- Trajectoire : Ensemble des positions occupées par un mobile au cours du temps
- Vitesse : Grandeur vectorielle indiquant la variation de position
- Accélération : Grandeur vectorielle indiquant la variation de vitesse
- Repère : Système d'axes permettant de repérer la position
- Temps : Variable indépendante du mouvement
Problème : Analyser un mouvement rectiligne uniforme
- Identifier la nature du mouvement
- Représenter la trajectoire
- Déterminer la vitesse
- Interpréter les grandeurs
Un véhicule se déplace en ligne droite à vitesse constante de 60 km/h.
Nature : Rectiligne (ligne droite)
Direction : Axe des x (repère unidimensionnel)
Sens : Constant (mouvement dans le même sens)
Caractéristiques : Droite horizontale dans le plan x-t
Position au bout de 10 secondes :
x(10) = 0 + 16.67 × 10 = 166.7 m
Vitesse instantanée :
v = dx/dt = 16.67 m/s (constante)
Accélération instantanée :
a = dv/dt = 0 m/s² (nulle)
La trajectoire est une droite, la vitesse est constante (16.67 m/s), l'accélération est nulle.
• Vitesse constante : v = constante
• Accélération nulle : a = 0
• Équation horaire : x(t) = x₀ + vt
Problème : Calculer la vitesse instantanée à partir d'une équation horaire
Soit un mobile dont la position est donnée par :
x(t) = 2t² + 3t + 1 (en mètres, t en secondes)
On veut déterminer la vitesse instantanée à t = 2 s.
La vitesse instantanée est la dérivée de la position par rapport au temps.
Vitesse à t = 2 s :
v(2) = 4 × 2 + 3 = 8 + 3 = 11 m/s
Vitesse à t = 5 s :
v(5) = 4 × 5 + 3 = 20 + 3 = 23 m/s
L'accélération est constante (4 m/s²), donc le mouvement est uniformément accéléré.
La vitesse instantanée à t = 2 s est de 11 m/s, avec une accélération constante de 4 m/s².
• Vitesse instantanée : v(t) = dx/dt
• Accélération instantanée : a(t) = dv/dt
• Unités : vitesse en m/s, accélération en m/s²
Problème : Analyser un mouvement uniformément accéléré
Un véhicule démarre du repos (v₀ = 0) avec une accélération constante de 2 m/s².
Données : x₀ = 0 m, v₀ = 0 m/s, a = 2 m/s²
Équation de la position :
x(t) = 0 + 0×t + ½×2×t² = t²
Équation de la vitesse :
v(t) = 0 + 2×t = 2t
Position à t = 5 s :
x(5) = 5² = 25 m
Vitesse à t = 5 s :
v(5) = 2×5 = 10 m/s
Vérification avec la formule sans temps :
v² - v₀² = 2a(x - x₀)
10² - 0² = 2×2×(25 - 0)
100 = 100 ✓
Position : Augmente quadratiquement avec le temps (x ∝ t²)
Vitesse : Augmente linéairement avec le temps (v ∝ t)
Accélération : Constante (a = 2 m/s²)
Trajectoire : Rectiligne (mouvement en ligne droite)
À t = 5 s, le véhicule a parcouru 25 m avec une vitesse de 10 m/s.
• Accélération constante : a = constante
• Équation horaire : x(t) = x₀ + v₀t + ½at²
• Vitesse : v(t) = v₀ + at
Problème : Analyser un mouvement circulaire uniforme
Un satellite tourne autour de la Terre sur une orbite circulaire de rayon r = 7000 km à vitesse constante v = 7.5 km/s.
Données : r = 7,000,000 m, v = 7,500 m/s
Où ac est l'accélération centripète, T la période, ω la vitesse angulaire.
Accélération centripète :
ac = v²/r = (7500)² / 7,000,000 = 56,250,000 / 7,000,000 = 8.04 m/s²
Période du mouvement :
T = 2πr/v = 2π×7,000,000 / 7,500 = 44,000,000 / 7,500 = 5,867 s ≈ 98 min
Vitesse angulaire :
ω = v/r = 7,500 / 7,000,000 = 0.00107 rad/s
Trajectoire : Circulaire de rayon constant
Vitesse : Constante en norme mais change de direction
Accélération : Centripète, dirigée vers le centre, de norme constante
Période : Temps pour faire un tour complet (≈ 98 minutes)
L'accélération centripète est de 8.04 m/s², la période est de 98 minutes environ.
• Vitesse constante en norme : ||v|| = constante
• Accélération centripète : ac = v²/r dirigée vers le centre
• Période : T = 2πr/v
Problème : Analyser des graphiques de position, vitesse et accélération
Supposons un graphique x(t) qui montre :
- De 0 à 5 s : droite montante (pente positive)
- De 5 à 10 s : droite horizontale (pente nulle)
- De 10 à 15 s : droite descendante (pente négative)
Cela correspond à : mouvement uniforme → arrêt → mouvement en sens inverse
La vitesse est la pente du graphique x(t) :
- De 0 à 5 s : v = +4 m/s (constante)
- De 5 à 10 s : v = 0 m/s (nulle)
- De 10 à 15 s : v = -6 m/s (constante, en sens inverse)
Le graphique v(t) est constitué de segments horizontaux.
L'accélération est la pente du graphique v(t) :
- De 0 à 5 s : a = 0 m/s² (car v constante)
- De 5 à 10 s : a = 0 m/s² (car v constante)
- De 10 à 15 s : a = 0 m/s² (car v constante)
L'accélération est nulle partout sauf aux points de discontinuité.
Phases du mouvement :
- Phase 1 (0-5s) : MRU à +4 m/s
- Phase 2 (5-10s) : Repos
- Phase 3 (10-15s) : MRU à -6 m/s
Distances parcourues :
- Phase 1 : d₁ = 4×5 = 20 m
- Phase 2 : d₂ = 0 m
- Phase 3 : d₃ = 6×5 = 30 m
Déplacement total :
Δx = 20 + 0 + (-30) = -10 m
Le mobile parcourt 20 m vers l'avant, s'arrête, puis recule de 30 m. Déplacement net : -10 m.
• Pente de x(t) : Donne la vitesse v(t)
• Pente de v(t) : Donne l'accélération a(t)
• Aire sous v(t) : Donne le déplacement Δx
- Mouvement rectiligne uniforme (MRU) : v = constante, a = 0
- Mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA) : a = constante
- Mouvement circulaire uniforme (MCU) : ||v|| = constante, a centripète
- Mouvement circulaire non uniforme : ||v|| change, a tangentielle + centripète
- La vitesse est toujours tangente à la trajectoire
- L'accélération peut avoir une composante tangentielle et normale
- Un mobile peut avoir une vitesse nulle mais une accélération non nulle
- La trajectoire dépend du repère choisi
- Relation de dérivation : x → v → a par dérivation successive
- Grandeur vectorielle : La vitesse et l'accélération ont une direction et un sens
- Unités : Position (m), vitesse (m/s), accélération (m/s²)
- Interprétation physique : L'accélération indique la variation de vitesse
