Moyenne arithmétique : Valeur moyenne d'un ensemble de mesures.
Écart-type : Mesure de la dispersion des valeurs autour de la moyenne.
Organiser les données dans un tableau, calculer la moyenne, puis l'écart-type.
| Mesure | Température (°C) |
|---|---|
| 1 | 22.1 |
| 2 | 22.3 |
| 3 | 21.9 |
| 4 | 22.2 |
| 5 | 22.0 |
| 6 | 22.4 |
| 7 | 21.8 |
\(\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{22.1 + 22.3 + 21.9 + 22.2 + 22.0 + 22.4 + 21.8}{7}\)
\(\bar{x} = \frac{154.7}{7} = 22.1\) °C
\(\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}\)
\((x_i - \bar{x})^2\) : (0.0)² + (0.2)² + (-0.2)² + (0.1)² + (-0.1)² + (0.3)² + (-0.3)²
= 0 + 0.04 + 0.04 + 0.01 + 0.01 + 0.09 + 0.09 = 0.28
\(\sigma = \sqrt{\frac{0.28}{7}} = \sqrt{0.04} = 0.2\) °C
La température moyenne est de 22.1°C avec une dispersion de ±0.2°C
Les mesures sont assez précises
Moyenne = 22.1°C, Écart-type = 0.2°C. Les mesures sont précises avec peu de dispersion.
• Organisation : Tableau pour structurer les données
• Moyenne : Somme des valeurs divisée par le nombre de mesures
• Écart-type : Mesure de la précision des mesures
Graphique : Représentation visuelle des relations entre variables.
| Temps (jours) | Hauteur (cm) |
|---|---|
| 0 | 5 |
| 3 | 7 |
| 6 | 10 |
| 9 | 14 |
| 12 | 19 |
Axe des abscisses : Temps (jours)
Axe des ordonnées : Hauteur (cm)
Tracer les points et relier avec une courbe
La hauteur augmente régulièrement avec le temps
La croissance semble linéaire ou légèrement exponentielle
Vitesse = \(\frac{\Delta \text{hauteur}}{\Delta \text{temps}} = \frac{19-5}{12-0} = \frac{14}{12} = 1.17\) cm/jour
La plante croît à un rythme constant d'environ 1.17 cm par jour
Graphique montrant une croissance linéaire de la plante. Vitesse moyenne de croissance : 1.17 cm/jour.
• Graphique : Axe horizontal = variable indépendante, axe vertical = variable dépendante
• Échelles : Choix approprié pour visualiser correctement les variations
• Tendance : Identifier la relation entre les variables
Médiane : Valeur centrale d'une série ordonnée de données.
Données : 6.8, 7.0, 6.9, 7.2, 6.7, 7.1, 6.8, 7.0
Ordonnées : 6.7, 6.8, 6.8, 6.9, 7.0, 7.0, 7.1, 7.2
\(\bar{x} = \frac{6.7 + 6.8 + 6.8 + 6.9 + 7.0 + 7.0 + 7.1 + 7.2}{8} = \frac{55.5}{8} = 6.94\)
8 mesures (pair), donc médiane = \(\frac{6.9 + 7.0}{2} = 6.95\)
\(\sum(x_i - \bar{x})^2 = (6.7-6.94)^2 + (6.8-6.94)^2 + ... + (7.2-6.94)^2\)
= 0.0576 + 0.0196 + 0.0196 + 0.0016 + 0.0036 + 0.0036 + 0.0256 + 0.0676 = 0.1992
\(\sigma = \sqrt{\frac{0.1992}{8}} = \sqrt{0.0249} = 0.158\)
pH moyen = 6.94, écart-type = 0.158, médiane = 6.95
Les mesures sont centrées autour de 6.9-7.0 (presque neutre)
Moyenne = 6.94, Médiane = 6.95, Écart-type = 0.158. Les mesures sont centrées autour de 6.9-7.0.
• Médiane : Pour n pair, moyenne des deux valeurs centrales
• Écart-type : Mesure la dispersion des données
• Comparaison : Moyenne vs médiane pour évaluer la symétrie
Plage : Différence entre la valeur maximale et la valeur minimale.
