Énoncé : "Résoudre l'équation -2x + 5 = 3x - 7. Un élève écrit : -2x - 3x = -7 - 5 donc -5x = -12 donc x = -12/5. Identifier l'erreur."
- Isoler les termes en x d'un côté
- Conserver les signes correctement
- Résoudre l'équation
L'élève a correctement transposé les termes : -2x - 3x = -7 - 5
Et a correctement simplifié : -5x = -12
L'erreur est dans la division finale
-5x = -12
Diviser par -5 : x = -12/(-5) = 12/5
L'erreur est de ne pas tenir compte du signe du dénominateur
Avec x = 12/5 :
Membre gauche : -2(12/5) + 5 = -24/5 + 25/5 = 1/5
Membre droit : 3(12/5) - 7 = 36/5 - 35/5 = 1/5
Les deux membres sont égaux ✓
Ne pas oublier que diviser par un nombre négatif change le signe du résultat.
La solution correcte est x = 12/5. L'erreur de l'élève était de ne pas tenir compte du signe négatif lors de la division par -5.
• Signe de la division : (-a)/(-b) = a/b
• Transposition : Lorsqu'on transpose un terme, on change son signe
• Vérification : Toujours substituer la solution dans l'équation originale
Énoncé : "Soit ABC un triangle rectangle en A. Un élève affirme : 'Par le théorème de Pythagore, AB² + AC² = BC². Donc AB + AC = BC.' Identifier l'erreur."
Le théorème de Pythagore est correctement énoncé : AB² + AC² = BC²
Mais la conclusion AB + AC = BC est fausse
Il n'est pas possible de passer des carrés à la somme directe
AB + AC = BC impliquerait que les points A, B et C sont alignés
Mais dans un triangle rectangle, les points ne sont pas alignés
Donc AB + AC > BC (inégalité triangulaire)
Le théorème de Pythagore relie les carrés des longueurs
On ne peut pas en déduire une relation entre les longueurs elles-mêmes
La relation correcte reste AB² + AC² = BC²
Ne pas confondre la relation entre les carrés des longueurs et la relation entre les longueurs elles-mêmes.
La relation correcte est AB² + AC² = BC². L'erreur consistait à croire que l'on pouvait prendre la racine carrée terme à terme.
• Théorème de Pythagore : AB² + AC² = BC² dans un triangle rectangle
• Logique : √(a² + b²) ≠ a + b en général
• Contradiction : AB + AC = BC impliquerait des points alignés
Énoncé : "Soit f(x) = 1/(x-2). Un élève dit que f(2) = 1/0 = 0. Identifier l'erreur."
L'élève a tenté d'évaluer f(2) = 1/(2-2) = 1/0
La division par zéro n'est pas définie en mathématiques
L'élève a faussement affirmé que 1/0 = 0
La fonction f(x) = 1/(x-2) est définie lorsque le dénominateur est non nul
Donc x - 2 ≠ 0, ce qui signifie x ≠ 2
Le domaine de définition est ℝ \ {2}
La fonction f n'est pas définie en x = 2
On ne peut pas calculer f(2)
Il est incorrect d'affirmer que 1/0 = 0
Ne jamais effectuer de division par zéro et toujours vérifier le domaine de définition d'une fonction.
La fonction f(x) = 1/(x-2) n'est pas définie en x = 2. L'erreur consistait à effectuer une division par zéro.
• Division par zéro : N'est jamais définie
• Domaine de définition : Vérifier les conditions de validité des expressions
• Logique : Ne jamais attribuer une valeur à une expression non définie
Énoncé : "Soit (un) définie par u₀ = 1 et un+1 = 2un + 1. Un élève affirme que u₃ = 14. Identifier l'erreur."
u₀ = 1 (donné)
u₁ = 2u₀ + 1 = 2(1) + 1 = 3
u₂ = 2u₁ + 1 = 2(3) + 1 = 7
u₃ = 2u₂ + 1 = 2(7) + 1 = 14 + 1 = 15
L'élève a affirmé que u₃ = 14
Mais le calcul correct donne u₃ = 2(7) + 1 = 14 + 1 = 15
L'erreur est probablement due à une omission de l'addition de 1
La relation de récurrence est un+1 = 2un + 1
Donc u₃ = 2u₂ + 1 = 2(7) + 1 = 15
Il ne faut pas oublier le "+1" dans la formule
Ne pas oublier tous les termes dans la relation de récurrence.
La valeur correcte de u₃ est 15, pas 14. L'erreur consistait à oublier d'ajouter 1 dans la relation de récurrence.
• Relation de récurrence : Suivre exactement la formule donnée
• Calcul itératif : Chaque terme se calcule à partir du précédent
• Attention : Ne pas omettre des parties de la formule
Énoncé : "On tire une carte d'un jeu de 32 cartes. Un élève dit : 'La probabilité de tirer un roi est 4/32, et la probabilité de tirer un trèfle est 8/32. Donc la probabilité de tirer un roi ou un trèfle est 4/32 + 8/32 = 12/32.' Identifier l'erreur."
Dans un jeu de 32 cartes : 4 rois, 8 trèfles
P(Roi) = 4/32
L'élève utilise P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
Cette formule n'est valable que si A et B sont incompatibles
Mais un roi peut être de trèfle (roi de trèfle)
La formule générale est : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
P(Roi ou Trèfle) = P(Roi) + P(Trèfle) - P(Roi de Trèfle)
= 4/32 + 8/32 - 1/32 = 11/32
Ne pas utiliser P(A ∪ B) = P(A) + P(B) si les événements ne sont pas incompatibles.
La probabilité de tirer un roi ou un trèfle est 11/32, pas 12/32. L'erreur consistait à ne pas soustraire la probabilité de l'intersection.
• Formule générale : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
• Incompatibles : P(A ∪ B) = P(A) + P(B) seulement si A ∩ B = ∅
• Intersection : Compter les éléments qui appartiennent aux deux ensembles
- Erreurs de signe : Oublier les signes négatifs dans les calculs
- Division par zéro : Ne pas vérifier les domaines de définition
- Probabilités : Additionner sans soustraire l'intersection
- Logique : Confondre les implications ou les équivalences
- Récurrence : Oublier l'étape d'initialisation
- Toujours vérifier que les opérations sont mathématiquement valides
- Ne pas oublier de justifier chaque étape du raisonnement
- S'assurer que les solutions appartiennent au bon ensemble
- Relire les calculs pour détecter les erreurs simples
