Énoncé : "Résoudre l'équation 3x - 7 = 2x + 5 et rédiger la solution de manière rigoureuse."
- Énoncer l'équation à résoudre
- Appliquer les transformations autorisées
- Justifier chaque étape
- Donner la solution finale
- Vérifier la solution
"Résolvons l'équation 3x - 7 = 2x + 5"
3x - 7 = 2x + 5
3x - 2x = 5 + 7 (ajout de 7 et soustraction de 2x des deux côtés)
x = 12
Remplaçons x = 12 dans l'équation originale :
3(12) - 7 = 36 - 7 = 29
2(12) + 5 = 24 + 5 = 29
Donc 3x - 7 = 2x + 5 est vérifiée pour x = 12
L'ensemble des solutions de l'équation 3x - 7 = 2x + 5 est S = {12}. Cette solution a été obtenue par isolation de l'inconnue et validée par substitution.
• Équivalence : Toute opération sur une équation doit être faite des deux côtés
• Isolation : Rassembler les termes en x d'un côté, les constantes de l'autre
• Vérification : Toujours substituer la solution dans l'équation originale
Énoncé : "Soit ABC un triangle rectangle en A. Démontrer que BC² = AB² + AC² de manière rigoureuse."
"Soit ABC un triangle rectangle en A."
Les hypothèses sont : ABC est un triangle et l'angle en A est droit.
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés adjacents à l'angle droit.
Ici, [BC] est l'hypoténuse, [AB] et [AC] sont les côtés adjacents à l'angle droit en A.
BC² = AB² + AC²
Cette égalité exprime exactement le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en A.
Dans le triangle ABC rectangle en A, on a BC² = AB² + AC² d'après le théorème de Pythagore. Cette relation est démontrée en identifiant les côtés de l'angle droit et l'hypoténuse.
• Identification : Repérer correctement l'hypoténuse et les côtés adjacents
• Théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse = somme des carrés des côtés adjacents
• Clarté : Nommer les points et les segments de manière explicite
Énoncé : "Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x² - 4x + 3. Étudier les variations de f de manière rigoureuse."
"Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x² - 4x + 3."
f est une fonction polynôme du second degré, donc continue et dérivable sur ℝ.
"Calculons la dérivée de f :"
f'(x) = 2x - 4
Car la dérivée de x² est 2x, celle de -4x est -4, et celle de 3 est 0.
"Étudions le signe de f'(x) = 2x - 4 :"
f'(x) = 0 ↔ 2x - 4 = 0 ↔ x = 2
f'(x) < 0 ↔ 2x - 4 < 0 ↔ x < 2
f'(x) > 0 ↔ 2x - 4 > 0 ↔ x > 2
"On en déduit que f est :"
- strictement décroissante sur ]-∞, 2]
- strictement croissante sur [2, +∞[
La fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle ]-∞, 2] et strictement croissante sur l'intervalle [2, +∞[. Ces variations sont établies en étudiant le signe de la dérivée f'(x) = 2x - 4.
• Dérivation : f'(x) > 0 ⇒ f croissante, f'(x) < 0 ⇒ f décroissante
• Signe de la dérivée : Détermine le sens de variation
• Continuité : f est continue en x = 2 donc on inclut ce point dans les intervalles
Énoncé : "Soit (un) la suite définie par u₀ = 1 et un+1 = 2un + 1. Démontrer par récurrence que un = 2^(n+1) - 1 pour tout n ∈ ℕ."
"Pour n = 0, montrons que la formule est vraie :"
u₀ = 1 (donné) et 2^(0+1) - 1 = 2¹ - 1 = 2 - 1 = 1
Donc la formule est vraie pour n = 0.
"Supposons que pour un certain entier naturel n, on ait :"
un = 2^(n+1) - 1
Cette hypothèse est notre hypothèse de récurrence.
"Montrons que la formule est encore vraie pour n+1, c'est-à-dire que :"
un+1 = 2^((n+1)+1) - 1 = 2^(n+2) - 1
Or, d'après la relation de récurrence : un+1 = 2un + 1
En utilisant l'hypothèse de récurrence : un+1 = 2(2^(n+1) - 1) + 1
un+1 = 2×2^(n+1) - 2 + 1 = 2^(n+2) - 1
"La formule est vraie pour n = 0, et si elle est vraie pour un entier n, elle est vraie pour n+1."
"Donc, par le principe de récurrence, la formule est vraie pour tout entier naturel n."
Pour tout entier naturel n, un = 2^(n+1) - 1. Cette propriété a été démontrée par récurrence en vérifiant l'initialisation et en établissant l'hérédité.
• Récurrence : Méthode de démonstration pour les propriétés dépendant d'un entier
• Initialisation : Vérifier la propriété pour le cas de base
• Hérédité : Montrer que si la propriété est vraie pour n, elle l'est pour n+1
Énoncé : "On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Calculer la probabilité de tirer un roi de cœur de manière rigoureuse."
"Considérons l'expérience aléatoire consistant à tirer une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes."
L'univers Ω est constitué des 32 cartes du jeu : Ω = {as de pique, 2 de pique, ..., roi de trèfle}.
"Soit A l'événement 'tirer un roi de cœur'."
A = {roi de cœur}
"On suppose que le tirage est équiprobable (chaque carte a la même probabilité d'être tirée)."
Alors, P(A) = Nombre de cas favorables / Nombre de cas possibles
Nombre de cas favorables = 1 (il y a un seul roi de cœur)
Nombre de cas possibles = 32 (nombre total de cartes)
"Donc P(A) = 1/32"
La probabilité de tirer un roi de cœur est donc 1/32."
La probabilité de tirer un roi de cœur dans un jeu de 32 cartes est de 1/32. Cette probabilité a été calculée en utilisant la formule classique des probabilités dans un univers équiprobable.
• Probabilité classique : P = Cas favorables / Cas possibles
• Équiprobabilité : Toutes les issues ont la même probabilité
• Définition : Préciser clairement l'univers et l'événement considéré
- Introduction : Énoncer les hypothèses et l'objectif
- Préparation : Définir les objets mathématiques utilisés
- Développement : Enchaîner les arguments logiquement
- Justifications : Citer les propriétés, théorèmes ou définitions utilisés
- Conclusion : Donner la réponse finale de manière claire
- Vérification : Confirmer que la réponse répond à la question
- Ne jamais affirmer un résultat sans justification
- Respecter la logique mathématique et les implications
- Utiliser un vocabulaire précis et adapté
- Structurer le raisonnement en étapes claires et numérotées