Variance : Carré de l'écart-type, mesure de la dispersion.
Données : 18.5, 19.0, 18.7, 19.2, 18.6, 18.9, 19.1, 18.8
\(\bar{x} = \frac{18.5 + 19.0 + 18.7 + 19.2 + 18.6 + 18.9 + 19.1 + 18.8}{8} = \frac{150.8}{8} = 18.85\) °C
Valeur maximale = 19.2°C
Valeur minimale = 18.5°C
Plage = 19.2 - 18.5 = 0.7°C
\(\sum(x_i - \bar{x})^2 = (18.5-18.85)^2 + (19.0-18.85)^2 + ... + (18.8-18.85)^2\)
= (-0.35)² + (0.15)² + (-0.15)² + (0.35)² + (-0.25)² + (0.05)² + (0.25)² + (-0.05)²
= 0.1225 + 0.0225 + 0.0225 + 0.1225 + 0.0625 + 0.0025 + 0.0625 + 0.0025 = 0.42
\(\text{Variance} = \frac{0.42}{8} = 0.0525\) (°C)²
La plage de 0.7°C montre une faible variation
La variance de 0.0525 (°C)² confirme la faible dispersion
Plage = 0.7°C, Variance = 0.0525 (°C)². Faible variation des températures.
• Plage : Mesure simple de dispersion
• Variance : \(\sigma^2\), mesure de la dispersion
• Interprétation : Faibles valeurs indiquent une bonne précision
Statistiques descriptives : Ensemble de mesures qui résument les caractéristiques principales d'un ensemble de données.
Données : 0.45, 0.52, 0.48, 0.49, 0.51, 0.47, 0.50, 0.46, 0.53, 0.44
Ordonnées : 0.44, 0.45, 0.46, 0.47, 0.48, 0.49, 0.50, 0.51, 0.52, 0.53
\(\bar{x} = \frac{0.45 + 0.52 + 0.48 + 0.49 + 0.51 + 0.47 + 0.50 + 0.46 + 0.53 + 0.44}{10} = \frac{4.85}{10} = 0.485\) g
10 mesures (pair), donc médiane = \(\frac{0.48 + 0.49}{2} = 0.485\) g
\(\sum(x_i - \bar{x})^2 = (0.45-0.485)^2 + (0.52-0.485)^2 + ... + (0.44-0.485)^2\)
= (-0.035)² + (0.035)² + (-0.005)² + (0.005)² + (0.025)² + (-0.015)² + (0.015)² + (-0.025)² + (0.045)² + (-0.045)²
= 0.001225 + 0.001225 + 0.000025 + 0.000025 + 0.000625 + 0.000225 + 0.000225 + 0.000625 + 0.002025 + 0.002025 = 0.00825
\(\sigma = \sqrt{\frac{0.00825}{10}} = \sqrt{0.000825} = 0.029\) g
Valeur maximale = 0.53 g
Valeur minimale = 0.44 g
Plage = 0.53 - 0.44 = 0.09 g
Moyenne = 0.485 g, Médiane = 0.485 g, Écart-type = 0.029 g
Les masses sont homogènes avec peu de variation
Moyenne = 0.485 g, Médiane = 0.485 g, Écart-type = 0.029 g, Plage = 0.09 g. Bonne homogénéité des masses.
• Homogénéité : Moyenne ≈ Médiane indique distribution symétrique
• Précision : Faible écart-type indique bonnes mesures
• Statistiques : Ensemble complet de mesures descriptives
Valeur extrême : Observation qui diffère significativement des autres valeurs d'un ensemble de données.
