Énoncé : "Résoudre l'équation 2x + 5 = 13 et justifier la solution."
- Résoudre l'équation étape par étape
- Expliquer chaque transformation
- Vérifier la solution obtenue
2x + 5 = 13
2x = 13 - 5 (soustraction de 5 des deux côtés)
2x = 8
x = 8/2 = 4 (division par 2 des deux côtés)
Remplacer x = 4 dans l'équation initiale :
2(4) + 5 = 8 + 5 = 13 ✓
La solution x = 4 vérifie l'équation 2x + 5 = 13
La solution de l'équation est x = 4, ce qui est justifié par la vérification : 2(4) + 5 = 13.
• Équivalence : Toute opération sur une équation doit être faite des deux côtés
• Vérification : Toujours substituer la solution dans l'équation originale
• Clarté : Justifier chaque étape du raisonnement
Énoncé : "Soit ABC un triangle rectangle en A tel que AB = 3 et AC = 4. Démontrer que BC = 5."
ABC est un triangle rectangle en A
AB = 3 et AC = 4 (données)
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés adjacents
BC² = AB² + AC²
BC² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25
BC = √25 = 5
Dans le triangle ABC rectangle en A, BC = 5 car BC² = AB² + AC² = 3² + 4² = 25, donc BC = √25 = 5.
• Théorème de Pythagore : Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse = somme des carrés des côtés adjacents
• Identification : Repérer correctement l'hypoténuse et les côtés adjacents
• Démonstration : Utiliser les propriétés connues pour établir la preuve
Énoncé : "Justifier que la fonction f(x) = x² - 4x + 3 est décroissante sur ]-∞, 2] et croissante sur [2, +∞[."
f(x) = x² - 4x + 3
f'(x) = 2x - 4
f'(x) = 0 ↔ 2x - 4 = 0 ↔ x = 2
f'(x) < 0 ↔ 2x - 4 < 0 ↔ x < 2
f'(x) > 0 ↔ 2x - 4 > 0 ↔ x > 2
Si f'(x) < 0 sur un intervalle, alors f est décroissante
Si f'(x) > 0 sur un intervalle, alors f est croissante
Donc f est décroissante sur ]-∞, 2] et croissante sur [2, +∞[
La fonction f est décroissante sur ]-∞, 2] et croissante sur [2, +∞[ car sa dérivée f'(x) = 2x - 4 est négative sur le premier intervalle et positive sur le second.
• Dérivation : f'(x) > 0 ⇒ f croissante, f'(x) < 0 ⇒ f décroissante
• Signe de la dérivée : Détermine le sens de variation
• Continuité : f est continue en x = 2 donc on inclut ce point dans les intervalles
Énoncé : "Soit (un) définie par u₀ = 1 et un+1 = 2un + 1. Démontrer que un = 2^(n+1) - 1 pour tout n ∈ ℕ."
Pour n = 0 : u₀ = 1 et 2^(0+1) - 1 = 2¹ - 1 = 2 - 1 = 1
Donc la formule est vraie pour n = 0
Supposons que la formule est vraie pour un certain n, c'est-à-dire : un = 2^(n+1) - 1
un+1 = 2un + 1 (relation de récurrence)
un+1 = 2(2^(n+1) - 1) + 1 (par hypothèse de récurrence)
un+1 = 2×2^(n+1) - 2 + 1 = 2^(n+2) - 1
Par récurrence, la formule est vraie pour tout n ∈ ℕ
Pour tout n ∈ ℕ, un = 2^(n+1) - 1, ce qui est démontré par récurrence en utilisant la relation de récurrence un+1 = 2un + 1.
• Récurrence : Méthode de démonstration pour les propriétés dépendant d'un entier
• Initialisation : Vérifier la propriété pour le cas de base
• Hérédité : Montrer que si la propriété est vraie pour n, elle l'est pour n+1
Énoncé : "On lance deux dés équilibrés. Justifier que la probabilité d'obtenir une somme de 7 est 1/6."
Chaque dé peut donner 1, 2, 3, 4, 5 ou 6
Nombre total d'issues possibles : 6×6 = 36
Toutes les issues sont équiprobables
Les couples qui donnent une somme de 7 :
(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)
Soit 6 couples favorables
P(somme = 7) = Nombre de cas favorables / Nombre de cas possibles
P(somme = 7) = 6/36 = 1/6
La probabilité d'obtenir une somme de 7 en lançant deux dés est de 1/6 car il y a 6 cas favorables sur 36 cas possibles.
• Probabilité classique : P = Cas favorables / Cas possibles
• Équiprobabilité : Toutes les issues ont la même probabilité
• Énumération : Lister tous les cas possibles pour compter précisément
- Calcul algébrique : Montrer chaque étape de transformation
- Démonstration directe : Utiliser des propriétés connues
- Raisonnement par récurrence : Pour les propriétés sur ℕ
- Preuve par contraposée : Si A⇒B, alors non B⇒non A
- Preuve par l'absurde : Supposer le contraire et arriver à une contradiction
- Ne jamais affirmer un résultat sans justification
- Utiliser uniquement des propriétés vues dans le cours
- Respecter les conditions d'application des théorèmes
- Communiquer le raisonnement de manière claire et structurée
