Études de Cas | Mathématiques 1ère
Introduction
Découvrez comment analyser, modéliser et résoudre des problèmes complexes dans des contextes réels de la vie quotidienne, économique, scientifique et sociale
Définition des études de cas
Qu'est-ce qu'une étude de cas ?
Une étude de cas est une situation complexe et réelle qui nécessite l'application de concepts mathématiques pour être analysée, modélisée et résolue. Elle se caractérise par :
- Un contexte réel : situation issue de la vie quotidienne, économique, scientifique ou sociale
- Des données multiples : informations quantitatives et qualitatives
- Des questions complexes : problèmes à plusieurs niveaux de difficulté
- Des solutions multiples : approches différentes possibles
Méthodologie d'analyse
Démarche d'analyse
2 Identification du contexte : domaine concerné (économique, scientifique, etc.)
3 Repérage des données : informations quantitatives et qualitatives
4 Compréhension des questions : ce qu'il faut déterminer
2 Établissement des relations : équations, fonctions, inégalités
3 Identification des contraintes : limites imposées par le contexte
4 Choix des outils mathématiques : fonctions, graphiques, statistiques
Types d'études de cas
Classification
Exemples :
- Optimisation des profits d'une entreprise
- Étude de la rentabilité d'un investissement
- Modélisation de la demande et de l'offre
- Calcul de taux d'intérêt composés
Exemples :
- Modélisation de la croissance d'une population
- Étude de la décroissance radioactive
- Calcul de trajectoires de projectiles
- Analyse de phénomènes thermiques
Exemples :
- Étude de l'évolution d'une population
- Modélisation de la propagation d'une épidémie
- Calcul des coûts d'un projet communal
- Analyse des flux migratoires
Étude de cas - Entreprise de fabrication
Optimisation de la production
Une entreprise fabrique deux types de produits A et B. Pour produire une unité de A, il faut 2 heures de main-d'œuvre et 1 heure de machine. Pour une unité de B, il faut 1 heure de main-d'œuvre et 3 heures de machine. L'entreprise dispose de 100 heures de main-d'œuvre et 90 heures de machine par semaine. Le bénéfice est de 4 € par unité de A et 5 € par unité de B.
Combien d'unités de chaque produit faut-il produire pour maximiser le profit ?
Variables : x = nombre d'unités de A, y = nombre d'unités de B
Fonction objectif à maximiser : Z = 4x + 5y
Contraintes :
- 2x + y ≤ 100 (main-d'œuvre)
- x + 3y ≤ 90 (machine)
- x ≥ 0, y ≥ 0
On trace les droites des contraintes et on détermine le domaine réalisable. Les sommets du polygone sont :
- (0, 0)
- (0, 30)
- (45, 10)
- (50, 0)
On évalue Z en chaque sommet : Z(45, 10) = 4×45 + 5×10 = 230 € est le maximum.
Étude de cas - Évolution d'une population
Modélisation démographique
Une ville compte 50 000 habitants en 2020. La population augmente de 3 % par an. On souhaite modéliser cette croissance et prédire la population dans 10 ans.
1. Écrire la formule de la population P(t) en fonction de l'année t.
2. Calculer la population en 2030.
3. Combien d'années faut-il pour que la population double ?
La formule de croissance exponentielle est : P(t) = P₀ × (1 + r)^t
Où P₀ = 50 000 (population initiale), r = 0.03 (taux de croissance), t = nombre d'années depuis 2020.
Question 1 : P(t) = 50 000 × (1.03)^t
Question 2 : P(10) = 50 000 × (1.03)^10 = 50 000 × 1.344 = 67 200 habitants
Question 3 : Pour doubler, P(t) = 100 000 = 50 000 × (1.03)^t → (1.03)^t = 2 → t = ln(2)/ln(1.03) ≈ 23.45 ans
Étude de cas - Projet communal
Aménagement d'un espace public
Une commune dispose d'un terrain rectangulaire de 60 m de longueur et 40 m de largeur. Elle souhaite aménager un parking rectangulaire en bordure du terrain, laissant une bande de pelouse de largeur constante x autour du parking. La surface du parking doit être au moins égale à 1200 m².
1. Exprimer la surface du parking en fonction de x.
2. Déterminer les valeurs possibles de x.
3. Quelle est la largeur de la bande de pelouse maximale possible ?
Dimensions du parking : (60 - 2x) × (40 - 2x)
Surface du parking : S(x) = (60 - 2x)(40 - 2x) = 2400 - 200x + 4x²
Question 1 : S(x) = 4x² - 200x + 2400
Question 2 : On impose S(x) ≥ 1200, donc : 4x² - 200x + 2400 ≥ 1200
4x² - 200x + 1200 ≥ 0 → x² - 50x + 300 ≥ 0
Δ = 2500 - 1200 = 1300 → x₁ ≈ 7.8, x₂ ≈ 42.2
Donc x ∈ [0, 7.8] ∪ [42.2, +∞), mais x ≤ 20 (car 2x ≤ 40), donc x ∈ [0, 7.8]
Question 3 : La largeur maximale de la bande est de 7.8 mètres.
