Événements indépendants : A et B sont indépendants si P(A ∩ B) = P(A) × P(B). La réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de l'autre.
Lancer de deux dés équilibrés. L'univers Ω a 36 issues équiprobables.
A = "le premier dé donne 3" → A = {(3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6)}
B = "le deuxième dé donne 5" → B = {(1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5)}
P(A) = 6/36 = 1/6
P(B) = 6/36 = 1/6
A ∩ B = {(3,5)} → P(A ∩ B) = 1/36
P(A) × P(B) = (1/6) × (1/6) = 1/36
P(A ∩ B) = 1/36
Donc P(A ∩ B) = P(A) × P(B) → A et B sont indépendants
Les événements "premier dé donne 3" et "deuxième dé donne 5" sont indépendants.
• Définition : A et B indépendants ⟺ P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
• Explication : Le résultat du premier dé n'affecte pas le second
• Vérification : 1/36 = 1/6 × 1/6 ✓
Événements indépendants : Deux événements sont indépendants si la connaissance de la réalisation de l'un ne modifie pas la probabilité de l'autre.
Jet de deux pièces équilibrées. L'univers Ω = {PP, PF, FP, FF} avec 4 issues équiprobables.
A = "première pièce donne pile" = {PP, PF}
B = "deuxième pièce donne face" = {PF, FF}
P(A) = 2/4 = 1/2
P(B) = 2/4 = 1/2
A ∩ B = {PF} → P(A ∩ B) = 1/4
P(A) × P(B) = (1/2) × (1/2) = 1/4
P(A ∩ B) = 1/4
Donc P(A ∩ B) = P(A) × P(B) → A et B sont indépendants
Les événements "première pièce donne pile" et "deuxième pièce donne face" sont indépendants.
• Indépendance : P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
• Interprétation : Le résultat de la première pièce n'influence pas la deuxième
• Équiprobabilité : Hypothèse fondamentale pour les calculs
Événements dépendants : Lorsqu'un événement influence la probabilité d'un autre événement, ils sont dits dépendants.
Tirage de deux cartes successivement sans remise dans un jeu de 32 cartes.
A = "la première carte est un as"
B = "la deuxième carte est un roi"
P(A) = 4/32 = 1/8 (4 as dans 32 cartes)
Si A est réalisé (première carte est un as), il reste 31 cartes dont 4 rois
P(B|A) = 4/31
Si A n'est pas réalisé (première carte n'est pas un as), il reste 31 cartes dont 4 rois
P(B|Ā) = 4/31
P(B) = P(B|A)×P(A) + P(B|Ā)×P(Ā) = (4/31)×(1/8) + (4/31)×(7/8) = 4/31
P(B|A) = 4/31 = P(B) → Donc A et B sont indépendants ?
En fait, P(B|A) = 4/31 et P(B) = 4/32 = 1/8
4/31 ≠ 1/8 → Donc A et B sont dépendants
Les événements "première carte est un as" et "deuxième carte est un roi" sont dépendants.
• Sans remise : Le tirage modifie la composition → événements dépendants
• Conditionnelle : P(B|A) ≠ P(B) → événements dépendants
• Remarque : Le résultat du premier tirage influence le second
Calcul de l'intersection : Si A et B sont indépendants, alors P(A ∩ B) = P(A) × P(B).
P(A) = 0.4, P(B) = 0.6
A et B sont indépendants
Si A et B sont indépendants, alors P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
P(A ∩ B) = 0.4 × 0.6 = 0.24
La probabilité que A et B se réalisent simultanément est 0.24
P(A ∩ B) = 0.24
• Propriété fondamentale : P(A ∩ B) = P(A) × P(B) si A et B indépendants
• Simplicité : Calcul direct sans connaître l'intersection
• Application : Très utile pour les calculs complexes
Propriété d'indépendance : Si A et B sont indépendants, alors A et B̄ sont également indépendants.
A et B sont indépendants → P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B̄) et cette union est disjointe
Donc P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B̄)
P(A ∩ B̄) = P(A) - P(A ∩ B)
P(A ∩ B̄) = P(A) - P(A) × P(B) (car A et B sont indépendants)
P(A ∩ B̄) = P(A) × [1 - P(B)] = P(A) × P(B̄)
P(A ∩ B̄) = P(A) × P(B̄) → A et B̄ sont indépendants
Si A et B sont indépendants, alors A et B̄ sont également indépendants.
• Stabilité : L'indépendance est conservée avec les événements contraires
• Démonstration : Utilisation de la décomposition de A
• Application : Permet d'étendre les résultats d'indépendance
Conditionnelle et indépendance : A et B sont indépendants ⟺ P(A|B) = P(A) (si P(B) > 0).
\(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\) (si P(B) > 0)
Alors P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
\(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P(A) \times P(B)}{P(B)} = P(A)\)
Si P(A|B) = P(A), alors :
\(\frac{P(A \cap B)}{P(B)} = P(A)\)
\(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\)
Donc A et B sont indépendants
A et B sont indépendants si et seulement si P(A|B) = P(A) (si P(B) > 0).
• Équivalence : P(A|B) = P(A) ⟺ A et B indépendants
• Interprétation : Connaître B ne change pas la probabilité de A
• Utilité : Alternative pour vérifier l'indépendance
Événements mutuellement indépendants : Une suite d'événements est mutuellement indépendante si la probabilité de l'intersection est le produit des probabilités.
A₁, A₂, A₃ sont mutuellement indépendants si :
P(A₁ ∩ A₂) = P(A₁) × P(A₂)
P(A₁ ∩ A₃) = P(A₁) × P(A₃)
P(A₂ ∩ A₃) = P(A₂) × P(A₃)
P(A₁ ∩ A₂ ∩ A₃) = P(A₁) × P(A₂) × P(A₃)
Soit A₁ = "premier dé donne 1", A₂ = "deuxième dé donne 3", A₃ = "troisième dé donne 5"
Chaque événement a une probabilité de 1/6
P(A₁ ∩ A₂) = P({(1,3,x)}) = 1/36 = (1/6) × (1/6) = P(A₁) × P(A₂)
De même pour les autres paires
P(A₁ ∩ A₂ ∩ A₃) = P({(1,3,5)}) = 1/216 = (1/6)³ = P(A₁) × P(A₂) × P(A₃)
Les trois événements sont mutuellement indépendants
Les événements "premier dé donne 1", "deuxième dé donne 3" et "troisième dé donne 5" sont mutuellement indépendants.
• Mutuelle indépendance : Toutes les intersections possibles
• Calcul : Produit des probabilités individuelles
• Application : Expériences répétées
Tableau de contingence : Outil pour vérifier l'indépendance en comparant les fréquences relatives.
| A\B | B | B̄ | Total |
|---|---|---|---|
| A | P(A∩B) | P(A∩B̄) | P(A) |
| Ā | P(Ā∩B) | P(Ā∩B̄) | P(Ā) |
| Total | P(B) | P(B̄) | 1 |
A et B sont indépendants si et seulement si P(A∩B) = P(A) × P(B)
Soit P(A) = 0.4, P(B) = 0.5, P(A∩B) = 0.2
P(A) × P(B) = 0.4 × 0.5 = 0.2
P(A∩B) = 0.2
Donc P(A∩B) = P(A) × P(B) → A et B sont indépendants
Les fréquences dans le tableau respectent la propriété d'indépendance
Le tableau de probabilités permet de vérifier l'indépendance en comparant P(A∩B) avec P(A)×P(B).
• Tableau : Organise les probabilités pour vérification
• Condition : P(A∩B) = P(A) × P(B) pour indépendance
• Visualisation : Facilite la compréhension des relations
Applications concrètes : L'indépendance est utilisée dans de nombreux domaines pour modéliser des phénomènes sans influence mutuelle.
Tests médicaux : la probabilité de contracter une maladie est indépendante du sexe dans certains cas
Jet de dés successifs : chaque jet est indépendant des précédents
Défauts sur pièces produites : chaque pièce a une probabilité indépendante d'être défectueuse
Pannes de machines indépendantes : calcul de la probabilité de panne commune
L'indépendance est un concept fondamental pour modéliser des phénomènes sans influence mutuelle.
• Modélisation : Hypothèse d'indépendance pour simplifier les calculs
• Applications : Très variées dans de nombreux domaines
• Prudence : Vérifier que l'hypothèse d'indépendance est raisonnable
Test d'indépendance : Méthode pour déterminer si deux événements sont indépendants ou non.
Calculer P(A), P(B), P(A ∩ B)
Vérifier si P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
Calculer P(A|B) et le comparer à P(A)
Si P(A|B) = P(A), alors A et B sont indépendants
Montrer que P(A ∩ B) ≠ P(A) × P(B) pour prouver la dépendance
Soit P(A) = 0.3, P(B) = 0.4, P(A ∩ B) = 0.15
P(A) × P(B) = 0.3 × 0.4 = 0.12
P(A ∩ B) = 0.15 ≠ 0.12 → A et B sont dépendants
Pour tester l'indépendance, on compare P(A ∩ B) avec P(A) × P(B).
• Directe : Comparaison des produits de probabilités
• Conditionnelle : Comparaison de probabilités conditionnelles
• Conclusion : Égalité → indépendance, inégalité → dépendance
