Fonction | Asymptotes simples | 10 Exercices corrigés

Concepts & Exercices

\(\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty \Rightarrow x = a \text{ asymptote verticale}\)

Asymptote verticale

\(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L \Rightarrow y = L \text{ asymptote horizontale}\)

Asymptote horizontale

Verticale

x = a

Quand f tend vers ∞

Horizontale

y = L

Quand f tend vers L

Interprétation

Courbe ≠ Asymptote

La courbe approche

🎯

Asymptote verticale : x = a, lorsque f(x) tend vers ±∞ quand x tend vers a.

📊

Asymptote horizontale : y = L, lorsque f(x) tend vers L quand x tend vers ±∞.

🔍

Identification : Par observation graphique ou par analyse des limites.

🚫

Attention : La courbe ne traverse jamais une asymptote verticale.

💡

Conseil : Rechercher les valeurs interdites pour les asymptotes verticales

🔍

Attention : Une fonction peut avoir plusieurs asymptotes

⚡

Astuce : Observer le comportement de la courbe aux extrémités

📋

Méthode : Pour f(x) = P(x)/Q(x), chercher Q(x) = 0 pour les verticales

Exercice 1

Identifier les asymptotes de f(x) = 1/(x-2).

Exercice 2

Identifier les asymptotes de g(x) = 2 + 1/x.

Exercice 3

Identifier les asymptotes de h(x) = (x+1)/(x-3).

Exercice 4

Identifier les asymptotes de f(x) = 1/(x²-4).

Exercice 5

Identifier les asymptotes de g(x) = 3 - 2/(x+1).

Exercice 6

Identifier les asymptotes de h(x) = (2x-1)/(x+2).

Exercice 7

Identifier les asymptotes de f(x) = 1/x².

Exercice 8

Identifier les asymptotes de g(x) = (x²+1)/x.

Exercice 9

Identifier les asymptotes de h(x) = (3x+2)/(x-1).

Exercice 10

Identifier les asymptotes de f(x) = 2x/(x²+1).

Corrigé : Exercices 1 à 5

1 f(x) = 1/(x-2)

Définitions :

Asymptote verticale : Lorsque f(x) tend vers ±∞ quand x tend vers a.
Asymptote horizontale : Lorsque f(x) tend vers L quand x tend vers ±∞.

Méthodes d'identification :

Asymptotes verticales : Chercher les valeurs de x qui annulent le dénominateur
Asymptotes horizontales : Étudier la limite de f(x) quand x tend vers ±∞
Observation graphique : Repérer les droites vers lesquelles la courbe tend

Étape 1 : Recherche des asymptotes verticales

Le dénominateur s'annule quand x - 2 = 0, donc x = 2

Quand x tend vers 2⁻, f(x) tend vers -∞

Quand x tend vers 2⁺, f(x) tend vers +∞

Donc x = 2 est une asymptote verticale

Étape 2 : Recherche des asymptotes horizontales

Quand x tend vers +∞, f(x) = 1/(x-2) tend vers 0

Quand x tend vers -∞, f(x) = 1/(x-2) tend vers 0

Donc y = 0 est une asymptote horizontale

Étape 3 : Analyse complète

• Asymptote verticale : x = 2

• Asymptote horizontale : y = 0

Réponse finale :

Asymptote verticale : x = 2
Asymptote horizontale : y = 0

Règles appliquées :

• Fonction rationnelle : f(x) = N(x)/D(x), asymptotes verticales aux zéros de D(x)

• Limite : lim (1/x) = 0 quand x → ±∞

• Hyperbole : Courbe typique avec asymptotes verticale et horizontale

💡

Conseil : Pour f(x) = 1/(x-a), l'asymptote verticale est x = a et horizontale y = 0

