Représentation graphique des mouvements | Exercices corrigés

Concepts & Exercices

x(t) \xrightarrow{\frac{d}{dt}} v(t) \xrightarrow{\frac{d}{dt}} a(t)

Relation entre position, vitesse et accélération

x(t)

📍

Position en fonction du temps

v(t)

⚡

Vitesse en fonction du temps

a(t)

🚀

Accélération en fonction du temps

Concepts clés :

Pente d'un graphique : Donne la dérivée (vitesse ou accélération)
Aire sous la courbe : Donne l'intégrale (position ou vitesse)
Graphique x(t) : Pente = vitesse instantanée
Graphique v(t) : Pente = accélération, aire = déplacement
Graphique a(t) : Aire = variation de vitesse

Exercice 1

Analyse d'un graphique x(t) pour un mouvement rectiligne

Exercice 2

Interprétation d'un graphique v(t)

Exercice 3

Analyse d'un graphique a(t)

Exercice 4

Relations entre les graphiques x(t), v(t), a(t)

Exercice 5

Analyse d'un mouvement complexe à partir de graphiques

Corrigé : Exercices 1 à 3

1 Analyse graphique x(t)

Définition :

Problème : Analyser un graphique de position x(t) pour extraire des informations cinématiques

Méthode d'analyse :

Observer la forme du graphique
Identifier les différentes phases
Calculer les pentes pour déterminer les vitesses
Interpréter le mouvement

Observer le graphique

Identifier les pentes

Calculer les vitesses

Interpréter le mouvement

Étape 1 : Observation du graphique

Soit le graphique x(t) suivant (hypothétique) :

De 0 à 4 s : droite ascendante (pente positive)
De 4 à 8 s : droite horizontale (pente nulle)
De 8 à 12 s : droite descendante (pente négative)

Étape 2 : Calcul des pentes

La pente d'un graphique x(t) donne la vitesse instantanée.

Phase 1 (0-4s) : Pente = (20-0)/(4-0) = 5 m/s
Phase 2 (4-8s) : Pente = (20-20)/(8-4) = 0 m/s
Phase 3 (8-12s) : Pente = (0-20)/(12-8) = -5 m/s

Étape 3 : Interprétation cinématique

Phase 1 : Mouvement uniforme à +5 m/s dans le sens positif
Phase 2 : Repos (vitesse nulle)
Phase 3 : Mouvement uniforme à -5 m/s dans le sens négatif

Étape 4 : Analyse du mouvement

Le mobile part de l'origine, avance de 20 m en 4 s, s'arrête pendant 4 s, puis revient à l'origine en 4 s.

Déplacement total : 0 m (revient à l'origine)
Distance totale parcourue : 20 + 20 = 40 m

Analyse complète : 3 phases de mouvement identifiées à partir de x(t)

Résultats :

Le graphique x(t) révèle un mouvement en 3 phases : avance, repos, retour.

Règles d'analyse x(t) :

• Pente positive : Mouvement dans le sens positif

• Pente négative : Mouvement dans le sens négatif

• Pente nulle : Mobile au repos

2 Interprétation graphique v(t)

Définition :

Problème : Interpréter un graphique de vitesse v(t) pour analyser le mouvement

Observer la courbe v(t)

Calculer les pentes

Déterminer les a(t)

Calculer les aires

Étape 1 : Observation du graphique v(t)

Soit un graphique v(t) avec les phases suivantes :

De 0 à 3 s : droite horizontale à +6 m/s
De 3 à 6 s : droite descendante de +6 à +2 m/s
De 6 à 9 s : droite horizontale à +2 m/s
De 9 à 12 s : droite montante de +2 à +8 m/s

Étape 2 : Calcul des pentes (accélérations)

Phase 1 (0-3s) : Pente = (6-6)/(3-0) = 0 m/s² → MRU
Phase 2 (3-6s) : Pente = (2-6)/(6-3) = -4/3 ≈ -1.33 m/s² → MRUA décéléré
Phase 3 (6-9s) : Pente = (2-2)/(9-6) = 0 m/s² → MRU
Phase 4 (9-12s) : Pente = (8-2)/(12-9) = 6/3 = 2 m/s² → MRUA accéléré

Étape 3 : Calcul des aires (déplacements)

L'aire sous la courbe v(t) donne le déplacement.

Phase 1 : Aire = 6 × 3 = 18 m
Phase 2 : Aire = (6+2)/2 × 3 = 12 m
Phase 3 : Aire = 2 × 3 = 6 m
Phase 4 : Aire = (2+8)/2 × 3 = 15 m

Étape 4 : Synthèse cinématique

Phase 1 : MRU à +6 m/s, a = 0, Δx = 18 m
Phase 2 : MRUA décéléré, a = -1.33 m/s², Δx = 12 m
Phase 3 : MRU à +2 m/s, a = 0, Δx = 6 m
Phase 4 : MRUA accéléré, a = +2 m/s², Δx = 15 m

Analyse complète : 4 phases avec différentes accélérations

Résultats :

Le mobile subit des phases d'accélération, de décélération et de mouvement uniforme.

