Expérience aléatoire : Lancer d'un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6. Équiprobabilité : Chaque face a la même probabilité de sortir.
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → |Ω| = 6 (cardinal de Ω)
A = "obtenir un nombre pair" = {2, 4, 6}
→ |A| = 3 (cardinal de A)
Le dé est équilibré, donc toutes les faces ont la même probabilité
\(P(A) = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}} = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
La probabilité d'obtenir un nombre pair est \(P(A) = \frac{1}{2}\)
• Univers : Ensemble de toutes les issues possibles
• Équiprobabilité : Nécessaire pour utiliser la formule classique
• Formule : \(P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}\) si équiprobabilité
Expérience aléatoire : Jet d'une pièce équilibrée. Univers : Ω = {pile, face}. Équiprobabilité : P(pile) = P(face) = 1/2.
Ω = {pile, face} → |Ω| = 2
A = "obtenir pile" = {pile}
→ |A| = 1
La pièce est équilibrée, donc P(pile) = P(face) = 1/2
\(P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{1}{2}\)
La probabilité d'obtenir pile est \(P(A) = \frac{1}{2}\)
• Simple expérience : Univers à 2 éléments
• Équiprobabilité : Essentielle pour la formule classique
• Application directe : \(P(A) = \frac{1}{2}\)
Expérience aléatoire : Tirage d'une carte dans un jeu de 32 cartes. Équiprobabilité : Chaque carte a la même probabilité d'être tirée.
Ω = ensemble des 32 cartes → |Ω| = 32
A = "tirer un as" = {as cœur, as carreau, as trèfle, as pique}
→ |A| = 4
Chaque carte a la même probabilité d'être tirée
\(P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}\)
La probabilité de tirer un as est \(P(A) = \frac{1}{8}\)
• Univers fini : |Ω| = 32 cartes
• Équiprobabilité : Hypothèse de base
• Simplification : \(\frac{4}{32} = \frac{1}{8}\)
Formule de Poincaré : \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\). Permet de calculer la probabilité de l'union de deux événements.
On additionne les probabilités de A et B, mais on soustrait P(A ∩ B) pour éviter de compter deux fois l'intersection
Soit A = "obtenir un nombre pair" et B = "obtenir un multiple de 3" en lançant un dé
A = {2, 4, 6}, B = {3, 6}
P(A) = 3/6 = 1/2
P(B) = 2/6 = 1/3
P(A ∩ B) = P({6}) = 1/6
\(P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\)
\(P(A \cup B) = \frac{2}{3}\)
• Formule de Poincaré : \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)
• Raisonnement : Soustraction de l'intersection pour éviter le double compte
• Application : Essentielle pour les calculs de probabilités
Événement contraire : \(\overline{A} = \Omega \setminus A\). Ensemble des issues de Ω qui ne sont pas dans A. Propriété : \(P(A) + P(\overline{A}) = 1\).
\(A \cup \overline{A} = \Omega\) et \(A \cap \overline{A} = \emptyset\)
Donc \(P(A \cup \overline{A}) = P(\Omega) = 1\)
\(P(A) + P(\overline{A}) = 1\)
Donc \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\)
Soit A = "obtenir 6" en lançant un dé
P(A) = 1/6
\(P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\)
\(P(\overline{A}) = \frac{5}{6}\)
• Complémentaire : \(\overline{A} = \Omega \setminus A\)
• Formule : \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\)
• Utilité : Parfois plus simple de calculer P(Ā) que P(A)
Événements incompatibles : A et B sont incompatibles si \(A \cap B = \emptyset\). Ils ne peuvent pas se réaliser simultanément.
Deux événements A et B sont incompatibles si leur intersection est vide : \(A \cap B = \emptyset\)
Si A et B sont incompatibles, alors \(P(A \cap B) = 0\)
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = P(A) + P(B) - 0 = P(A) + P(B)\)
En lançant un dé : A = "obtenir 1", B = "obtenir 2"
A ∩ B = ∅ (on ne peut pas obtenir 1 et 2 en même temps)
P(A) = 1/6, P(B) = 1/6
P(A ∪ B) = 1/6 + 1/6 = 1/3
Pour des événements incompatibles : \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
• Incompatibilité : \(A \cap B = \emptyset \Rightarrow P(A \cap B) = 0\)
• Simplification : Formule de Poincaré se réduit à \(P(A) + P(B)\)
• Exemples : Issues distinctes d'une expérience sont incompatibles
Modélisation : Processus de description mathématique d'une expérience aléatoire. Consiste à définir l'univers, les événements et les probabilités.
Expérience : Lancer deux dés équilibrés
Ω = {(i,j) | i,j ∈ {1,2,3,4,5,6}}
Chaque issue est un couple (résultat premier dé, résultat deuxième dé)
|Ω| = 6 × 6 = 36
A = "la somme des deux dés est 7"
A = {(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)}
|A| = 6
\(P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}\)
La probabilité d'obtenir une somme de 7 avec deux dés est \(P(A) = \frac{1}{6}\)
• Modélisation : Définition précise de Ω, événements, probabilités
• Produit cartésien : Pour des expériences composées
• Équiprobabilité : Hypothèse fondamentale pour la formule classique
Tableau de probabilités : Outil pour organiser les probabilités de plusieurs événements et leurs intersections.
| A\B | B | B̄ | Total |
|---|---|---|---|
| A | P(A∩B) | P(A∩B̄) | P(A) |
| Ā | P(Ā∩B) | P(Ā∩B̄) | P(Ā) |
| Total | P(B) | P(B̄) | 1 |
• Les sommes des lignes donnent les probabilités marginales de A et Ā
• Les sommes des colonnes donnent les probabilités marginales de B et B̄
• La somme totale est égale à 1
À partir de certaines valeurs, on peut retrouver les autres
Soit P(A) = 0.4, P(B) = 0.3, P(A∩B) = 0.1
Alors P(A∩B̄) = P(A) - P(A∩B) = 0.4 - 0.1 = 0.3
P(Ā∩B) = P(B) - P(A∩B) = 0.3 - 0.1 = 0.2
P(Ā∩B̄) = 1 - P(A) - P(Ā∩B) = 1 - 0.4 - 0.2 = 0.4
Le tableau de probabilités permet d'organiser et de calculer les probabilités de manière systématique
• Structure : Cases intérieures = intersections, bords = marginales
• Conservation : Lignes et colonnes s'additionnent aux marginales
• Utilité : Outil de calcul et de vérification
Expérience composée : Expérience constituée de plusieurs étapes successives. L'univers est un produit cartésien des univers des étapes.
Expérience : Lancer une pièce, puis un dé
Étape 1 : Ω₁ = {pile, face}
Étape 2 : Ω₂ = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Univers total : Ω = Ω₁ × Ω₂ = {(pile,1), (pile,2), ..., (face,6)}
|Ω| = |Ω₁| × |Ω₂| = 2 × 6 = 12
A = "obtenir pile au premier lancer et un nombre pair au deuxième"
A = {(pile,2), (pile,4), (pile,6)}
|A| = 3
\(P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\)
La probabilité de l'événement A est \(P(A) = \frac{1}{4}\)
• Produit cartésien : Pour des expériences composées
• Cardinal : |Ω₁ × Ω₂| = |Ω₁| × |Ω₂|
• Équiprobabilité : Si chaque étape est équiprobable, alors l'expérience composée l'est aussi
Applications : Les expériences aléatoires simples sont omniprésentes dans la vie quotidienne et dans de nombreux domaines.
Test de dépistage : probabilité de maladie sachant test positif
Modèle : tirage aléatoire dans une population
Lancer de dés, tirage de cartes, roulette : exemples classiques d'expériences aléatoires
Tirage de pièces dans une production pour tester la conformité
Échantillonnage aléatoire dans une population pour estimer des proportions
Les expériences aléatoires simples sont fondamentales pour modéliser de nombreux phénomènes réels
• Modélisation : Outil mathématique pour représenter l'incertitude
• Applications : Très variées dans de nombreux domaines
• Importance : Base pour des analyses plus complexes
