Système de forces : Ensemble de forces \(\{\vec{F_1}, \vec{F_2}, ..., \vec{F_n}\}\) appliquées en des points distincts.
- Calculer la résultante \(\vec{R} = \sum \vec{F_i}\)
- Calculer le moment résultant \(\vec{M}_A = \sum \vec{M}_A(\vec{F_i})\)
- Exprimer le torseur \(\left\lbrace \mathcal{T} \right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{R} \\ \vec{M}_A \end{array} \right\rbrace\)
\(\vec{R} = \vec{F_1} + \vec{F_2} = (30,0,0) + (-20,10,0) = (10,10,0)\)
\(\vec{M}_A = \vec{M}_A(\vec{F_1}) + \vec{M}_A(\vec{F_2})\)
\(\vec{M}_A(\vec{F_1}) = \vec{AA} \wedge \vec{F_1} = \vec{0}\)
\(\vec{M}_A(\vec{F_2}) = \vec{AB} \wedge \vec{F_2} = (2,0,0) \wedge (-20,10,0) = (0,0,20)\)
\(\vec{AB} \wedge \vec{F_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 0 & 0 \\ -20 & 10 & 0 \end{vmatrix} = (0,0,20)\)
\(\vec{M}_A = (0,0,0) + (0,0,20) = (0,0,20)\)
\(\left\lbrace \mathcal{T} \right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} (10,10,0) \\ (0,0,20) \end{array} \right\rbrace\)
Le torseur équivalent est \(\left\lbrace \mathcal{T} \right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} (10,10,0) \\ (0,0,20) \end{array} \right\rbrace\)
• Résultante : Somme vectorielle de toutes les forces
• Moment : Somme des moments de chaque force par rapport au point de réduction
• Produit vectoriel : \(\vec{AB} \wedge \vec{F_2}\) pour calculer le moment de \(\vec{F_2}\) en A
Biellette : Pièce mécanique soumise à deux forces opposées, appelée aussi pièce bi-forcée.
Deux forces égales et opposées : \(\vec{F_A} = -\vec{F_B}\)
\(\vec{R} = \vec{F_A} + \vec{F_B} = \vec{F_A} + (-\vec{F_A}) = \vec{0}\)
\(\vec{M}_A = \vec{M}_A(\vec{F_A}) + \vec{M}_A(\vec{F_B})\)
\(\vec{M}_A(\vec{F_A}) = \vec{0}\) (force appliquée en A)
\(\vec{M}_A(\vec{F_B}) = \vec{AB} \wedge \vec{F_B}\)
\(\vec{F_B}\) est opposée à \(\vec{F_A}\) et les forces sont colinéaires à AB
Donc \(\vec{AB} \wedge \vec{F_B} = \vec{0}\) (vecteurs colinéaires)
\(\vec{M}_A = \vec{0} + \vec{0} = \vec{0}\)
Le torseur de liaison est \(\left\lbrace \mathcal{T} \right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} \vec{0} \\ \vec{0} \end{array} \right\rbrace\)
• Biellette : Pièce soumise à deux forces opposées colinéaires
• Équilibre : Résultante et moment nuls pour une biellette en équilibre
• Colinéarité : Les forces sont alignées avec l'axe de la biellette
Système triangulaire : Trois forces appliquées aux sommets d'un triangle équilatéral.
Soit un triangle équilatéral ABC de côté a, avec A en haut, B en bas à gauche et C en bas à droite
A(0, a√3/2, 0), B(-a/2, 0, 0), C(a/2, 0, 0)
\(\vec{R} = \vec{F_A} + \vec{F_B} + \vec{F_C}\)
\(\vec{R} = (0,F,0) + (F,0,0) + (0,-F,0) = (F,0,0)\)
G(0, a√3/6, 0)
\(\vec{M}_G = \vec{GA} \wedge \vec{F_A} + \vec{GB} \wedge \vec{F_B} + \vec{GC} \wedge \vec{F_C}\)
\(\vec{GA} = (0, a√3/3, 0)\), \(\vec{GB} = (-a/2, -a√3/6, 0)\), \(\vec{GC} = (a/2, -a√3/6, 0)\)
\(\vec{GA} \wedge \vec{F_A} = (0, a√3/3, 0) \wedge (0,F,0) = (0,0,0)\)
La résultante est \(\vec{R} = (F,0,0)\) et le moment dépend des positions exactes
• Symétrie : Utiliser les propriétés géométriques du triangle
• Résultante : Somme vectorielle des forces
• Moment : Calculer les moments de chaque force par rapport au point choisi
Arbre d'engrenage : Arbre soumis à des forces radiales et tangentielles provenant des roues dentées.
Force radiale Fr = 500N (dirigée vers le centre)
Force tangentielle Ft = 800N (tangente à la circonférence)
Dans un repère (x, y, z) : \(\vec{F_r} = (0, -500, 0)\) et \(\vec{F_t} = (800, 0, 0)\)
\(\vec{R} = \vec{F_r} + \vec{F_t} = (800, -500, 0)\)
\(\vec{M}_O = \vec{OM} \wedge \vec{F_r} + \vec{OM} \wedge \vec{F_t}\)
Où M est le point d'application de la force
\(C = F_t \times r\) où r est le rayon de la roue
La résultante est \(\vec{R} = (800,-500,0)\) et le couple de transmission est \(C = F_t \times r\)
• Forces d'engrenage : Radiale (pression des dents) et tangentielle (transmission du couple)
• Couple : \(C = F_t \times r\) où r est le rayon primitif
• Application : Dimensionnement des arbres et des roulements
Liaison pivot-glissant : Liaison qui autorise une rotation et une translation selon un axe, mais empêche les autres mouvements.
Une liaison pivot-glissant autorise la translation et rotation selon un axe (z)
Mouvements libres : translation selon z et rotation autour de z
Mouvements bloqués : translations selon x,y et rotations autour de x,y
La liaison peut transmettre : forces selon x,y et moment autour de y
\(\left\lbrace \mathcal{T}_{liaison} \right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} X \\ 0 \\ Z \\ 0 \\ M_y \\ 0 \end{array} \right\rbrace\)
Utilisé dans les vérins hydrauliques, guidages en translation
Le torseur de liaison est \(\left\lbrace \mathcal{T} \right\rbrace = \left\lbrace \begin{array}{c} X \\ 0 \\ Z \\ 0 \\ M_y \\ 0 \end{array} \right\rbrace\)
• Liaison pivot-glissant : 2 degrés de liberté (translation et rotation selon un axe)
• Inconnues : 4 composantes non nulles dans le torseur de liaison
• Applications : Vérins, axes de machine-outil, guidages en translation
- Somme directe : \(\vec{R} = \sum \vec{F_i}\) et \(\vec{M}_A = \sum \vec{M}_A(\vec{F_i})\)
- Transport de torseur : Utiliser la relation de Varignon pour changer de point
- Recherche du point central : Point où le moment est colinéaire à la résultante
- Simplification par symétrie : Exploiter les propriétés géométriques du système
- La résultante d'un système de forces est un invariant du torseur
- Le moment varie selon la relation de Varignon lors du changement de point
- Un système de forces équivalent à un couple a une résultante nulle
- Deux systèmes de forces sont équivalents s'ils ont le même torseur