Règles d'analyse v(t) :

• Pente de v(t) : Donne l'accélération a(t)

• Aire sous v(t) : Donne le déplacement Δx

• Zone positive/négative : Sens du mouvement

3 Analyse graphique a(t)

Définition :

Problème : Analyser un graphique d'accélération a(t) pour déterminer le mouvement

a(t) = \frac{dv}{dt}, \quad v(t) = \int a(t) dt + v_0

x(t) = \int v(t) dt + x_0

Étape 1 : Observation du graphique a(t)

Soit un graphique a(t) avec :

De 0 à 4 s : a = +2 m/s² (constante)
De 4 à 8 s : a = 0 m/s² (nulle)
De 8 à 12 s : a = -1 m/s² (constante)

Étape 2 : Calcul des variations de vitesse

L'aire sous la courbe a(t) donne la variation de vitesse.

Phase 1 (0-4s) : Δv = +2 × 4 = +8 m/s
Phase 2 (4-8s) : Δv = 0 × 4 = 0 m/s
Phase 3 (8-12s) : Δv = -1 × 4 = -4 m/s

Étape 3 : Reconstruction de v(t)

Si v₀ = 0 m/s (départ au repos) :

Phase 1 : v(t) = 0 + 2t = 2t (MRUA), v(4) = 8 m/s
Phase 2 : v(t) = 8 + 0(t-4) = 8 m/s (MRU)
Phase 3 : v(t) = 8 - 1(t-8) = 16 - t, v(12) = 4 m/s

Étape 4 : Reconstruction de x(t)

Si x₀ = 0 m :

Phase 1 : x(t) = 0 + 0×t + ½×2×t² = t²
Phase 2 : x(t) = x(4) + v(4)×(t-4) = 16 + 8(t-4) = 8t - 16
Phase 3 : x(t) = x(8) + ∫₈^t(16-u)du = 48 + [16u - u²/2]₈^t = -t²/2 + 16t - 56

Étape 5 : Synthèse

Phase 1 (0-4s) : MRUA : x(t) = t², v(t) = 2t, a = 2 m/s²
Phase 2 (4-8s) : MRU : x(t) = 8t - 16, v(t) = 8, a = 0
Phase 3 (8-12s) : MRUA : x(t) = -t²/2 + 16t - 56, v(t) = 16-t, a = -1

Reconstruction complète des équations de mouvement à partir de a(t)

Résultats :

À partir de a(t), on peut retrouver v(t) et x(t) par intégration.

Règles d'analyse a(t) :

• Aire sous a(t) : Donne la variation de vitesse

• Intégration de a(t) : Donne v(t)

• Intégration de v(t) : Donne x(t)

Corrigé : Exercices 4 à 5

4 Relations entre graphiques

Définition :

Problème : Établir les relations entre les graphiques x(t), v(t) et a(t)

x(t) → v(t)

↗️

Dérivation

v(t) → a(t)

↗️

Dérivation

a(t) → v(t)

↙️

Intégration

v(t) → x(t)

↙️

Intégration

Étape 1 : Relations mathématiques

v(t) = \frac{dx}{dt}, \quad a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}

v(t) = \int a(t) dt + v_0, \quad x(t) = \int v(t) dt + x_0

Ces relations permettent de passer d'un graphique à un autre.

Étape 2 : Exemple concret

Soit x(t) = 2t³ - 3t² + 4t + 1

Alors :
v(t) = dx/dt = 6t² - 6t + 4
a(t) = dv/dt = 12t - 6

Étape 3 : Interprétation graphique

Fonction	Forme	Signification
x(t) = 2t³ - 3t² + 4t + 1	Courbe cubique	Position variable
v(t) = 6t² - 6t + 4	Parabole	Vitesse variable
a(t) = 12t - 6	Droite	Accélération linéaire

Étape 4 : Exemple de conversion

Si on connaît v(t) et que l'on veut x(t) :

Soit v(t) = 4t + 2, avec x₀ = 0
x(t) = ∫(4t + 2)dt = 2t² + 2t + C
Avec x(0) = 0, on a C = 0
Donc x(t) = 2t² + 2t

Relations établies : x(t) ↔ v(t) ↔ a(t) par dérivation/intégration

Résultats :

Les graphiques sont liés par des relations mathématiques précises de dérivation et d'intégration.

Règles de conversion :

• De x(t) à v(t) : Calculer la dérivée

• De v(t) à a(t) : Calculer la dérivée

• De a(t) à v(t) : Calculer l'intégrale

• De v(t) à x(t) : Calculer l'intégrale

5 Analyse mouvement complexe

Définition :

Problème : Analyser un mouvement complexe à partir de graphiques combinés

Analyser x(t)

En déduire v(t)

En déduire a(t)

Synthétiser le mouvement

Étape 1 : Analyse du graphique x(t) complet

Soit un mobile avec le graphique x(t) suivant (en mètres) :

0-2s : x(t) = 2t² (MRUA)
2-4s : x(t) = 8 (repos)
4-6s : x(t) = -t² + 12t - 28 (MRUA)
6-8s : x(t) = -4t + 20 (MRU)

Étape 2 : Calcul de v(t)

Phase 1 (0-2s) : v(t) = dx/dt = 4t, v(2) = 8 m/s
Phase 2 (2-4s) : v(t) = 0 m/s
Phase 3 (4-6s) : v(t) = -2t + 12, v(4) = 4 m/s, v(6) = 0 m/s
Phase 4 (6-8s) : v(t) = -4 m/s

Étape 3 : Calcul de a(t)

Phase 1 (0-2s) : a(t) = dv/dt = 4 m/s²
Phase 2 (2-4s) : a(t) = 0 m/s²
Phase 3 (4-6s) : a(t) = -2 m/s²
Phase 4 (6-8s) : a(t) = 0 m/s²

Étape 4 : Analyse complète du mouvement

Phase	Durée	Mouvement	Vitesse	Accélération
1 (0-2s)	2 s	MRUA	0 → 8 m/s	+4 m/s²
2 (2-4s)	2 s	Repos	0 m/s	0 m/s²
3 (4-6s)	2 s	MRUA	4 → 0 m/s	-2 m/s²
4 (6-8s)	2 s	MRU	-4 m/s	0 m/s²

Étape 5 : Calcul des déplacements

Phase 1 : x(2) - x(0) = 8 - 0 = 8 m
Phase 2 : x(4) - x(2) = 8 - 8 = 0 m
Phase 3 : x(6) - x(4) = 8 - 8 = 0 m
Phase 4 : x(8) - x(6) = 4 - 8 = -4 m

Déplacement total : 8 + 0 + 0 + (-4) = 4 m
Distance totale : 8 + 0 + 0 + 4 = 12 m

Analyse complète : 4 phases avec différentes caractéristiques cinématiques

Résultats :

Le mouvement complexe est décomposé en 4 phases simples pour une analyse détaillée.

Règles d'analyse complexe :

• Décomposer le mouvement : Identifier les phases distinctes

• Appliquer les relations : x(t) → v(t) → a(t) pour chaque phase

• Vérifier la continuité : Les grandeurs doivent être continues aux frontières

Cours bien détaillé

\frac{d}{dt}[x(t)] = v(t), \quad \frac{d}{dt}[v(t)] = a(t)

x(t) = \int v(t)dt, \quad v(t) = \int a(t)dt

Relations fondamentales entre les grandeurs cinématiques

📍

Graphique x(t) : Pente = vitesse instantanée.

⚡

Graphique v(t) : Pente = accélération, aire = déplacement.

🚀

Graphique a(t) : Aire = variation de vitesse.

🔄

Relations : Dérivation et intégration.

💡

Conseil : Tracez les graphiques dans l'ordre x(t) → v(t) → a(t) pour vérifier la cohérence

🔍

Attention : L'aire sous la courbe peut être négative si la fonction est négative

⚡

Astuce : Utilisez les pentes pour vérifier les relations entre graphiques

📋

Méthode : Identifiez les points particuliers (maximum, minimum, intersection)

✅

Vérification : Assurez-vous que les unités sont cohérentes dans vos calculs

Méthodes d'analyse graphique :

Observation visuelle : Forme générale, pentes, zones plates
Calcul des pentes : Pour déterminer les dérivées
Calcul des aires : Pour déterminer les intégrales
Représentation qualitative : Esquisser les graphiques associés

Règles importantes :

La vitesse est la dérivée de la position par rapport au temps
L'accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps
Un graphique x(t) avec une pente négative indique un mouvement dans le sens négatif
Un graphique a(t) au-dessus de l'axe des abscisses indique une accélération positive

Points clés à retenir :

Dérivation : x(t) → v(t) → a(t) par dérivation successive
Intégration : a(t) → v(t) → x(t) par intégration successive
Unités : x en mètres, v en m/s, a en m/s²
Interprétation : La pente d'un graphique donne la grandeur suivante
Continuité : Les grandeurs physiques doivent être continues sauf en cas de choc

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