2 g(x) = 2 + 1/x

Étape 1 : Recherche des asymptotes verticales

Le dénominateur s'annule quand x = 0

Quand x tend vers 0⁻, g(x) = 2 + 1/x tend vers -∞

Quand x tend vers 0⁺, g(x) = 2 + 1/x tend vers +∞

Donc x = 0 est une asymptote verticale

Étape 2 : Recherche des asymptotes horizontales

Quand x tend vers +∞, g(x) = 2 + 1/x tend vers 2 + 0 = 2

Quand x tend vers -∞, g(x) = 2 + 1/x tend vers 2 + 0 = 2

Donc y = 2 est une asymptote horizontale

Étape 3 : Analyse complète

• Asymptote verticale : x = 0

• Asymptote horizontale : y = 2

Réponse finale :

Asymptote verticale : x = 0
Asymptote horizontale : y = 2

Règles appliquées :

• Translation : g(x) = 2 + 1/x est une translation de f(x) = 1/x

• Asymptote horizontale : Décalée de la même valeur que la translation verticale

• Position : La courbe s'approche de y = 2 sans jamais l'atteindre

🔍

Attention : La translation affecte uniquement l'asymptote horizontale

3 h(x) = (x+1)/(x-3)

Étape 1 : Recherche des asymptotes verticales

Le dénominateur s'annule quand x - 3 = 0, donc x = 3

Quand x tend vers 3⁻, h(x) tend vers -∞

Quand x tend vers 3⁺, h(x) tend vers +∞

Donc x = 3 est une asymptote verticale

Étape 2 : Recherche des asymptotes horizontales

Quand x tend vers ±∞, on divise numérateur et dénominateur par x :

h(x) = (x+1)/(x-3) = (1 + 1/x)/(1 - 3/x)

Quand x → ±∞, 1/x → 0 et 3/x → 0

Donc h(x) → (1 + 0)/(1 - 0) = 1

Donc y = 1 est une asymptote horizontale

Étape 3 : Analyse complète

• Asymptote verticale : x = 3

• Asymptote horizontale : y = 1

Réponse finale :

Asymptote verticale : x = 3
Asymptote horizontale : y = 1

Règles appliquées :

• Fonction rationnelle : f(x) = (ax+b)/(cx+d), asymptote verticale en x = -d/c

• Asymptote horizontale : y = a/c (rapport des coefficients dominants)

• Division : Diviser numérateur et dénominateur par x pour trouver la limite

⚡

Astuce : Pour f(x) = (ax+b)/(cx+d), l'asymptote horizontale est y = a/c

4 f(x) = 1/(x²-4)

Étape 1 : Factorisation du dénominateur

x² - 4 = (x-2)(x+2)

Donc f(x) = 1/[(x-2)(x+2)]

Étape 2 : Recherche des asymptotes verticales

Le dénominateur s'annule quand x = 2 ou x = -2

Quand x tend vers 2⁻ ou 2⁺, f(x) tend vers +∞

Quand x tend vers -2⁻ ou -2⁺, f(x) tend vers +∞

Donc x = 2 et x = -2 sont des asymptotes verticales

Étape 3 : Recherche des asymptotes horizontales

Quand x tend vers ±∞, f(x) = 1/(x²-4) tend vers 0

Donc y = 0 est une asymptote horizontale

Étape 4 : Analyse complète

• Asymptotes verticales : x = -2 et x = 2

• Asymptote horizontale : y = 0

Réponse finale :

Asymptotes verticales : x = -2 et x = 2
Asymptote horizontale : y = 0

Règles appliquées :

• Plusieurs asymptotes verticales : Possible si le dénominateur a plusieurs zéros

• Identité remarquable : x² - 4 = (x-2)(x+2)

• Degré supérieur au dénominateur : Asymptote horizontale y = 0

📋

Méthode : Factoriser le dénominateur pour identifier toutes les valeurs interdites

5 g(x) = 3 - 2/(x+1)

Étape 1 : Recherche des asymptotes verticales

Le dénominateur s'annule quand x + 1 = 0, donc x = -1

Quand x tend vers -1⁻, g(x) = 3 - 2/(x+1) tend vers 3 - (-∞) = +∞

Quand x tend vers -1⁺, g(x) = 3 - 2/(x+1) tend vers 3 - (+∞) = -∞

Donc x = -1 est une asymptote verticale

Étape 2 : Recherche des asymptotes horizontales

Quand x tend vers ±∞, 2/(x+1) tend vers 0

Donc g(x) = 3 - 2/(x+1) tend vers 3 - 0 = 3

Donc y = 3 est une asymptote horizontale

Étape 3 : Analyse complète

• Asymptote verticale : x = -1

• Asymptote horizontale : y = 3

Réponse finale :

Asymptote verticale : x = -1
Asymptote horizontale : y = 3

Règles appliquées :

• Transformation : g(x) = 3 - 2/(x+1) est une transformation de f(x) = 1/x

• Translation verticale : Modifie l'asymptote horizontale

• Facteur multiplicatif : Ne change pas la position des asymptotes

💡

Conseil : Pour g(x) = a + b/(x-c), asymptote verticale x = c et horizontale y = a

Corrigé : Exercices 6 à 10

6 h(x) = (2x-1)/(x+2)

Étape 1 : Recherche des asymptotes verticales

Le dénominateur s'annule quand x + 2 = 0, donc x = -2

Quand x tend vers -2⁻, h(x) tend vers +∞

Quand x tend vers -2⁺, h(x) tend vers -∞

Donc x = -2 est une asymptote verticale

Étape 2 : Recherche des asymptotes horizontales

Quand x tend vers ±∞, on divise numérateur et dénominateur par x :

h(x) = (2x-1)/(x+2) = (2 - 1/x)/(1 + 2/x)

Quand x → ±∞, 1/x → 0 et 2/x → 0

Donc h(x) → (2 - 0)/(1 + 0) = 2

Donc y = 2 est une asymptote horizontale

Étape 3 : Analyse complète

• Asymptote verticale : x = -2

• Asymptote horizontale : y = 2

Réponse finale :

Asymptote verticale : x = -2
Asymptote horizontale : y = 2

Règles appliquées :

• Fonction rationnelle : f(x) = (ax+b)/(cx+d), asymptote verticale en x = -d/c

• Asymptote horizontale : y = a/c (rapport des coefficients dominants)

• Division : Diviser numérateur et dénominateur par x pour trouver la limite

🔍

Attention : Pour (2x-1)/(x+2), asymptote horizontale y = 2/1 = 2

7 f(x) = 1/x²

Étape 1 : Recherche des asymptotes verticales

Le dénominateur s'annule quand x² = 0, donc x = 0

Quand x tend vers 0⁻ ou 0⁺, f(x) = 1/x² tend vers +∞

Donc x = 0 est une asymptote verticale

Étape 2 : Recherche des asymptotes horizontales

Quand x tend vers +∞, f(x) = 1/x² tend vers 0

Quand x tend vers -∞, f(x) = 1/x² tend vers 0

Donc y = 0 est une asymptote horizontale

Étape 3 : Analyse particulière

• f(x) = 1/x² est toujours positive car x² > 0 pour x ≠ 0

• La courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées

Réponse finale :

Asymptote verticale : x = 0
Asymptote horizontale : y = 0

Règles appliquées :

• Fonction paire : f(-x) = f(x), donc symétrique par rapport à Oy

• Carré au dénominateur : f(x) = 1/x² > 0 pour tout x ≠ 0

• Comportement : Plus rapide que 1/x (carré au dénominateur)

⚡

Astuce : f(x) = 1/x² est toujours positive et admet les mêmes asymptotes que 1/x

8 g(x) = (x²+1)/x

Étape 1 : Simplification de l'expression

g(x) = (x²+1)/x = x²/x + 1/x = x + 1/x

Étape 2 : Recherche des asymptotes verticales

Le dénominateur s'annule quand x = 0

Quand x tend vers 0⁻, g(x) = x + 1/x tend vers 0 + (-∞) = -∞

Quand x tend vers 0⁺, g(x) = x + 1/x tend vers 0 + (+∞) = +∞

Donc x = 0 est une asymptote verticale

Étape 3 : Recherche des asymptotes horizontales

Quand x tend vers +∞, g(x) = x + 1/x tend vers +∞ + 0 = +∞

Quand x tend vers -∞, g(x) = x + 1/x tend vers -∞ + 0 = -∞

Donc il n'y a pas d'asymptote horizontale

Étape 4 : Recherche d'une asymptote oblique

g(x) = x + 1/x, donc g(x) - x = 1/x

Quand x tend vers ±∞, g(x) - x tend vers 0

Donc y = x est une asymptote oblique

Réponse finale :

Asymptote verticale : x = 0
Asymptote oblique : y = x
Pas d'asymptote horizontale

Règles appliquées :

• Division polynomiale : (x²+1)/x = x + 1/x

• Asymptote oblique : Se produit quand le degré du numérateur dépasse celui du dénominateur de 1

• Limite : lim [g(x) - (ax+b)] = 0 donne l'asymptote oblique y = ax+b

📋

Méthode : Pour (x²+1)/x, diviser pour révéler l'asymptote oblique

9 h(x) = (3x+2)/(x-1)

Étape 1 : Recherche des asymptotes verticales

Le dénominateur s'annule quand x - 1 = 0, donc x = 1

Quand x tend vers 1⁻, h(x) tend vers -∞

Quand x tend vers 1⁺, h(x) tend vers +∞

Donc x = 1 est une asymptote verticale

Étape 2 : Recherche des asymptotes horizontales

Quand x tend vers ±∞, on divise numérateur et dénominateur par x :

h(x) = (3x+2)/(x-1) = (3 + 2/x)/(1 - 1/x)

Quand x → ±∞, 2/x → 0 et 1/x → 0

Donc h(x) → (3 + 0)/(1 - 0) = 3

Donc y = 3 est une asymptote horizontale

Étape 3 : Analyse complète

• Asymptote verticale : x = 1

• Asymptote horizontale : y = 3

Réponse finale :

Asymptote verticale : x = 1
Asymptote horizontale : y = 3

Règles appliquées :

• Fonction rationnelle : f(x) = (ax+b)/(cx+d), asymptote verticale en x = -d/c

• Asymptote horizontale : y = a/c (rapport des coefficients dominants)

• Division : Diviser numérateur et dénominateur par x pour trouver la limite

💡

Conseil : Pour (3x+2)/(x-1), asymptote horizontale y = 3/1 = 3

10 f(x) = 2x/(x²+1)

Étape 1 : Recherche des asymptotes verticales

Le dénominateur est x² + 1, qui est toujours > 0 car x² ≥ 0

Donc x² + 1 ≠ 0 pour tout x réel

Il n'y a pas d'asymptote verticale

Étape 2 : Recherche des asymptotes horizontales

Quand x tend vers ±∞, on divise numérateur et dénominateur par x :

f(x) = 2x/(x²+1) = 2/(x + 1/x)

Quand x → +∞, x + 1/x → +∞, donc f(x) → 0⁺

Quand x → -∞, x + 1/x → -∞, donc f(x) → 0⁻

Donc y = 0 est une asymptote horizontale

Étape 3 : Analyse particulière

• f(x) = 2x/(x²+1) est une fonction impaire car f(-x) = -f(x)

• La courbe est symétrique par rapport à l'origine

Réponse finale :

Pas d'asymptote verticale
Asymptote horizontale : y = 0

Règles appliquées :

• Dénominateur jamais nul : x² + 1 > 0 pour tout x réel

• Degré du dénominateur > degré du numérateur : Asymptote horizontale y = 0

• Fonction impaire : f(-x) = -f(x), symétrie par rapport à l'origine

🔍

Attention : x² + 1 est toujours positif, donc pas de valeurs interdites

FonctionAsymptotes simples

Fonction
Asymptotes simples