Énoncé : "Résoudre l'équation x² - 5x + 6 = 0."
Équation du second degré → Utilisation du discriminant Δ = b² - 4ac
Équation de la forme ax² + bx + c = 0
avec a = 1, b = -5, c = 6
Δ = b² - 4ac = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1
Δ > 0 ⇒ 2 solutions réelles distinctes
x = (-b ± √Δ)/(2a) = (5 ± 1)/2
x₁ = (5-1)/2 = 2 et x₂ = (5+1)/2 = 3
Les solutions de l'équation sont x₁ = 2 et x₂ = 3.
• Discriminant : Δ = b² - 4ac détermine le nombre de solutions
• Formule : x = (-b ± √Δ)/(2a)
• Interprétation : Δ > 0 → 2 solutions, Δ = 0 → 1 solution, Δ < 0 → pas de solution
Énoncé : "Déterminer l'équation de la droite passant par A(2, 3) et B(5, 7)."
Problème de géométrie analytique
On connaît deux points de la droite
m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) = (7 - 3)/(5 - 2) = 4/3
Utilisation d'un point (par exemple A(2,3)) dans y = mx + p
3 = (4/3)×2 + p → 3 = 8/3 + p → p = 3 - 8/3 = 1/3
L'équation de la droite est y = (4/3)x + 1/3.
• Forme réduite : y = mx + p où m est la pente
• Pente : m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
• Point appartenant : Les coordonnées doivent vérifier l'équation
Énoncé : "Étudier les variations de f(x) = x² - 4x + 3."
Fonction polynôme du second degré
Étude des variations → calcul de la dérivée
f(x) = x² - 4x + 3
f'(x) = 2x - 4
f'(x) = 0 ↔ 2x - 4 = 0 ↔ x = 2
f'(x) < 0 pour x < 2 (fonction décroissante)
f'(x) > 0 pour x > 2 (fonction croissante)
La fonction f est décroissante sur ]-∞, 2] et croissante sur [2, +∞[.
• Dérivation : f'(x) > 0 → f croissante, f'(x) < 0 → f décroissante
• Polynôme : Dérivée d'un trinôme du second degré est affine
• Extremum : Changement de variation en x = 2
Énoncé : "La suite (un) est définie par u₀ = 1 et un+1 = 2un + 3. Trouver une formule explicite pour un."
Suite récurrente linéaire d'ordre 1
Forme : un+1 = aun + b avec a = 2 et b = 3
Équation : l = 2l + 3
Résolution : l - 2l = 3 → -l = 3 → l = -3
Soit vn = un - (-3) = un + 3
vn+1 = un+1 + 3 = 2un + 3 + 3 = 2un + 6 = 2(un + 3) = 2vn
Donc (vn) est géométrique de raison 2
v₀ = u₀ + 3 = 1 + 3 = 4
vn = 4×2ⁿ
Donc un = vn - 3 = 4×2ⁿ - 3
La formule explicite de la suite est un = 4×2ⁿ - 3.
• Suite arithmético-géométrique : Forme un+1 = aun + b
• Point fixe : Solution de l = al + b
• Transformation : Convertir en suite géométrique
Énoncé : "Dans une classe de 30 élèves, 18 sont des filles. On sélectionne 3 élèves au hasard. Quelle est la probabilité que tous soient des filles ?"
Problème de probabilité combinatoire
On tire simultanément 3 élèves parmi 30
Nombre total de façons de choisir 3 élèves parmi 30 :
C(30,3) = 30!/(3!×27!) = (30×29×28)/(3×2×1) = 4060
Nombre de façons de choisir 3 filles parmi 18 :
C(18,3) = 18!/(3!×15!) = (18×17×16)/(3×2×1) = 816
P = Cas favorables / Cas totaux = 816/4060 = 204/1015
La probabilité que les 3 élèves sélectionnés soient des filles est de 204/1015 ≈ 0.201.
• Combinaisons : C(n,p) = n!/(p!(n-p)!) pour choisir p éléments parmi n
• Probabilité : P = Cas favorables / Cas possibles
• Équiprobabilité : Chaque combinaison a la même probabilité
- Type de problème : Algébrique, géométrique, fonctionnel, etc.
- Données disponibles : Quelles informations sont fournies ?
- Objectif : Que faut-il déterminer ?
- Complexité : Quelle méthode minimise les calculs ?
- Fiabilité : Quelle méthode est la plus sûre ?
- Une bonne méthode doit être applicable aux données du problème
- La méthode doit permettre d'atteindre l'objectif demandé
- Il est parfois possible d'utiliser plusieurs méthodes pour vérifier
- Le choix de la méthode dépend de l'expérience et de la connaissance des techniques
