(-1)² + 3×(-1) + 2 = -1 - 3 + 2 = -2 ✓
Graphiquement : f(0) = 2, f(2) = 4, f(-1) = -2
• Lecture d'image : Abscisse → verticale → courbe → ordonnée
• Parabole : Courbe en forme de U (ou ∩ si a < 0)
• Vérification : Toujours contrôler graphique avec calcul
