Moment d'une force : \(\vec{M}_A(\vec{F}) = \vec{AB} \wedge \vec{F}\) mesure la tendance d'une force à faire tourner un solide autour d'un point.
- Identifier le vecteur position \(\vec{AB}\)
- Identifier la force \(\vec{F}\)
- Calculer le produit vectoriel \(\vec{AB} \wedge \vec{F}\)
\(\vec{AB}(2,0,0)\) et \(\vec{F}(0,-500,0)\)
\(\vec{M}_A(\vec{F}) = \vec{AB} \wedge \vec{F}\)
\(\vec{AB} \wedge \vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & -500 & 0 \end{vmatrix}\)
\(x = (0 \times 0) - (0 \times -500) = 0\)
\(y = -((2 \times 0) - (0 \times 0)) = 0\)
\(z = (2 \times -500) - (0 \times 0) = -1000\)
\(\vec{M}_A(\vec{F}) = (0,0,-1000)\) N.m
\(\vec{M}_A(\vec{F}) = (0,0,-1000)\) N.m
• Moment : Produit vectoriel du bras de levier par la force
• Direction : Perpendiculaire au plan formé par \(\vec{AB}\) et \(\vec{F}\)
• Unité : N.m (Newton.mètre) dans le système international
Équilibre statique : Un solide est en équilibre si \(\sum \vec{F} = \vec{0}\) et \(\sum \vec{M}_O = \vec{0}\) pour tout point O.
Poids total de la charge uniforme : \(P = q \times L\)
\(\sum \vec{F}_{ext} = \vec{0}\)
\(R_A + R_B - qL = 0\)
Par rapport au point A : \(\sum \vec{M}_A = \vec{0}\)
\(R_B \times L - qL \times \frac{L}{2} = 0\)
De la deuxième équation : \(R_B = \frac{qL}{2}\)
De la première équation : \(R_A = qL - R_B = qL - \frac{qL}{2} = \frac{qL}{2}\)
Chaque appui supporte la moitié de la charge totale
Les réactions d'appui valent chacune \(R_A = R_B = \frac{qL}{2}\)
• Équilibre : Somme des forces et des moments nulle
• Modélisation : Remplacer la charge répartie par une force concentrée au centre de gravité
• Symétrie : Pour une charge symétrique, les réactions sont égales
Triangle articulé : Structure composée de barres articulées entre elles, souvent utilisée dans les ponts et charpentes.
Identifier toutes les forces extérieures : réactions d'appui et charges appliquées
\(\sum F_x = 0\): \(R_{Ax} + R_{Bx} = 0\)
\(\sum F_y = 0\): \(R_{Ay} + R_{By} - F = 0\)
\(\sum M_A = 0\): \(R_{By} \times L - F \times h = 0\)
Calculer les réactions d'appui en fonction des dimensions et de la charge
Contrôler que toutes les conditions d'équilibre sont satisfaites
Comprendre la répartition des efforts dans la structure
Les réactions d'appui dépendent des dimensions géométriques et de la charge appliquée
• Isostatisme : Une structure est isostatique si le nombre d'inconnues égale le nombre d'équations
• Équilibre global : Appliquer les trois équations fondamentales
• Calcul des efforts : Utiliser la méthode des nœuds ou des sections
Palan : Système de poulies permettant de soulever des charges lourdes avec un effort réduit.
Identifier le nombre de brins actifs de câble supportant la charge
Chaque brin de câble supporte une fraction de la charge totale
Si n brins supportent la charge P, alors \(F = \frac{P}{n}\)
\(\sum \vec{F}_{ext} = \vec{0}\) pour chaque élément du système
Am = Rapport entre la charge levée et l'effort fourni
L'effort nécessaire est divisé par le nombre de brins actifs dans le palan
• Transmission : La tension est constante dans un câble idéal
• Avantage mécanique : Gain obtenu par multiplication du nombre de brins
• Énergie : Conservation de l'énergie (négligeant les frottements)
Torseur : Ensemble constitué d'une résultante \(\vec{R}\) et d'un moment \(\vec{M}_A\) en un point A : \(\left\lbrace \mathcal{T} \right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} \\ \vec{M}_A \end{array} \right\rbrace\)
Lister toutes les forces extérieures agissant sur le système
\(\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + ... + \vec{F}_n\)
\(\vec{M}_A = \vec{M}_A(\vec{F}_1) + \vec{M}_A(\vec{F}_2) + ... + \vec{M}_A(\vec{F}_n)\)
\(\left\lbrace \mathcal{T} \right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} \\ \vec{M}_A \end{array} \right\rbrace\)
Utiliser la relation de transfert : \(\vec{M}_B = \vec{M}_A + \vec{BA} \wedge \vec{R}\)
Le torseur caractérise entièrement le système d'actions mécaniques
• Torseur : Outil mathématique complet pour représenter les efforts
• Transfert : La résultante est invariante, le moment varie selon la relation de Varignon
• Application : Analyse des liaisons, dimensionnement des structures
- Méthode des nœuds : Analyse des forces en chaque jonction d'une structure
- Méthode des sections : Coupe imaginaire pour analyser les efforts internes
- Principe des puissances virtuelles : Méthode énergétique pour les systèmes complexes
- Modélisation numérique : Utilisation de logiciels CAO pour les structures réelles
- Principe d'isolement : Séparer le système à étudier du reste du monde
- Modèle simplifié : Représenter les éléments par des objets mathématiques idéaux
- Hypothèses : Solide indéformable, frottements négligés, charges ponctuelles
- Validation : Vérifier la cohérence physique des résultats obtenus
