Moyenne arithmétique : \(\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{\text{somme des valeurs}}{\text{nombre de valeurs}}\)
Valeurs : 5, 8, 12, 15, 20
Nombre de valeurs : n = 5
Somme = 5 + 8 + 12 + 15 + 20 = 60
\(\bar{x} = \frac{60}{5} = 12\)
La valeur moyenne de cette série est 12
La moyenne de la série est \(\bar{x} = 12\)
• Formule : \(\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}\)
• Calcul : Somme des valeurs divisée par le nombre de valeurs
• Interprétation : Valeur centrale représentative de la série
Variance : \(V = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2\). Mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne.
\(\bar{x} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = \frac{30}{5} = 6\)
(2-6)² = (-4)² = 16
(4-6)² = (-2)² = 4
(6-6)² = (0)² = 0
(8-6)² = (2)² = 4
(10-6)² = (4)² = 16
Somme = 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40
\(V = \frac{40}{5} = 8\)
La variance de la série est \(V = 8\)
• Formule : \(V = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}\)
• Calcul : Moyenne des carrés des écarts à la moyenne
• Unité : Variance s'exprime en unité²
Écart-type : \(\sigma = \sqrt{V} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2}\). Racine carrée de la variance.
\(\bar{x} = \frac{10 + 12 + 14 + 16 + 18}{5} = \frac{70}{5} = 14\)
(10-14)² = 16, (12-14)² = 4, (14-14)² = 0, (16-14)² = 4, (18-14)² = 16
\(V = \frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5} = \frac{40}{5} = 8\)
\(\sigma = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.83\)
L'écart-type de la série est \(\sigma = 2\sqrt{2} \approx 2.83\)
• Relation : \(\sigma = \sqrt{V}\)
• Unité : Écart-type s'exprime dans la même unité que les données
• Interprétation : Mesure l'écart moyen par rapport à la moyenne
Moyenne pondérée : \(\bar{x}_w = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}\) où wᵢ sont les coefficients.
Valeurs : x₁ = 8, x₂ = 10, x₃ = 12, x₄ = 14
Coefficients : w₁ = 1, w₂ = 2, w₃ = 3, w₄ = 2
w₁x₁ = 1×8 = 8
w₂x₂ = 2×10 = 20
w₃x₃ = 3×12 = 36
w₄x₄ = 2×14 = 28
\(\sum w_i x_i = 8 + 20 + 36 + 28 = 92\)
\(\sum w_i = 1 + 2 + 3 + 2 = 8\)
\(\bar{x}_w = \frac{92}{8} = 11.5\)
La moyenne pondérée est \(\bar{x}_w = 11.5\)
• Formule : \(\bar{x}_w = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}\)
• Application : Notes avec coefficients, données avec poids différents
• Interprétation : Chaque valeur a une importance relative donnée par son coefficient
Effectifs : Nombre de fois qu'une valeur apparaît. Moyenne et variance pondérées par les effectifs.
Valeurs (xᵢ) : 5, 8, 12, 15
Effectifs (nᵢ) : 3, 4, 2, 1
\(\bar{x} = \frac{\sum n_i x_i}{\sum n_i} = \frac{3×5 + 4×8 + 2×12 + 1×15}{3+4+2+1} = \frac{15+32+24+15}{10} = \frac{86}{10} = 8.6\)
\(V = \frac{\sum n_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum n_i}\)
\(V = \frac{3×(5-8.6)^2 + 4×(8-8.6)^2 + 2×(12-8.6)^2 + 1×(15-8.6)^2}{10}\)
\(V = \frac{3×12.96 + 4×0.36 + 2×11.56 + 1×40.96}{10} = \frac{38.88 + 1.44 + 23.12 + 40.96}{10} = \frac{104.4}{10} = 10.44\)
Moyenne = 8.6, Variance = 10.44
• Moyenne pondérée : \(\bar{x} = \frac{\sum n_i x_i}{\sum n_i}\)
• Variance pondérée : \(V = \frac{\sum n_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum n_i}\)
• Application : Données regroupées en classes ou valeurs répétées
Comparaison : Deux séries peuvent avoir la même moyenne mais des dispersions différentes.
Série A : 10, 10, 10, 10, 10
Moyenne : \(\bar{x}_A = \frac{50}{5} = 10\)
Variance : \(V_A = \frac{5×(10-10)^2}{5} = 0\)
Série B : 5, 8, 10, 12, 15
Moyenne : \(\bar{x}_B = \frac{50}{5} = 10\)
Variance : \(V_B = \frac{(5-10)^2 + (8-10)^2 + (10-10)^2 + (12-10)^2 + (15-10)^2}{5} = \frac{25+4+0+4+25}{5} = \frac{58}{5} = 11.6\)
Les deux séries ont la même moyenne (10) mais des variances différentes
La série A a une variance nulle (valeurs identiques), la série B est plus dispersée
Deux séries peuvent avoir la même moyenne mais des dispersions différentes
• La moyenne seule ne suffit pas : Nécessité de la variance pour caractériser une série
• Interprétation : Variance mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne
• Comparaison : Séries avec même moyenne mais variance différente ont des distributions différentes
Formule développée : \(V = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - \bar{x}^2\). Alternative à la formule classique.
