Optimisation et Contraintes | Mathématiques 1ère
Introduction
Découvrez comment maximiser ou minimiser une fonction objectif tout en respectant des contraintes dans des situations réelles de la vie quotidienne, économique et scientifique
Définition de l'optimisation
Qu'est-ce que l'optimisation ?
L'optimisation est une branche des mathématiques qui consiste à trouver la meilleure solution possible à un problème, en maximisant ou minimisant une fonction appelée fonction objectif tout en respectant certaines contraintes.
Les principaux objectifs sont :
- Maximiser une quantité (profit, rendement, efficacité)
- Minimiser une quantité (coût, temps, ressources)
Types de contraintes
Classification
2 Contraintes d'inégalité : ax + by ≤ c ou ax + by ≥ c
3 Contraintes de positivité : x ≥ 0, y ≥ 0
4 Contraintes de bornes : a ≤ x ≤ b
2 Contraintes polynomiales : ax² + bx + c ≤ 0
3 Contraintes exponentielles/logarithmiques : e^x ≤ y
Méthodologie de résolution
Démarche de résolution
Identifiez les éléments clés :
- Quantité à optimiser (fonction objectif)
- Variables du problème
- Contraintes imposées
- Objectif (maximisation ou minimisation)
Exprimez le problème en termes mathématiques :
- Écrivez la fonction objectif
- Formulez toutes les contraintes
- Spécifiez les conditions de positivité si nécessaire
Choisissez la méthode adaptée :
- Méthode graphique (pour 2 variables)
- Méthode du simplexe (pour plus de variables)
- Utilisation de logiciels spécialisés
Méthode graphique
Résolution graphique
La méthode graphique s'applique aux problèmes à 2 variables :
- Tracer le domaine réalisable (intersection des contraintes)
- Identifier les sommets du polygone de contraintes
- Évaluer la fonction objectif en chaque sommet
- Choisir le sommet qui optimise la fonction objectif
Soit le système de contraintes :
- x + y ≤ 10
- 2x + y ≤ 16
- x ≥ 0, y ≥ 0
Le domaine réalisable est le polygone délimité par ces contraintes.
Exemple concret - Production optimale
Maximisation du profit
Une usine produit deux types de meubles A et B. Le profit est de 30 € par unité de A et 50 € par unité de B. La production est soumise aux contraintes suivantes :
- Disponibilité de bois : 2x + 3y ≤ 120
- Temps de fabrication : x + 2y ≤ 70
- Capacité de stockage : x + y ≤ 50
- Contraintes de positivité : x ≥ 0, y ≥ 0
Quelles quantités de A et B faut-il produire pour maximiser le profit ?
Fonction objectif à maximiser : Z = 30x + 50y
Sous les contraintes :
- 2x + 3y ≤ 120
- x + 2y ≤ 70
- x + y ≤ 50
- x ≥ 0, y ≥ 0
En résolvant graphiquement, on trouve le maximum en un sommet du polygone de contraintes.
Minimisation de coûts
Optimisation des ressources
Un nutritionniste doit composer un menu qui fournit au moins 12 unités de protéines et 9 unités de glucides. Deux aliments A et B sont disponibles :
- A : 2 unités de protéines, 3 unités de glucides, coût = 4 €
- B : 4 unités de protéines, 1 unité de glucides, coût = 3 €
Combien d'unités de chaque aliment faut-il utiliser pour minimiser le coût tout en respectant les besoins nutritionnels ?
Fonction objectif à minimiser : Z = 4x + 3y
Sous les contraintes :
- 2x + 4y ≥ 12 (protéines)
- 3x + y ≥ 9 (glucides)
- x ≥ 0, y ≥ 0
La solution optimale est x = 2.4, y = 1.8, pour un coût minimal de 15 €.
Problèmes de transport
Optimisation logistique
Les problèmes de transport consistent à transporter des marchandises de plusieurs sources vers plusieurs destinations en minimisant le coût total de transport.
Les contraintes sont :
- Quantité disponible à chaque source
- Quantité demandée à chaque destination
- Coût de transport unitaire entre chaque paire source-destination
Soit 2 usines (U1, U2) avec capacités de production de 100 et 150 unités, et 2 magasins (M1, M2) avec demandes de 80 et 120 unités. Les coûts de transport unitaires sont :
- U1→M1 : 5 €
- U1→M2 : 3 €
- U2→M1 : 4 €
- U2→M2 : 6 €
Comment organiser les transports pour minimiser le coût total ?
