Zéros : Solutions de f(x) = 0. Extremums : Minimums et maximums locaux/globaux. Signe : Positif ou négatif selon la position par rapport à Ox.
- Zéros : Points d'intersection avec l'axe des abscisses
- Extremums : Points où la courbe change de direction
- Signe : Observer si la courbe est au-dessus ou en-dessous de Ox
f(x) = 0 ⟺ x² - 4 = 0 ⟺ x² = 4 ⟺ x = 2 ou x = -2
Les zéros sont : x = -2 et x = 2
f(x) = x² - 4 est une parabole avec a = 1 > 0, donc orientée vers le haut
Le minimum est atteint en x = 0 (sommet de la parabole)
Minimum global en x = 0, valeur f(0) = -4
• f(x) > 0 pour x ∈ ]-∞, -2[ ∪ ]2, +∞[ (courbe au-dessus de Ox)
• f(x) < 0 pour x ∈ ]-2, 2[ (courbe en-dessous de Ox)
• f(x) = 0 pour x = -2 et x = 2
Zéros : x = -2 et x = 2
Extremum : Minimum global en x = 0, f(0) = -4
Signe : f(x) > 0 sur ]-∞, -2[ ∪ ]2, +∞[, f(x) < 0 sur ]-2, 2[, f(x) = 0 en -2 et 2
• Parabole : a > 0 ⇒ minimum, a < 0 ⇒ maximum
• Solutions équation : x² = a ⇒ x = ±√a
• Signe trinôme : Du signe de a à l'extérieur des racines
g(x) = 0 ⟺ -x² + 2x + 3 = 0 ⟺ x² - 2x - 3 = 0
Δ = (-2)² - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16
√Δ = 4
x₁ = (2 - 4)/2 = -1, x₂ = (2 + 4)/2 = 3
Les zéros sont : x = -1 et x = 3
g(x) = -x² + 2x + 3 est une parabole avec a = -1 < 0, donc orientée vers le bas
L'abscisse du sommet est x = -b/(2a) = -2/(2×(-1)) = 1
Maximum global en x = 1, valeur g(1) = -1 + 2 + 3 = 4
• g(x) > 0 pour x ∈ ]-1, 3[ (courbe au-dessus de Ox)
• g(x) < 0 pour x ∈ ]-∞, -1[ ∪ ]3, +∞[ (courbe en-dessous de Ox)
• g(x) = 0 pour x = -1 et x = 3
Zéros : x = -1 et x = 3
Extremum : Maximum global en x = 1, g(1) = 4
Signe : g(x) > 0 sur ]-1, 3[, g(x) < 0 sur ]-∞, -1[ ∪ ]3, +∞[, g(x) = 0 en -1 et 3
• Parabole : a < 0 ⇒ maximum
• Sommet : x = -b/(2a)
• Signe trinôme : Du signe de a à l'intérieur des racines (ici a < 0)
h(x) = 0 ⟺ x² - 2x - 3 = 0
Δ = (-2)² - 4(1)(-3) = 4 + 12 = 16
√Δ = 4
x₁ = (2 - 4)/2 = -1, x₂ = (2 + 4)/2 = 3
Les zéros sont : x = -1 et x = 3
h(x) = x² - 2x - 3 est une parabole avec a = 1 > 0, donc orientée vers le haut
L'abscisse du sommet est x = -(-2)/(2×1) = 1
Minimum global en x = 1, valeur h(1) = 1 - 2 - 3 = -4
• h(x) > 0 pour x ∈ ]-∞, -1[ ∪ ]3, +∞[ (courbe au-dessus de Ox)
• h(x) < 0 pour x ∈ ]-1, 3[ (courbe en-dessous de Ox)
• h(x) = 0 pour x = -1 et x = 3
Zéros : x = -1 et x = 3
Extremum : Minimum global en x = 1, h(1) = -4
Signe : h(x) > 0 sur ]-∞, -1[ ∪ ]3, +∞[, h(x) < 0 sur ]-1, 3[, h(x) = 0 en -1 et 3
• Parabole : a > 0 ⇒ minimum
• Sommet : x = -b/(2a)
• Signe trinôme : Du signe de a à l'extérieur des racines
f(x) = 0 ⟺ -2x + 4 = 0 ⟺ -2x = -4 ⟺ x = 2
Le zéro est : x = 2
f(x) = -2x + 4 est une fonction affine avec coefficient directeur a = -2 < 0
Cette fonction est strictement décroissante sur ℝ
Elle n'admet pas d'extremum local ou global
f(x) = -2x + 4 = 0 pour x = 2
Comme a = -2 < 0, la fonction est décroissante
• f(x) > 0 pour x ∈ ]-∞, 2[ (courbe au-dessus de Ox)
• f(x) < 0 pour x ∈ ]2, +∞[ (courbe en-dessous de Ox)
• f(x) = 0 pour x = 2
Zéro : x = 2
Extremum : Aucun
Signe : f(x) > 0 sur ]-∞, 2[, f(x) < 0 sur ]2, +∞[, f(x) = 0 en 2
• Fonction affine : f(x) = ax + b, pas d'extremum
• Signe affine : Dépend du coefficient directeur
• Monotonie : a < 0 ⇒ décroissante, a > 0 ⇒ croissante
g(x) = 0 ⟺ x³ - x = 0 ⟺ x(x² - 1) = 0 ⟺ x(x-1)(x+1) = 0
Les zéros sont : x = -1, x = 0 et x = 1
g'(x) = 3x² - 1
g'(x) = 0 ⟺ 3x² - 1 = 0 ⟺ x² = 1/3 ⟺ x = ±√(1/3) = ±√3/3
• Maximum local en x = -√3/3 ≈ -0.577, g(-√3/3) = 2√3/9 ≈ 0.385
• Minimum local en x = √3/3 ≈ 0.577, g(√3/3) = -2√3/9 ≈ -0.385
g(x) = x(x-1)(x+1)
• g(x) > 0 pour x ∈ ]-1, 0[ ∪ ]1, +∞[
• g(x) < 0 pour x ∈ ]-∞, -1[ ∪ ]0, 1[
• g(x) = 0 pour x = -1, x = 0 et x = 1
Zéros : x = -1, x = 0 et x = 1
Extremums : Maximum local en x = -√3/3, minimum local en x = √3/3
Signe : g(x) > 0 sur ]-1, 0[ ∪ ]1, +∞[, g(x) < 0 sur ]-∞, -1[ ∪ ]0, 1[, g(x) = 0 en -1, 0 et 1
• Fonction cubique : Peut avoir des extremums locaux
• Dérivée : g'(x) = 0 donne les candidats pour extremums
• Factorisation : Facilite la lecture du signe
h(x) = 0 ⟺ x² - 4x + 4 = 0
C'est une identité remarquable : x² - 4x + 4 = (x-2)²
(x-2)² = 0 ⟺ x = 2
Un seul zéro double : x = 2
h(x) = x² - 4x + 4 est une parabole avec a = 1 > 0, donc orientée vers le haut
L'abscisse du sommet est x = -(-4)/(2×1) = 2
Minimum global en x = 2, valeur h(2) = 0
h(x) = (x-2)² ≥ 0 pour tout x ∈ ℝ
h(x) = 0 seulement en x = 2
h(x) > 0 pour x ∈ ℝ \ {2}
Zéro : x = 2 (zéro double)
Extremum : Minimum global en x = 2, h(2) = 0
Signe : h(x) ≥ 0 pour tout x, h(x) = 0 en x = 2
• Identité remarquable : a² - 2ab + b² = (a-b)²
• Carré : (x-a)² ≥ 0 toujours
• Minimum : Le carré s'annule en son minimum
f(x) = 0 ⟺ -x² + 1 = 0 ⟺ x² = 1 ⟺ x = 1 ou x = -1
Les zéros sont : x = -1 et x = 1
f(x) = -x² + 1 est une parabole avec a = -1 < 0, donc orientée vers le bas
L'abscisse du sommet est x = -0/(2×(-1)) = 0
Maximum global en x = 0, valeur f(0) = 1
• f(x) > 0 pour x ∈ ]-1, 1[ (courbe au-dessus de Ox)
• f(x) < 0 pour x ∈ ]-∞, -1[ ∪ ]1, +∞[ (courbe en-dessous de Ox)
• f(x) = 0 pour x = -1 et x = 1
Zéros : x = -1 et x = 1
Extremum : Maximum global en x = 0, f(0) = 1
Signe : f(x) > 0 sur ]-1, 1[, f(x) < 0 sur ]-∞, -1[ ∪ ]1, +∞[, f(x) = 0 en -1 et 1
• Parabole : a < 0 ⇒ maximum
• Sommet : x = -b/(2a), ici b = 0 donc x = 0
• Signe trinôme : Du signe de a à l'intérieur des racines
g(x) = 0 ⟺ x² + 2x + 1 = 0
C'est une identité remarquable : x² + 2x + 1 = (x+1)²
(x+1)² = 0 ⟺ x = -1
Un seul zéro double : x = -1
g(x) = x² + 2x + 1 est une parabole avec a = 1 > 0, donc orientée vers le haut
L'abscisse du sommet est x = -2/(2×1) = -1
Minimum global en x = -1, valeur g(-1) = 0
g(x) = (x+1)² ≥ 0 pour tout x ∈ ℝ
g(x) = 0 seulement en x = -1
g(x) > 0 pour x ∈ ℝ \ {-1}
Zéro : x = -1 (zéro double)
Extremum : Minimum global en x = -1, g(-1) = 0
Signe : g(x) ≥ 0 pour tout x, g(x) = 0 en x = -1
• Identité remarquable : a² + 2ab + b² = (a+b)²
• Carré : (x+a)² ≥ 0 toujours
• Minimum : Le carré s'annule en son minimum
h(x) = 0 ⟺ x³ - 3x² + 2x = 0 ⟺ x(x² - 3x + 2) = 0
⟺ x(x-1)(x-2) = 0
Les zéros sont : x = 0, x = 1 et x = 2
h'(x) = 3x² - 6x + 2
h'(x) = 0 ⟺ 3x² - 6x + 2 = 0
Δ = (-6)² - 4(3)(2) = 36 - 24 = 12
√Δ = 2√3
x₁ = (6 - 2√3)/6 = 1 - √3/3 ≈ 0.423
x₂ = (6 + 2√3)/6 = 1 + √3/3 ≈ 1.577
• Maximum local en x ≈ 0.423
• Minimum local en x ≈ 1.577
h(x) = x(x-1)(x-2)
• h(x) > 0 pour x ∈ ]0, 1[ ∪ ]2, +∞[
• h(x) < 0 pour x ∈ ]-∞, 0[ ∪ ]1, 2[
• h(x) = 0 pour x = 0, x = 1 et x = 2
Zéros : x = 0, x = 1 et x = 2
Extremums : Maximum local en x ≈ 0.423, minimum local en x ≈ 1.577
Signe : h(x) > 0 sur ]0, 1[ ∪ ]2, +∞[, h(x) < 0 sur ]-∞, 0[ ∪ ]1, 2[, h(x) = 0 en 0, 1 et 2
• Fonction cubique : Peut avoir des extremums locaux
• Dérivée : h'(x) = 0 donne les candidats pour extremums
• Factorisation : x(x-1)(x-2) facilite la lecture du signe
f(x) = 0 ⟺ -x² + 2x - 1 = 0 ⟺ x² - 2x + 1 = 0
C'est une identité remarquable : x² - 2x + 1 = (x-1)²
(x-1)² = 0 ⟺ x = 1
Un seul zéro double : x = 1
f(x) = -x² + 2x - 1 est une parabole avec a = -1 < 0, donc orientée vers le bas
L'abscisse du sommet est x = -2/(2×(-1)) = 1
Maximum global en x = 1, valeur f(1) = 0
f(x) = -(x-1)² ≤ 0 pour tout x ∈ ℝ
f(x) = 0 seulement en x = 1
f(x) < 0 pour x ∈ ℝ \ {1}
Zéro : x = 1 (zéro double)
Extremum : Maximum global en x = 1, f(1) = 0
Signe : f(x) ≤ 0 pour tout x, f(x) = 0 en x = 1
• Identité remarquable : a² - 2ab + b² = (a-b)²
• Carré négatif : -(x-a)² ≤ 0 toujours
• Maximum : -(x-a)² atteint son maximum en x = a