Série : 3, 5, 7, 9, 11
\(\bar{x} = \frac{3 + 5 + 7 + 9 + 11}{5} = \frac{35}{5} = 7\)
\(\sum x_i^2 = 3^2 + 5^2 + 7^2 + 9^2 + 11^2 = 9 + 25 + 49 + 81 + 121 = 285\)
\(V = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - \bar{x}^2 = \frac{285}{5} - 7^2 = 57 - 49 = 8\)
\(V = \frac{(3-7)^2 + (5-7)^2 + (7-7)^2 + (9-7)^2 + (11-7)^2}{5} = \frac{16+4+0+4+16}{5} = \frac{40}{5} = 8\)
La variance est \(V = 8\) (formule développée et classique donnent le même résultat)
• Formule alternative : \(V = \frac{1}{n} \sum x_i^2 - \bar{x}^2\)
• Avantage : Parfois plus rapide à calculer que la formule classique
• Vérification : Les deux formules donnent le même résultat
Valeur aberrante : Valeur très éloignée des autres. Affecte fortement la moyenne et la variance.
Série A : 10, 12, 14, 16, 18
Moyenne : \(\bar{x}_A = \frac{70}{5} = 14\)
Variance : \(V_A = \frac{16+4+0+4+16}{5} = \frac{40}{5} = 8\)
Série B : 10, 12, 14, 16, 50
Moyenne : \(\bar{x}_B = \frac{102}{5} = 20.4\)
Variance : \(V_B = \frac{108.16+70.56+40.96+19.36+876.16}{5} = \frac{1115.2}{5} = 223.04\)
Moyenne : 14 → 20.4 (+6.4)
Variance : 8 → 223.04 (+215.04)
La valeur aberrante (50) a fortement augmenté la moyenne et surtout la variance
Les valeurs aberrantes affectent fortement la moyenne et la variance
• Sensibilité : Moyenne et variance sont sensibles aux valeurs extrêmes
• Impact : Valeurs aberrantes peuvent fausser l'interprétation statistique
• Remarque : La médiane est plus robuste face aux valeurs aberrantes
Contexte : Interprétation des indicateurs statistiques dans un cadre concret (notes, températures, etc.).
Notes d'un élève en maths sur 5 contrôles : 12, 14, 10, 16, 8
\(\bar{x} = \frac{12 + 14 + 10 + 16 + 8}{5} = \frac{60}{5} = 12\)
\(V = \frac{(12-12)^2 + (14-12)^2 + (10-12)^2 + (16-12)^2 + (8-12)^2}{5} = \frac{0+4+4+16+16}{5} = \frac{40}{5} = 8\)
\(\sigma = \sqrt{8} \approx 2.83\)
Moyenne de 12/20 : niveau correct
Écart-type de 2.83 : les notes varient modérément autour de la moyenne
Le niveau est correct (12/20) avec une régularité modérée (écart-type ≈ 2.83)
• Moyenne : Indicateur de niveau global
• Écart-type : Indicateur de régularité ou de dispersion
• Contexte : Interpréter les valeurs en fonction du domaine d'application
Combinaison : Calcul de la moyenne globale de deux séries combinées.
Série A : n₁ = 10 valeurs, \(\bar{x}_1 = 15\)
Série B : n₂ = 15 valeurs, \(\bar{x}_2 = 12\)
Somme série A : \(\sum x_i^{(1)} = n_1 \times \bar{x}_1 = 10 \times 15 = 150\)
Somme série B : \(\sum x_i^{(2)} = n_2 \times \bar{x}_2 = 15 \times 12 = 180\)
\(\bar{x}_{global} = \frac{\sum x_i^{(1)} + \sum x_i^{(2)}}{n_1 + n_2} = \frac{150 + 180}{10 + 15} = \frac{330}{25} = 13.2\)
\(\bar{x}_{global} = \frac{n_1 \bar{x}_1 + n_2 \bar{x}_2}{n_1 + n_2}\)
La moyenne globale des deux séries combinées est \(\bar{x}_{global} = 13.2\)
• Formule : \(\bar{x}_{global} = \frac{n_1 \bar{x}_1 + n_2 \bar{x}_2}{n_1 + n_2}\)
• Principe : Moyenne pondérée par les effectifs de chaque série
• Application : Moyenne de classes différentes, regroupement de données