Données : 0.8, 0.7, 0.9, 0.8, 0.75, 0.85, 0.92, 0.78, 0.82, 0.77
Ordonnées : 0.70, 0.75, 0.77, 0.78, 0.80, 0.80, 0.82, 0.85, 0.90, 0.92
\(\bar{x} = \frac{8.29}{10} = 0.829\) s
\(\sum(x_i - \bar{x})^2 = (0.70-0.829)^2 + (0.75-0.829)^2 + ... + (0.92-0.829)^2\)
= 0.0166 + 0.0062 + 0.0035 + 0.0024 + 0.0008 + 0.0008 + 0.0001 + 0.0005 + 0.0050 + 0.0083 = 0.0442
\(\sigma = \sqrt{\frac{0.0442}{10}} = 0.066\) s
Plage acceptable : \(\bar{x} \pm 2\sigma = 0.829 \pm 0.132 = [0.697, 0.961]\)
Toutes les valeurs sont dans cette plage
La valeur 0.92 est la plus éloignée de la moyenne
Avec \(\bar{x} \pm 1.5\sigma = 0.829 \pm 0.100 = [0.729, 0.929]\)
Les valeurs 0.70 et 0.92 sortent de cette plage
Les valeurs 0.70 s et 0.92 s pourraient être des valeurs extrêmes
Elles correspondent à des réactions inhabituellement rapides ou lentes
Les valeurs 0.70 s et 0.92 s sont potentiellement extrêmes. Elles sortent de la plage \(\bar{x} \pm 1.5\sigma\).
• Valeurs extrêmes : Généralement \(\bar{x} \pm 2\sigma\) ou \(\bar{x} \pm 1.5\sigma\)
• Identification : Analyser les écarts par rapport à la moyenne
• Interprétation : Chercher des causes possibles aux valeurs extrêmes
Indicateurs statistiques : Mesures qui résument les caractéristiques d'une distribution de données.
Données : 12.1, 12.0, 12.2, 11.9, 12.3, 12.1, 12.0, 11.8, 12.4, 12.2
Ordonnées : 11.8, 11.9, 12.0, 12.0, 12.1, 12.1, 12.2, 12.2, 12.3, 12.4
\(\bar{x} = \frac{121.0}{10} = 12.10\) V
Médiane = \(\frac{12.1 + 12.1}{2} = 12.10\) V
\(\sum(x_i - \bar{x})^2 = (11.8-12.1)^2 + (11.9-12.1)^2 + ... + (12.4-12.1)^2\)
= (-0.3)² + (-0.2)² + (-0.1)² + (-0.1)² + (0.0)² + (0.0)² + (0.1)² + (0.1)² + (0.2)² + (0.3)²
= 0.09 + 0.04 + 0.01 + 0.01 + 0.00 + 0.00 + 0.01 + 0.01 + 0.04 + 0.09 = 0.30
\(\sigma = \sqrt{\frac{0.30}{10}} = \sqrt{0.03} = 0.173\) V
Variance = \(\sigma^2 = 0.03\) V²
Plage = 12.4 - 11.8 = 0.6 V
Les mesures sont centrées autour de 12.1 V
La dispersion est faible (±0.17 V)
Moyenne = 12.10 V, Médiane = 12.10 V, Écart-type = 0.17 V, Variance = 0.03 V², Plage = 0.6 V.
• Indicateurs : Ensemble complet de mesures descriptives
• Précision : Faible écart-type indique bonnes mesures
• Symétrie : Moyenne ≈ Médiane indique distribution symétrique
Précision : Qualité d'une mesure qui exprime la proximité des résultats d'une série de mesures.
Données : 25.1, 24.9, 25.2, 25.0, 24.8, 25.3, 24.7, 25.1, 24.9, 25.0
Ordonnées : 24.7, 24.8, 24.9, 24.9, 25.0, 25.0, 25.1, 25.1, 25.2, 25.3
\(\bar{x} = \frac{250.0}{10} = 25.00\) mL
\(\sum(x_i - \bar{x})^2 = (24.7-25.0)^2 + (24.8-25.0)^2 + ... + (25.3-25.0)^2\)
= (-0.3)² + (-0.2)² + (-0.1)² + (-0.1)² + (0.0)² + (0.0)² + (0.1)² + (0.1)² + (0.2)² + (0.3)²
= 0.09 + 0.04 + 0.01 + 0.01 + 0.00 + 0.00 + 0.01 + 0.01 + 0.04 + 0.09 = 0.30
\(\sigma = \sqrt{\frac{0.30}{10}} = 0.173\) mL
Écart-type = 0.173 mL
Plage = 25.3 - 24.7 = 0.6 mL
Précision = \(\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100\% = \frac{0.173}{25.00} \times 100\% = 0.69\%\)
La précision relative est de 0.69%, ce qui est excellent
Les mesures sont très cohérentes entre elles
Moyenne = 25.00 mL, Écart-type = 0.17 mL, Précision = 0.69%. Excellent niveau de précision.
