Énoncé : "Soit f la fonction définie sur ℝ par f(x) = x² - 4x + 3. Étudier les variations de f, déterminer son minimum et résoudre f(x) = 0."
- Calculer la dérivée
- Étudier le signe de la dérivée
- Déterminer les variations
- Chercher les racines
f(x) = x² - 4x + 3
f'(x) = 2x - 4
La dérivée est une fonction affine.
f'(x) = 0 ↔ 2x - 4 = 0 ↔ x = 2
f'(x) < 0 ↔ 2x - 4 < 0 ↔ x < 2
f'(x) > 0 ↔ 2x - 4 > 0 ↔ x > 2
Sur ]-∞, 2[, f'(x) < 0 donc f est strictement décroissante
Sur [2, +∞[, f'(x) > 0 donc f est strictement croissante
f admet un minimum en x = 2, valeur f(2) = 4 - 8 + 3 = -1
x² - 4x + 3 = 0
Calcul du discriminant : Δ = (-4)² - 4(1)(3) = 16 - 12 = 4
Δ > 0 donc deux solutions : x₁ = (4 - √4)/2 = 1 et x₂ = (4 + √4)/2 = 3
La fonction f est strictement décroissante sur ]-∞, 2] et strictement croissante sur [2, +∞[. Elle admet un minimum égal à -1 en x = 2. Les solutions de f(x) = 0 sont x = 1 et x = 3.
• Dérivation : f'(x) > 0 ⇒ f croissante, f'(x) < 0 ⇒ f décroissante
• Équation du second degré : Utilisation du discriminant Δ = b² - 4ac
• Variations : Signe de la dérivée détermine le sens de variation
Énoncé : "Soit (un) la suite arithmétique de premier terme u₀ = 5 et de raison r = 3. Soit (vn) la suite géométrique de premier terme v₀ = 2 et de raison q = 2. Calculer u₁₀ et v₅."
Pour une suite arithmétique de premier terme u₀ et de raison r :
un = u₀ + nr
Donc u₁₀ = u₀ + 10r = 5 + 10×3 = 5 + 30 = 35
Pour une suite géométrique de premier terme v₀ et de raison q :
vn = v₀ × qⁿ
Donc v₅ = v₀ × q⁵ = 2 × 2⁵ = 2 × 32 = 64
Pour (un) : u₀ = 5, u₁ = 8, u₂ = 11, ..., u₁₀ = 35
Pour (vn) : v₀ = 2, v₁ = 4, v₂ = 8, v₃ = 16, v₄ = 32, v₅ = 64
Le 10ème terme de la suite arithmétique est u₁₀ = 35 et le 5ème terme de la suite géométrique est v₅ = 64.
• Suite arithmétique : un = u₀ + nr où r est la raison
• Suite géométrique : vn = v₀ × qⁿ où q est la raison
• Calcul : Substituer les valeurs dans les formules appropriées
Énoncé : "Dans un repère orthonormé, on donne A(2, 1) et B(5, 4). Déterminer l'équation de la droite (AB) et la distance AB."
La pente de la droite (AB) est : m = (yB - yA)/(xB - xA)
m = (4 - 1)/(5 - 2) = 3/3 = 1
L'équation d'une droite passant par A(xA, yA) de pente m est :
y - yA = m(x - xA)
y - 1 = 1(x - 2)
y = x - 2 + 1 = x - 1
La distance entre deux points A(xA, yA) et B(xB, yB) est :
AB = √[(xB - xA)² + (yB - yA)²]
AB = √[(5 - 2)² + (4 - 1)²] = √[3² + 3²] = √[9 + 9] = √18 = 3√2
L'équation de la droite (AB) est y = x - 1 et la distance AB est égale à 3√2.
• Pente : m = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
• Équation droite : y - y₁ = m(x - x₁)
• Distance : AB = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]
Énoncé : "Dans une classe de 30 élèves, 18 sont des filles. Parmi les filles, 12 ont les yeux bleus. On choisit un élève au hasard. Quelle est la probabilité qu'il ait les yeux bleus sachant que c'est une fille ?"
Soit F l'événement "être une fille"
Soit B l'événement "avoir les yeux bleus"
On cherche P(B|F) = probabilité de B sachant F
P(B|F) = P(B ∩ F) / P(F)
Ou plus simplement : P(B|F) = (Nombre de filles avec yeux bleus) / (Nombre de filles)
Nombre de filles avec yeux bleus = 12
Nombre total de filles = 18
P(B|F) = 12/18 = 2/3
Sachant que l'élève choisi est une fille, la probabilité qu'elle ait les yeux bleus est de 2/3.
La probabilité qu'un élève choisi au hasard ait les yeux bleus sachant que c'est une fille est de 2/3.
• Probabilité conditionnelle : P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
• Calcul : Quotient des effectifs dans l'univers conditionné
• Interprétation : La condition réduit l'univers de référence
Énoncé : "Écrire un algorithme qui détermine si un élément x appartient à un tableau T de n éléments. Donner sa complexité."
Fonction recherche(T, x, n):
Pour i de 0 à n-1:
Si T[i] = x:
Retourner vrai
Retourner faux
Dans le pire des cas, on parcourt tout le tableau : n comparaisons
Dans le meilleur des cas, l'élément est en première position : 1 comparaison
En moyenne, on effectue n/2 comparaisons
La complexité temporelle est O(n) dans le pire des cas
La complexité spatiale est O(1) - espace constant
Si le tableau est trié, on peut utiliser la recherche dichotomique : O(log n)
L'algorithme de recherche linéaire a une complexité temporelle de O(n) dans le pire des cas. Si le tableau est trié, la recherche dichotomique permet d'atteindre O(log n).
• Complexité : Mesure du nombre d'opérations en fonction de la taille des données
• Notation O : Donne un majorant asymptotique du temps d'exécution
• Optimisation : L'utilisation de structures de données appropriées améliore la performance
- Étude de fonctions : Dérivation, variations, équations, inéquations
- Suites numériques : Arithmétiques, géométriques, récurrentes, convergence
- Géométrie analytique : Coordonnées, vecteurs, équations de droites/cercles
- Probabilités : Conditionnelles, loi binomiale, échantillonnage
- Algorithmique : Boucles, conditions, recherche, tri
- Chaque type d'exercice a ses propres méthodes de résolution
- Identifier le type permet d'appliquer la bonne stratégie
- Les exercices peuvent combiner plusieurs types
- La maîtrise de chaque type est essentielle pour le baccalauréat
