Diagramme de corps libre : Représentation de toutes les forces agissant sur un objet isolé du système.
- Isoler l'objet du système
- Identifier toutes les forces agissant dessus
- Représenter chaque force par un vecteur
- Indiquer les points d'application
Retirer le câble et observer les forces agissant sur la masse seule
- Poids \(\vec{P} = m\vec{g}\) vers le bas
- Tension \(\vec{T}\) du câble vers le haut
Tracer les vecteurs forces avec leur direction, sens et point d'application
\(\sum \vec{F} = \vec{0}\) donc \(\vec{T} + \vec{P} = \vec{0}\)
\(\vec{T} = -\vec{P}\), donc \(T = mg\)
La tension du câble égale le poids de la masse : \(T = mg\)
• Isolation : Séparer le système à étudier du reste
• Représentation : Flèches pour les forces avec sens et intensité
• Équilibre : Somme des forces nulle pour un objet immobile
Encastrement : Liaison complète qui empêche tous les mouvements. Crée une force et un moment de réaction.
Retirer les liaisons et observer les forces extérieures
- Charge \(P\) au point B
- Réactions d'encastrement en A : \(R_H\) (horizontale), \(R_V\) (verticale), \(M_A\) (moment)
\(\sum F_x = 0 \Rightarrow R_H = 0\)
\(\sum F_y = 0 \Rightarrow R_V - P = 0 \Rightarrow R_V = P\)
\(\sum M_A = 0 \Rightarrow M_A - PL = 0 \Rightarrow M_A = PL\)
Montrer la force verticale \(R_V = P\) et le moment \(M_A = PL\) en A
L'encastrement supporte la charge et crée un moment de flexion
La réaction verticale égale la charge (\(R_V = P\)) et le moment de flexion est \(M_A = PL\)
• Encastrement : Crée 3 inconnues (2 forces + 1 moment)
• Équilibre : 3 équations pour 3 inconnues
• Moment : Mesuré par rapport au point d'encastrement
Plan incliné : Surface plane inclinée sur laquelle un objet subit différentes forces selon l'angle d'inclinaison.
Considérer uniquement le bloc sur le plan incliné
- Poids \(\vec{P} = m\vec{g}\) vertical vers le bas
- Réaction normale \(\vec{N}\) perpendiculaire au plan
- Force de frottement \(\vec{F_f}\) parallèle au plan, opposée au mouvement
Poids : \(P_x = mg\sin\alpha\) (parallèle au plan), \(P_y = mg\cos\alpha\) (perpendiculaire)
En x (parallèle au plan) : \(F_f - mg\sin\alpha = 0\) (si équilibre)
En y (perpendiculaire au plan) : \(N - mg\cos\alpha = 0\)
\(N = mg\cos\alpha\) et \(F_f = mg\sin\alpha\)
La réaction normale est \(N = mg\cos\alpha\) et la force de frottement est \(F_f = mg\sin\alpha\)
• Décomposition : Projeter les forces selon axes parallèle et perpendiculaire au plan
• Frottement : \(F_f \leq fN\) avec f coefficient de frottement
• Équilibre : Condition d'équilibre : \(mg\sin\alpha \leq fmg\cos\alpha\)
Système de poulies : Ensemble de poulies permettant de multiplier la force appliquée ou modifier sa direction.
Identifier le nombre de brins actifs de câble supportant la charge
La tension est constante dans un câble idéal (sans frottement)
Chaque brin supporte une fraction de la charge totale
Si n brins supportent la charge P, alors \(F = \frac{P}{n}\)
\(Am = \frac{P}{F} = n\)
L'effort nécessaire est divisé par le nombre de brins actifs dans le système de poulies
• Transmission : La tension est constante dans un câble idéal
• Avantage mécanique : Gain obtenu par multiplication du nombre de brins
• Énergie : Conservation de l'énergie (négligeant les frottements)
Torseur : Ensemble constitué d'une résultante \(\vec{R}\) et d'un moment \(\vec{M}_A\) en un point A : \(\left\lbrace \mathcal{T} \right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} \\ \vec{M}_A \end{array} \right\rbrace\)
Lister toutes les forces extérieures agissant sur le système
\(\vec{R} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2 + ... + \vec{F}_n\)
\(\vec{M}_A = \vec{M}_A(\vec{F}_1) + \vec{M}_A(\vec{F}_2) + ... + \vec{M}_A(\vec{F}_n)\)
\(\left\lbrace \mathcal{T} \right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} \\ \vec{M}_A \end{array} \right\rbrace\)
Utiliser la relation de transfert : \(\vec{M}_B = \vec{M}_A + \vec{BA} \wedge \vec{R}\)
Le torseur caractérise entièrement le système d'actions mécaniques
• Torseur : Outil mathématique complet pour représenter les efforts
• Transfert : La résultante est invariante, le moment varie selon la relation de Varignon
• Application : Analyse des liaisons, dimensionnement des structures
- Diagramme de corps libre : Représentation graphique de toutes les forces
- Principe des actions mutuelles : Action = -Réaction
- Méthode des torseurs : Formalisme complet pour les actions mécaniques
- Principe des puissances virtuelles : Méthode énergétique pour les systèmes complexes
- Principe d'isolement : Séparer le système à étudier du reste du monde
- Modèle simplifié : Représenter les éléments par des objets mathématiques idéaux
- Hypothèses : Solide indéformable, frottements négligés, charges ponctuelles
- Validation : Vérifier la cohérence physique des résultats obtenus
