Moment d'une force : \(\vec{M}_A(\vec{F}) = \vec{AB} \wedge \vec{F}\) mesure la tendance d'une force à faire tourner un solide autour d'un point.
- Identifier le vecteur position \(\vec{AB}\)
- Identifier la force \(\vec{F}\)
- Calculer le produit vectoriel \(\vec{AB} \wedge \vec{F}\)
\(\vec{OA}(0.5,0,0)\) et \(\vec{F}(0,-100,0)\)
\(\vec{M}_O(\vec{F}) = \vec{OA} \wedge \vec{F}\)
\(\vec{OA} \wedge \vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0.5 & 0 & 0 \\ 0 & -100 & 0 \end{vmatrix}\)
\(x = (0 \times 0) - (0 \times -100) = 0\)
\(y = -((0.5 \times 0) - (0 \times 0)) = 0\)
\(z = (0.5 \times -100) - (0 \times 0) = -50\)
\(\vec{M}_O(\vec{F}) = (0,0,-50)\) N.m
\(\vec{M}_O(\vec{F}) = (0,0,-50)\) N.m
• Moment : Produit vectoriel du bras de levier par la force
• Direction : Perpendiculaire au plan formé par \(\vec{OA}\) et \(\vec{F}\)
• Unité : N.m (Newton.mètre) dans le système international
Couple de forces : Ensemble de deux forces égales et opposées \(\vec{F}\) et \(-\vec{F}\) séparées par une distance d, créant un moment constant.
Deux forces égales et opposées de 50N
Distance d = 0.3m
\(C = F \times d\)
\(C = 50 \times 0.3 = 15\) N.m
Le couple est constant quelle que soit la position du point de calcul
Le couple créé est de 15 N.m
• Couple : Effet de rotation pure, indépendant du point de calcul
• Constant : Le moment d'un couple est le même en tout point
• Unité : N.m (Newton.mètre) dans le système international
Équilibre rotatif : Un solide est en équilibre si \(\sum \vec{M}_O = \vec{0}\) pour tout point O.
Force du vent \(F = 80\)N à une distance \(L = 0.8\)m du pivot
\(M_{vent} = F \times L = 80 \times 0.8 = 64\) N.m
\(\sum M_{pivot} = 0\), donc \(M_{réaction} - M_{vent} = 0\)
\(M_{réaction} = M_{vent} = 64\) N.m
Le système de fermeture doit fournir un moment de 64 N.m pour maintenir l'équilibre
Le moment nécessaire pour maintenir la porte en équilibre est de 64 N.m
• Équilibre rotatif : Somme des moments nuls
• Point de calcul : Choisir le pivot pour simplifier les calculs
• Bras de levier : Distance perpendiculaire entre la force et le pivot
Clé dynamométrique : Outil qui permet d'appliquer un couple de force prédéfini pour le serrage des vis.
Force appliquée F = 100N à une distance L = 0.4m du centre de la vis
\(C = F \times L\)
\(C = 100 \times 0.4 = 40\) N.m
La clé applique un couple de 40 N.m à la vis
Utilisé pour garantir un serrage précis sans endommager les filetages
Le couple de serrage est de 40 N.m
• Clé dynamométrique : Permet d'atteindre un couple prédéfini
• Contrôle de couple : Essentiel pour éviter les dommages aux composants
• Application : Assemblage mécanique, maintenance automobile
Engrenages : Système de transmission de mouvement où le couple est transmis selon le rapport des rayons.
Pignon 1 : rayon R₁ = 40mm, moment M₁ = 10 N.m
Pignon 2 : rayon R₂ = 20mm, moment M₂ = ?
\(\frac{M_2}{M_1} = \frac{R_2}{R_1}\) ou \(\frac{M_2}{M_1} = \frac{Z_2}{Z_1}\)
\(M_2 = M_1 \times \frac{R_2}{R_1} = 10 \times \frac{20}{40} = 5\) N.m
Le couple diminue proportionnellement au rapport des rayons
La vitesse augmente inversement proportionnellement au couple
Le moment transmis est de 5 N.m
• Transmission : Le couple varie inversement proportionnellement à la vitesse
• Conservation de l'énergie : \(M_1\omega_1 = M_2\omega_2\) (négligeant les pertes)
• Applications : Boîtes de vitesses, réducteurs, transmissions industrielles
- Moment scalaire : \(M_F = F \times d\) (distance perpendiculaire au pivot)
- Produit vectoriel : \(\vec{M}_A(\vec{F}) = \vec{AB} \wedge \vec{F}\) pour les vecteurs 3D
- Théorème de Varignon : \(\vec{M}_B(\vec{F}) = \vec{M}_A(\vec{F}) + \vec{AB} \wedge \vec{F}\)
- Superposition : \(\vec{M}_O(\vec{F_1}+\vec{F_2}) = \vec{M}_O(\vec{F_1}) + \vec{M}_O(\vec{F_2})\)
- Le moment d'une force est nul si la force passe par le point de calcul
- Un couple est invariant par translation de son axe de rotation
- Le moment d'un couple est le même en tout point de l'espace
- Le moment d'un couple ne dépend que de la distance entre les deux forces
