Union de deux ensembles : \(A \cup B = \{x \in \mathbb{R} \mid x \in A \text{ ou } x \in B\}\). Contient tous les éléments appartenant à A ou à B (ou aux deux).
A = [2,5] = {x ∈ ℝ | 2 ≤ x ≤ 5}
B = [4,8] = {x ∈ ℝ | 4 ≤ x ≤ 8}
A: de 2 à 5 (crochets fermés)
B: de 4 à 8 (crochets fermés)
Les réels appartenant à A ou B sont ceux entre 2 et 8 inclus
A ∪ B = [2,8]
\([2,5] \cup [4,8] = [2,8]\)
• Union : Ensemble des éléments appartenant à A ou B
• Visualisation : Sur la droite numérique, prendre l'intervalle couvrant les deux
• Résultat : [min(a,c), max(b,d)] pour [a,b] ∪ [c,d] avec a ≤ c
Intersection de deux ensembles : \(A \cap B = \{x \in \mathbb{R} \mid x \in A \text{ et } x \in B\}\). Contient les éléments appartenant à A et à B simultanément.
A = ]-1,3] = {x ∈ ℝ | -1 < x ≤ 3}
B = [1,6[ = {x ∈ ℝ | 1 ≤ x < 6}
A: de -1 (exclu) à 3 (inclus)
B: de 1 (inclus) à 6 (exclu)
Les réels appartenant à A et B doivent vérifier : -1 < x ≤ 3 ET 1 ≤ x < 6
Cela donne : 1 ≤ x ≤ 3
A ∩ B = [1,3]
\(]-1,3] \cap [1,6[ = [1,3]\)
• Intersection : Ensemble des éléments appartenant aux deux ensembles
• Conditions : x doit satisfaire toutes les conditions des deux ensembles
• Résultat : [max(a,c), min(b,d)] pour ]a,b] ∩ [c,d[ si intersection non vide
Complémentaire d'un ensemble A dans ℝ : \(\overline{A} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \notin A\}\). Ensemble des réels n'appartenant pas à A.
A = [0,4[ = {x ∈ ℝ | 0 ≤ x < 4}
Les réels qui ne sont pas dans [0,4[ sont ceux strictement inférieurs à 0 ou supérieurs ou égaux à 4
\(\overline{A} = ]-\infty,0[ \cup [4,+\infty[\)
Tout réel appartient soit à A, soit à \(\overline{A}\), et aucun réel n'appartient aux deux
\(\overline{[0,4[} = ]-\infty,0[ \cup [4,+\infty[\)
• Complémentaire : Ensemble des éléments non appartenant à A
• Notation : \(\overline{A}\) ou \(A^c\)
• Propriété : \(A \cup \overline{A} = \mathbb{R}\) et \(A \cap \overline{A} = \emptyset\)
Différence de deux ensembles : \(A \setminus B = \{x \in \mathbb{R} \mid x \in A \text{ et } x \notin B\}\). Ensemble des éléments de A qui ne sont pas dans B.
A = [-2,7] = {x ∈ ℝ | -2 ≤ x ≤ 7}
B = ]1,5[ = {x ∈ ℝ | 1 < x < 5}
Dans A, les éléments qui ne sont PAS dans B sont : [-2,1] ∪ [5,7]
-2 ∈ A et -2 ∉ B ✓
1 ∈ A et 1 ∉ B (car 1 < 1 est faux, mais 1 ≤ 1 est vrai, or B = ]1,5[ donc 1 ∉ B) ✓
5 ∈ A et 5 ∉ B (car 5 ∉ ]1,5[) ✓
7 ∈ A et 7 ∉ B ✓
A \ B = [-2,1] ∪ [5,7]
\([-2,7] \setminus ]1,5[ = [-2,1] \cup [5,7]\)
• Différence : \(A \setminus B = A \cap \overline{B}\)
• Interprétation : Éléments de A qui n'appartiennent pas à B
• Représentation : Soustraire les parties de B qui se trouvent dans A
Composition d'opérations : On effectue les opérations dans l'ordre des parenthèses, en respectant les priorités.
A = [1,4], B = [3,6], C = [2,5]
A ∪ B = [1,4] ∪ [3,6] = [1,6]
[1,6] ∩ [2,5] = [2,5]
Les réels x tels que 1 ≤ x ≤ 6 ET 2 ≤ x ≤ 5
Cela donne : 2 ≤ x ≤ 5
\(([1,4] \cup [3,6]) \cap [2,5] = [2,5]\)
• Ordre des opérations : Parenthèses d'abord
• Associativité : Certaines combinaisons d'opérations peuvent se simplifier
• Vérification : Toujours s'assurer que le résultat est un intervalle valide
Intervalles infinis : ]-∞,a], ]-∞,a[, [a,+∞[, [a,+∞[. Utilisent le symbole ∞ qui n'est pas un nombre réel.
]−∞,2] = {x ∈ ℝ | x ≤ 2}
[2,+∞[ = {x ∈ ℝ | x ≥ 2}
]−∞,2] ∪ [2,+∞[ = {x ∈ ℝ | x ≤ 2 ou x ≥ 2} = ℝ
]−∞,2] ∩ [2,+∞[ = {x ∈ ℝ | x ≤ 2 et x ≥ 2} = {2}
Les deux intervalles se rejoignent exactement en 2
Leur union couvre toute la droite réelle
]−∞,2] ∪ [2,+∞[ = ℝ et ]−∞,2] ∩ [2,+∞[ = {2}
• Infini : ∞ n'est pas un nombre réel, c'est un symbole
• Union complète : Si deux intervalles adjacents couvrent ℝ, leur union est ℝ
• Intersection ponctuelle : Peut être un singleton si les intervalles se touchent
Ensemble solution : L'ensemble des réels satisfaisant une inégalité ou un système d'inégalités peut être exprimé comme un intervalle ou une union d'intervalles.
Résoudre : 2x - 3 ≤ 5
2x - 3 ≤ 5
2x ≤ 8
x ≤ 4
Ensemble des solutions : ]-∞, 4]
Exemple : x ≥ 1 et x < 5
Solutions : [1, 5[
Les solutions d'inéquations forment des intervalles ou unions d'intervalles
• Traduction : Inégalités ↔ intervalles
• Conjonction : "et" correspond à l'intersection
• Disjonction : "ou" correspond à l'union
Union de plusieurs ensembles : \(A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n = \{x \in \mathbb{R} \mid x \in A_i \text{ pour au moins un } i\}\).
A₁ = [0,2], A₂ = [1,3], A₃ = [4,6]
[0,2] ∪ [1,3] = [0,3]
[0,3] ∪ [4,6] = [0,3] ∪ [4,6]
Cette union ne peut pas être simplifiée en un seul intervalle
A₁ ∪ A₂ ∪ A₃ = [0,3] ∪ [4,6]
La réunion de plusieurs intervalles peut être un intervalle ou une union d'intervalles disjoints
• Associativité : (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
• Simplification : Fusionner les intervalles qui se chevauchent ou sont adjacents
• Résultat : Peut être un ou plusieurs intervalles disjoints
Propriétés algébriques : Lois de Morgan, distributivité, associativité, commutativité des opérations ensemblistes.
\(\overline{A \cup B} = \overline{A} \cap \overline{B}\)
\(\overline{A \cap B} = \overline{A} \cup \overline{B}\)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ B = B ∩ A
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
Les opérations ensemblistes obéissent à des propriétés algébriques similaires aux opérations numériques
• Lois de Morgan : Complémentaire d'une union/intersection
• Distributivité : Union/intersection distributive sur l'autre
• Structures algébriques : (P(E), ∪, ∩) forme une algèbre de Boole
Applications : Utilisation des ensembles réels pour modéliser des situations concrètes : domaines de définition, contraintes, fourchettes de valeurs.
Pour f(x) = √(x-2), il faut x-2 ≥ 0, donc x ≥ 2
Domaine = [2, +∞[
Température possible : [-273.15, +∞[ (zéro absolu)
Tension électrique admissible : [210, 250] volts
Probabilité d'un événement : [0, 1]
Les ensembles réels permettent de modéliser des contraintes, domaines et fourchettes dans divers contextes
• Modélisation : Les intervalles représentent des plages de valeurs admissibles
• Contraintes : Bornes imposées par la physique ou la logique
• Applications : Mathématiques, physique, économie, probabilités