• Précision relative : \(\frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100\%\) pour comparer la précision
• Évaluation : <1% est excellent, <5% est bon
• Cohérence : Faible écart-type indique cohérence des mesures
Intensité électrique : Quantité de charge électrique traversant une section par unité de temps.
Données : 0.25, 0.27, 0.26, 0.24, 0.28, 0.25, 0.27, 0.26, 0.25, 0.29
Ordonnées : 0.24, 0.25, 0.25, 0.25, 0.26, 0.26, 0.27, 0.27, 0.28, 0.29
\(\bar{x} = \frac{2.62}{10} = 0.262\) A
\(\sum(x_i - \bar{x})^2 = (0.24-0.262)^2 + (0.25-0.262)^2 + ... + (0.29-0.262)^2\)
= (-0.022)² + (-0.012)² + (-0.012)² + (-0.012)² + (-0.002)² + (-0.002)² + (0.008)² + (0.008)² + (0.018)² + (0.028)²
= 0.000484 + 0.000144 + 0.000144 + 0.000144 + 0.000004 + 0.000004 + 0.000064 + 0.000064 + 0.000324 + 0.000784 = 0.00216
\(\sigma = \sqrt{\frac{0.00216}{10}} = \sqrt{0.000216} = 0.0147\) A
Intensité moyenne = 0.262 A
Dispersion = ±0.015 A
Plage = 0.29 - 0.24 = 0.05 A
Les mesures sont relativement stables autour de 0.26 A
La précision est bonne avec un écart-type faible
Moyenne = 0.262 A, Écart-type = 0.015 A. Bonne stabilité des mesures.
• Stabilité : Faible écart-type indique mesures stables
• Unités : Toujours conserver les unités dans les calculs
• Significatif : Conserver le bon nombre de chiffres significatifs
Éclairement : Flux lumineux reçu par unité de surface, mesuré en lux (lx).
Données : 500, 480, 520, 490, 510, 475, 525, 485, 505, 495
Ordonnées : 475, 480, 485, 490, 495, 500, 505, 510, 520, 525
\(\bar{x} = \frac{4985}{10} = 498.5\) lux
\(\sum(x_i - \bar{x})^2 = (475-498.5)^2 + (480-498.5)^2 + ... + (525-498.5)^2\)
= (-23.5)² + (-18.5)² + (-13.5)² + (-8.5)² + (-3.5)² + (1.5)² + (6.5)² + (11.5)² + (21.5)² + (26.5)²
= 552.25 + 342.25 + 182.25 + 72.25 + 12.25 + 2.25 + 42.25 + 132.25 + 462.25 + 706.25 = 2506.5
\(\sigma = \sqrt{\frac{2506.5}{10}} = \sqrt{250.65} = 15.83\) lux
La moyenne est de 498.5 lux
Les valeurs varient entre 475 et 525 lux
La distribution semble symétrique
Plage = 525 - 475 = 50 lux
Écart-type = 15.83 lux
Dispersion modérée par rapport à la moyenne
Les mesures montrent une certaine variabilité mais restent dans une plage raisonnable
L'éclairement moyen est d'environ 500 lux
Moyenne = 498.5 lux, Écart-type = 15.8 lux. Dispersion modérée autour de 500 lux.
• Tendance : Moyenne pour identifier la valeur centrale
• Dispersion : Écart-type pour mesurer la variabilité
• Interprétation : Contextualiser les résultats par rapport à la norme