Exercice d'application
Problème complet
Une entreprise fabrique deux produits P1 et P2. Pour produire une unité de P1, il faut 2 heures de main-d'œuvre et 1 heure de machine. Pour une unité de P2, il faut 1 heure de main-d'œuvre et 3 heures de machine. L'entreprise dispose de 100 heures de main-d'œuvre et 90 heures de machine par semaine. Le bénéfice est de 4 € par unité de P1 et 5 € par unité de P2.
1. Formuler le problème d'optimisation.
2. Résoudre graphiquement le problème.
3. Quelle est la production optimale ?
Solution de l'exercice
Correction détaillée
Soit x = nombre d'unités de P1 et y = nombre d'unités de P2
Fonction objectif à maximiser : Z = 4x + 5y
Sous les contraintes :
- 2x + y ≤ 100 (main-d'œuvre)
- x + 3y ≤ 90 (machine)
- x ≥ 0, y ≥ 0
Les intersections des contraintes donnent les sommets du polygone :
- (0, 0)
- (0, 30) : intersection de x + 3y = 90 avec axe y
- (45, 10) : intersection de 2x + y = 100 et x + 3y = 90
- (50, 0) : intersection de 2x + y = 100 avec axe x
Calcul de Z = 4x + 5y pour chaque sommet :
- Z(0, 0) = 0
- Z(0, 30) = 150
- Z(45, 10) = 4×45 + 5×10 = 180 + 50 = 230
- Z(50, 0) = 200
La solution optimale est x = 45, y = 10, avec un bénéfice maximal de 230 €.
Optimisation en économie
Applications économiques
En économie, l'optimisation est utilisée pour :
- Maximiser le profit d'une entreprise
- Minimiser les coûts de production
- Optimiser la distribution des ressources
- Planifier les investissements
- Optimiser les portefeuilles d'investissement
Un investisseur dispose de 10000 € à répartir entre deux placements A et B. Le placement A rapporte 5% et le placement B rapporte 8%. La contrainte est que le montant investi en A doit être au moins deux fois plus important que celui en B. Comment répartir les fonds pour maximiser le rendement ?
Solution : x + y = 10000, x ≥ 2y, x ≥ 0, y ≥ 0. Maximiser 0.05x + 0.08y.
Exercices supplémentaires
Pratiquez davantage
Une entreprise produit deux types de produits. Pour le produit X, il faut 3 heures de travail et 2 unités de matière première. Pour le produit Y, il faut 2 heures de travail et 4 unités de matière première. L'entreprise dispose de 60 heures de travail et 80 unités de matière première. Le profit est de 5 € pour X et 4 € pour Y. Combien produire de chaque produit pour maximiser le profit ?
Un animal doit recevoir au moins 10 unités de nutriment A et 8 unités de nutriment B. L'aliment 1 fournit 2 unités de A et 1 unité de B pour un coût de 3 €. L'aliment 2 fournit 1 unité de A et 2 unités de B pour un coût de 2 €. Quelle combinaison minimisera le coût ?
Un distributeur doit livrer 200 unités à un magasin A et 150 unités à un magasin B. Il dispose de deux entrepôts avec 180 et 170 unités disponibles. Les coûts de transport sont : Entrepôt 1 → Magasin A : 2 €, E1 → MB : 4 €, E2 → MA : 3 €, E2 → MB : 1 €. Minimiser le coût total de transport.
Solutions des exercices
Corrections détaillées
Fonction objectif : Z = 5x + 4y
Sous les contraintes : 3x + 2y ≤ 60, 2x + 4y ≤ 80, x ≥ 0, y ≥ 0
Solution : x = 10, y = 15, profit maximal = 110 €
Fonction objectif : Z = 3x + 2y à minimiser
Sous les contraintes : 2x + y ≥ 10, x + 2y ≥ 8, x ≥ 0, y ≥ 0
Solution : x = 4, y = 2, coût minimal = 16 €
Résumé
Points clés
- Identifier la fonction objectif à optimiser
- Reconnaître et formuler toutes les contraintes
- Choisir la méthode de résolution appropriée
- Appliquer la méthode (graphique, algébrique, etc.)
- Interpréter la solution dans le contexte du problème
- Maximisation de profit
- Minimisation de coûts
- Optimisation de ressources
- Problèmes de transport
- Allocation de budget
- Faire attention aux contraintes de positivité
- Vérifier que la solution est réalisable
- Interpréter les résultats dans le contexte économique
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences