Probabilité classique : \(P(A) = \frac{\text{Nombre de cas favorables}}{\text{Nombre de cas possibles}}\). S'applique lorsque les issues sont équiprobables.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → 6 issues possibles
A = "obtenir un 6" = {6} → 1 cas favorable
\(P(A) = \frac{1}{6}\)
En moyenne, on obtient un 6 une fois sur 6 lancers
La probabilité d'obtenir un 6 est \(P(A) = \frac{1}{6}\)
• Équiprobabilité : Toutes les faces ont la même chance d'apparaître
• Formule : \(P(A) = \frac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}\)
• Vérification : \(0 \leq \frac{1}{6} \leq 1\) ✓
Événement certain : Événement qui se réalise toujours. Sa probabilité est 1.
Ω = {pile, face} → 2 issues possibles
A = "obtenir pile ou face" = {pile, face} = Ω → 2 cas favorables
\(P(A) = \frac{2}{2} = 1\)
C'est un événement certain, donc P(A) = 1
La probabilité d'obtenir pile ou face est \(P(A) = 1\)
• Événement certain : P(Ω) = 1
• Équiprobabilité : P(pile) = P(face) = 1/2
• Union exhaustive : {pile} ∪ {face} = Ω
Cardinal d'un ensemble : Nombre d'éléments de l'ensemble. |A| désigne le cardinal de A.
Ω = ensemble des 52 cartes → |Ω| = 52
A = "tirer un roi" = {roi cœur, roi carreau, roi trèfle, roi pique} → |A| = 4
\(P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\)
\(P(A) = \frac{1}{13} \approx 0.077\)
La probabilité de tirer un roi est \(P(A) = \frac{1}{13}\)
• Cardinal : |A| = nombre d'éléments de A
• Formule : \(P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\)
• Simplification : Toujours réduire les fractions
Formule de Poincaré : \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\). Évite de compter deux fois l'intersection.
P(A) = 0.3, P(B) = 0.4, P(A ∩ B) = 0.1
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)
\(P(A \cup B) = 0.3 + 0.4 - 0.1 = 0.6\)
La probabilité que A ou B (ou les deux) se réalisent est 0.6
On soustrait P(A ∩ B) pour éviter de compter deux fois les éléments de l'intersection
\(P(A \cup B) = 0.6\)
• Formule de Poincaré : \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)
• Raisonnement : Soustraire l'intersection évite le double compte
• Vérification : 0 ≤ 0.6 ≤ 1 ✓
Événement contraire (complémentaire) : \(\overline{A} = \Omega \setminus A\). Ensemble des issues qui ne sont pas dans A.
P(A) = 0.7
\(P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.7 = 0.3\)
Si A a 70% de chances de se produire, alors Ā a 30% de chances de se produire
\(P(A) + P(\overline{A}) = 0.7 + 0.3 = 1\) ✓
\(P(\overline{A}) = 0.3\)
• Complémentaire : \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\)
• Propriété : \(P(A) + P(\overline{A}) = 1\)
• Utilité : Parfois plus simple de calculer P(Ā) que P(A)
Événements incompatibles : A et B sont incompatibles si \(A \cap B = \emptyset\). Ils ne peuvent pas se réaliser simultanément.
Si A et B sont incompatibles, alors \(A \cap B = \emptyset\)
Donc \(P(A \cap B) = 0\)
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - 0 = P(A) + P(B)\)
Lancer un dé : A = "obtenir 1", B = "obtenir 2"
P(A) = 1/6, P(B) = 1/6
P(A ∪ B) = 1/6 + 1/6 = 1/3
Pour des événements incompatibles : \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
Pour des événements incompatibles : \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
• Incompatibilité : \(A \cap B = \emptyset \Rightarrow P(A \cap B) = 0\)
• Simplification : Formule de Poincaré se simplifie
• Exemple : Issues distinctes d'une expérience sont incompatibles
Formule des probabilités totales : Si \(B_1, B_2, ..., B_n\) forment une partition de Ω, alors \(P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(A \cap B_i)\).
On décompose l'événement A selon une partition de l'univers
Soit B₁ = "jour pair", B₂ = "jour impair" dans une semaine (partition de Ω)
Soit A = "jour de fête"
\(P(A) = P(A \cap B_1) + P(A \cap B_2)\)
= P("jour de fête ET jour pair") + P("jour de fête ET jour impair")
\(P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap \overline{B})\) pour tout événement B
La formule des probabilités totales permet de décomposer une probabilité complexe
• Partition : \(B_1 \cup B_2 \cup ... \cup B_n = \Omega\) et \(B_i \cap B_j = \emptyset\) pour i ≠ j
• Formule : \(P(A) = \sum P(A \cap B_i)\)
• Application : Utile pour décomposer des calculs complexes
Tableau de contingence : Tableau croisant deux variables aléatoires avec les probabilités correspondantes.
| A\B | B | B̄ | Total |
|---|---|---|---|
| A | P(A∩B) | P(A∩B̄) | P(A) |
| Ā | P(Ā∩B) | P(Ā∩B̄) | P(Ā) |
| Total | P(B) | P(B̄) | 1 |
• Somme des lignes = probabilité marginale
• Somme des colonnes = probabilité marginale
• Somme totale = 1
À partir de certaines cases, on peut retrouver les autres
Si P(A) = 0.4, P(B) = 0.3, P(A∩B) = 0.1
Alors P(A∩B̄) = P(A) - P(A∩B) = 0.4 - 0.1 = 0.3
Le tableau de probabilités permet d'organiser et de visualiser les relations entre événements
• Structure : Cases intérieures = intersections, bords = marginales
• Conservation : Lignes et colonnes s'additionnent aux marginales
• Utilité : Outil de calcul et de vérification
Probabilité conditionnelle : \(P_B(A) = P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\) (si P(B) > 0). Probabilité de A sachant que B est réalisé.
\(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\) (probabilité de A sachant B)
Dans une classe, 60% des élèves sont des filles, 40% sont des garçons
30% des filles portent des lunettes, 20% des garçons portent des lunettes
Soit F = "être fille", L = "porter des lunettes"
P(F) = 0.6, P(L|F) = 0.3
Donc P(L ∩ F) = P(L|F) × P(F) = 0.3 × 0.6 = 0.18
Les arbres facilitent la visualisation des probabilités conditionnelles
Les probabilités conditionnelles permettent de calculer des probabilités dans des contextes restreints
• Définition : \(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\)
• Formule du produit : \(P(A \cap B) = P(A|B) \times P(B)\)
• Arbres : Outil visuel pour représenter les probabilités conditionnelles
Applications : Les probabilités sont utilisées dans de nombreux domaines : assurance, météo, médecine, industrie.
Test de dépistage : probabilité de maladie sachant test positif
Calcul des primes basé sur la probabilité de sinistres
Prévisions : probabilité de pluie, orage, etc.
Contrôle de qualité : probabilité de défaut dans une production
Les probabilités permettent de quantifier l'incertitude et de prendre des décisions éclairées
• Quantification : Les probabilités permettent de mesurer l'incertitude
• Décision : Base pour des choix rationnels en présence d'aléatoire
• Modélisation : Outil fondamental pour représenter les phénomènes aléatoires
