Expériences Aléatoires Simples | Enseignement Scientifique 1ère

Le lancer d'un dé à six faces est une expérience aléatoire. Les issues possibles sont : {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Chaque face a la même probabilité d'apparaître si le dé est équilibré.

Le lancer d'une pièce de monnaie est une expérience aléatoire. Les issues possibles sont : {pile, face}. Si la pièce est équilibrée, chaque côté a une probabilité de 1/2.

Le tirage au hasard d'une carte dans un jeu de 52 cartes est une expérience aléatoire. Il y a 52 issues possibles, chacune avec une probabilité de 1/52.

L'univers est l'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire. Il est noté Ω. Pour le lancer d'un dé à six faces, l'univers est : Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Un événement est un sous-ensemble de l'univers. Il peut être constitué d'une seule issue (événement élémentaire) ou de plusieurs issues. Par exemple, dans le lancer de dé, l'événement "obtenir un nombre pair" est : A = {2, 4, 6}.

• Événement certain : Ω (se produit toujours)
• Événement impossible : ∅ (ne se produit jamais)
• Événement élémentaire : constitué d'une seule issue

L'union de deux événements A et B, notée A ∪ B, est l'événement qui se réalise si A se réalise ou B se réalise (ou les deux). Par exemple, si A = {1, 2} et B = {2, 3}, alors A ∪ B = {1, 2, 3}.

L'intersection de deux événements A et B, notée A ∩ B, est l'événement qui se réalise si A et B se réalisent simultanément. Par exemple, si A = {1, 2, 3} et B = {2, 3, 4}, alors A ∩ B = {2, 3}.

Deux événements A et B sont incompatibles (ou disjoints) si A ∩ B = ∅. Cela signifie qu'ils ne peuvent pas se produire en même temps. Par exemple, "obtenir 1" et "obtenir 2" en lançant un dé sont incompatibles.

Si toutes les issues d'une expérience aléatoire sont équiprobables (c'est-à-dire qu'elles ont la même chance de se produire), alors la probabilité d'un événement A est :

Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre impair en lançant un dé à six faces ?

• Issues favorables : {1, 3, 5} → 3 issues
• Issues totales : {1, 2, 3, 4, 5, 6} → 6 issues

• 0 ≤ P(A) ≤ 1 pour tout événement A
• P(Ω) = 1 (probabilité de l'événement certain)
• P(∅) = 0 (probabilité de l'événement impossible)
• Si A et B sont incompatibles, alors P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

La probabilité d'un événement contraire est :

Où Ā est l'événement contraire de A.

• Nombre d'as : 4
• Total des cartes : 52

• Nombre de figures : 3 par couleur × 4 couleurs = 12
• Total des cartes : 52

• Cœur : 13 cartes
• As : 4 cartes
• Cœur et as (l'as de cœur) : 1 carte

En génétique, les probabilités permettent de prédire la transmission de caractères héréditaires. Par exemple, la probabilité qu'un enfant hérite d'un gène spécifique de ses parents peut être calculée selon les lois de Mendel.

En physique quantique, les événements sont intrinsèquement probabilistes. La probabilité de trouver une particule dans un certain état est décrite par la fonction d'onde.

Les probabilités sont utilisées pour étudier la propagation des maladies, l'efficacité des traitements et les risques sanitaires.

• Ne pas vérifier que les issues sont équiprobables
• Confondre événements incompatibles et événements contraires
• Oublier de vérifier que la somme des probabilités est égale à 1
• Calculer des probabilités supérieures à 1

• Toujours vérifier que 0 ≤ P(A) ≤ 1
• S'assurer que la somme des probabilités de tous les événements élémentaires est égale à 1
• Représenter graphiquement l'expérience
• Relire la formulation du problème

Les nombres premiers entre 1 et 6 sont : 2, 3 et 5.

Note : 1 n'est pas un nombre premier, 4 = 2×2 n'est pas premier, 6 = 2×3 n'est pas premier.

• Issues favorables : {2, 3, 5} → 3 issues
• Issues totales : {1, 2, 3, 4, 5, 6} → 6 issues

Total des boules = 8 (rouges) + 5 (bleues) + 7 (vertes) = 20 boules

Méthode 1 : Calculer le nombre de boules non bleues

• Boules non bleues = 8 (rouges) + 7 (vertes) = 15 boules

Méthode 2 : Utiliser l'événement contraire

• Expérience aléatoire : expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat
• Univers Ω : ensemble de toutes les issues possibles
• Événement : sous-ensemble de l'univers
• Événement élémentaire : constitué d'une seule issue

• P(A) = nombre d'issues favorables / nombre total d'issues (si équiprobabilité)

• 0 ≤ P(A) ≤ 1
• P(Ω) = 1
• P(∅) = 0
• P(Ā) = 1 - P(A)