Fonction quadratique : \(N(t) = -2t^2 + 24t + 80\) modélise l'évolution des commandes.
- Identifier la nature de la fonction (quadratique avec coefficient négatif)
- Calculer le maximum de la fonction
- Interpréter le résultat dans le contexte commercial
- Analyser la tendance globale
\(N(t) = -2t^2 + 24t + 80\) est une fonction quadratique avec \(a = -2 < 0\)
Elle admet un maximum (parabole orientée vers le bas)
\(N'(t) = -4t + 24\)
\(N'(t) = 0 \Rightarrow -4t + 24 = 0 \Rightarrow t = 6\)
\(N(6) = -2(36) + 24(6) + 80 = -72 + 144 + 80 = 152\)
Pour \(t < 6\) : la fonction est croissante (commandes en hausse)
Pour \(t > 6\) : la fonction est décroissante (commandes en baisse)
Si \(t = 0\) correspond au lundi, alors \(t = 6\) correspond au dimanche
Le dimanche est le jour de maximum des commandes (152 commandes)
\(N(0) = 80\) (lundi)
\(N(7) = -2(49) + 24(7) + 80 = -98 + 168 + 80 = 150\) (dimanche suivant)
Le maximum de commandes (152) est atteint le dimanche (jour 6), avec une tendance à la hausse du lundi au dimanche.
• Optimisation : Maximum trouvé en annulant la dérivée
• Contexte : Interprétation du jour de la semaine
• Validation : Vérification des valeurs aux extrémités
Le coefficient négatif indique une croissance suivie d'une décroissance
Le maximum est atteint au sommet de la parabole
Fonction quadratique : \(P(t) = 250000 + 8000t - 200t^2\) modélise l'évolution du prix immobilier.
\(P(t) = 250000 + 8000t - 200t^2\) avec \(a = -200 < 0\)
La fonction admet un maximum
\(P'(t) = 8000 - 400t\)
\(P'(t) = 0 \Rightarrow 8000 - 400t = 0 \Rightarrow t = 20\)
Le maximum est atteint en 2020 + 20 = 2040
Mais on ne considère que les 10 prochaines années (jusqu'en 2030)
La fonction est croissante sur [0, 10] car \(P'(t) > 0\) pour \(t < 20\)
Donc le prix est maximum en t = 10 (année 2030)
\(P(0) = 250000\)€ (année 2020)
\(P(10) = 250000 + 80000 - 20000 = 310000\)€ (année 2030)
Le prix est minimum en t = 0 (année 2020)
Pour acheter au meilleur moment, il faut acheter en 2020
La meilleure année d'achat est 2020 avec un prix de 250000€, car les prix augmentent jusqu'en 2040.
• Domaine d'étude : Limiter l'analyse à la période concernée
• Monotonie : Fonction croissante sur [0, 10] donc minimum en 0
• Contexte : Interprétation des dates et des prix
Le maximum global est hors de la période d'étude
Sur l'intervalle [0, 10], le prix augmente constamment
Croissance exponentielle : La suite des utilisateurs suit une progression géométrique.
Janvier : 1000 utilisateurs
Février : 1200 utilisateurs
Mars : 1440 utilisateurs
Ratio : 1200/1000 = 1.2 et 1440/1200 = 1.2
Le ratio est constant (1.2), donc la suite est géométrique
Terme général : \(u_n = 1000 \times (1.2)^{n-1}\) où n est le mois
Décembre est le 12e mois, donc \(n = 12\)
\(u_{12} = 1000 \times (1.2)^{11}\)
\((1.2)^{11} \approx 7.43\)
\(u_{12} \approx 1000 \times 7.43 = 7430\) utilisateurs
On cherche n tel que \(u_n \geq 2000\)
\(1000 \times (1.2)^{n-1} \geq 2000\)
\((1.2)^{n-1} \geq 2\)
\(n-1 \geq \log_{1.2}(2) = \frac{\ln(2)}{\ln(1.2)} \approx \frac{0.693}{0.182} \approx 3.8\)
\(n \geq 4.8\), donc au 5e mois (mai)
La croissance est de 20% par mois
Après 11 mois, le nombre d'utilisateurs est multiplié par environ 7.43
En décembre, l'application aura environ 7430 utilisateurs, avec une croissance de 20% mensuelle.
• Suite géométrique : Ratio constant entre termes consécutifs
• Logarithme : Utilisé pour résoudre les équations exponentielles
• Validation : Vérification du modèle sur les premiers termes
La croissance exponentielle conduit à des augmentations rapides
Un taux de 20% par mois se traduit par une multiplication par 1.2
Fonction exponentielle décroissante : \(P(t) = 25000e^{-0.15t}\) modélise la dépréciation.
\(P(5) = 25000e^{-0.15 \times 5} = 25000e^{-0.75}\)
\(e^{-0.75} \approx 0.472\)
\(P(5) \approx 25000 \times 0.472 = 11800\)€
On cherche t tel que \(P(t) < 10000\)
\(25000e^{-0.15t} < 10000\)
\(e^{-0.15t} < \frac{10000}{25000} = 0.4\)
\(-0.15t < \ln(0.4)\)
\(-0.15t < -0.916\)
\(t > \frac{0.916}{0.15} \approx 6.11\)
Après 5 ans, la voiture vaut environ 11800€
Elle vaudra moins de 10000€ après environ 6.11 ans
Le taux de dépréciation est de 15% par an (coefficient -0.15)
La valeur diminue exponentiellement, plus rapidement au début
\(P(0) = 25000e^0 = 25000\)€
La voiture perd 52.8% de sa valeur en 5 ans
Entre l'année 4 et 5 : \(P(4) \approx 13760\)€, \(P(5) \approx 11800\)€
Diminution : 1960€ sur une année
La voiture vaudra environ 11800€ après 5 ans, et sa valeur passera sous 10000€ après environ 6.11 ans.
• Exponentielle : Utilisation des propriétés de la fonction exponentielle
• Logarithme : Résolution d'inéquations exponentielles
• Contexte : Interprétation économique de la dépréciation
La dépréciation exponentielle est plus rapide au début
Le logarithme permet de résoudre les équations exponentielles
Croissance exponentielle : \(P(t) = 50000 \times (1.03)^t\) modélise la croissance démographique.
Population initiale : 50000 habitants
Taux de croissance : 3% par an
\(P(t) = 50000 \times (1.03)^t\) où t est le nombre d'années
On cherche t tel que \(P(t) > 70000\)
\(50000 \times (1.03)^t > 70000\)
\((1.03)^t > \frac{70000}{50000} = 1.4\)
\(t \times \ln(1.03) > \ln(1.4)\)
\(t > \frac{\ln(1.4)}{\ln(1.03)} = \frac{0.336}{0.0296} \approx 11.35\)
\(P(11) = 50000 \times (1.03)^{11} \approx 50000 \times 1.384 = 69200\) habitants
\(P(12) = 50000 \times (1.03)^{12} \approx 50000 \times 1.426 = 71300\) habitants
La population augmente de 3% chaque année
Après 11 ans : 69200 habitants (presque à la limite)
Après 12 ans : 71300 habitants (dépasse la limite)
En 12 ans, la population passe de 50000 à 71300
Taux global : \(\frac{71300-50000}{50000} = 0.426 = 42.6\%\)
Taux annuel moyen : \(\sqrt[12]{1.426} - 1 \approx 0.03 = 3\%\) ✓
La ville dépasse la capacité de 70000 habitants en 12 ans
Les infrastructures devront être agrandies d'ici là
Les infrastructures devront être agrandies dans environ 12 ans, quand la population dépassera 70000 habitants.
• Exponentielle : Modélisation de la croissance à taux constant
• Logarithme : Résolution d'équations exponentielles
• Contexte : Prise de décision basée sur l'analyse quantitative
Une croissance de 3% par an conduit à un doublement en environ 24 ans
Les services publics doivent anticiper les besoins futurs
- Comprendre le problème : Identifier les données et les objectifs
- Extraire les informations : Repérer les grandeurs numériques
- Choisir le modèle : Sélectionner la fonction ou relation appropriée
- Résoudre mathématiquement : Appliquer les techniques de calcul
- Interpréter les résultats : Donner du sens dans le contexte réel
- Les études de cas combinent plusieurs domaines mathématiques
- La modélisation doit être adaptée à la situation réelle
- Les résultats doivent être interprétés dans le contexte du problème
- Les décisions doivent être fondées sur des analyses quantitatives
- La validation des résultats est essentielle