Techniques de résolution
Approches de résolution
- Résolution d'équations : pour trouver des valeurs exactes
- Étude de fonctions : pour analyser les variations
- Calcul de dérivées : pour optimiser
- Calcul d'intégrales : pour des grandeurs totales
- Représentation de fonctions : pour observer les tendances
- Intersection de courbes : pour résoudre des systèmes
- Domaine réalisable : pour les problèmes d'optimisation
- Diagrammes : pour représenter des données
- Tableaux de valeurs : pour étudier les variations
- Calculatrice : pour des résultats précis
- Algorithmes : pour des solutions itératives
- Simulations : pour modéliser des phénomènes complexes
Exercice d'application
Problème complet
Une entreprise de location de voitures propose deux formules :
- Formule A : 25 € par jour + 0.20 € par km
- Formule B : 40 € par jour + 0.10 € par km
1. Pour quelle distance journalière les deux formules coûtent-elles le même prix ?
2. À partir de quelle distance journalière la formule B devient-elle plus avantageuse ?
3. Si un client prévoit de parcourir 150 km par jour pendant 5 jours, quelle formule est la plus économique ?
Solution de l'exercice
Correction détaillée
Soit x la distance journalière en km.
Formule A : 25 + 0.20x
Formule B : 40 + 0.10x
On résout : 25 + 0.20x = 40 + 0.10x
0.10x = 15 → x = 150 km
Les deux formules coûtent le même prix pour 150 km parcourus par jour.
Formule B est plus avantageuse quand : 40 + 0.10x < 25 + 0.20x
15 < 0.10x → x > 150 km
À partir de 150 km parcourus par jour, la formule B devient plus avantageuse.
Pour 150 km/jour pendant 5 jours : 750 km au total
Formule A : 5×25 + 0.20×750 = 125 + 150 = 275 €
Formule B : 5×40 + 0.10×750 = 200 + 75 = 275 €
Pour 750 km sur 5 jours, les deux formules coûtent 275 €.
Étude de cas - Épidémie
Modélisation d'une épidémie
Une épidémie se propage dans une population de 1000 personnes. Le nombre de personnes infectées N(t) évolue selon la fonction : N(t) = 1000 / (1 + 999e^(-0.5t))
Où t est le temps en jours depuis le début de l'épidémie.
1. Combien de personnes sont infectées au début de l'épidémie ?
2. Combien de personnes seront infectées après 10 jours ?
3. Vers quelle valeur tend N(t) quand t tend vers l'infini ?
Question 1 : N(0) = 1000 / (1 + 999e^0) = 1000 / (1 + 999) = 1000 / 1000 = 1 personne
Question 2 : N(10) = 1000 / (1 + 999e^(-5)) = 1000 / (1 + 999×0.0067) = 1000 / (1 + 6.69) ≈ 130 personnes
Question 3 : Quand t → +∞, e^(-0.5t) → 0, donc N(t) → 1000 / (1 + 0) = 1000 personnes
La population entière finira par être infectée.
Exercices supplémentaires
Pratiquez davantage
Un collège propose deux tarifs pour les sorties scolaires : Tarif A : 15 € par élève + 200 € fixes, Tarif B : 20 € par élève. À partir de combien d'élèves le tarif A devient-il plus avantageux ?
La hauteur d'un arbre croît selon la fonction h(t) = 2 + 0.8t, où t est le temps en années et h(t) en mètres. Combien d'années faut-il pour que l'arbre atteigne 10 mètres ?
Un magasin fait une promotion : 20 % de réduction sur les articles de plus de 50 €. Un client achète un article de 75 €. Quel est le prix après réduction ?
Solutions des exercices
Corrections détaillées
Soit n le nombre d'élèves.
Tarif A : 200 + 15n
Tarif B : 20n
On cherche n tel que : 200 + 15n < 20n
200 < 5n → n > 40
À partir de 41 élèves, le tarif A est plus avantageux.
On résout : h(t) = 10
2 + 0.8t = 10 → 0.8t = 8 → t = 10 ans
Il faut 10 ans pour que l'arbre atteigne 10 mètres.
Prix initial : 75 €
Réduction : 20 % de 75 € = 0.20 × 75 = 15 €
Prix final : 75 - 15 = 60 €
Le prix après réduction est de 60 €.
Résumé
Points clés
- Comprendre le contexte de l'étude de cas
- Identifier les données et les questions posées
- Modéliser mathématiquement la situation
- Choisir les outils mathématiques appropriés
- Résoudre le problème en utilisant les techniques adaptées
- Interpréter les résultats dans le contexte initial
- Capacité d'analyse et de synthèse
- Modélisation mathématique
- Raisonnement logique
- Calcul et manipulation algébrique
- Interprétation des résultats
- Économie et gestion
- Sciences physiques et biologiques
- Sciences sociales
- Environnement et développement durable
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences