Poutre simplement appuyée : Structure en équilibre avec deux appuis simples, l'un empêchant le déplacement vertical et l'autre permettant la rotation.
- Calculer la charge totale
- Appliquer les équations d'équilibre
- Déterminer les réactions d'appui
- Vérifier la solution
\(P = q \times L = 25 \times 20 = 500\) kN
\(\sum F_y = 0 \Rightarrow R_A + R_B - P = 0\)
Par rapport à A : \(\sum M_A = 0 \Rightarrow R_B \times L - P \times \frac{L}{2} = 0\)
\(R_B \times 20 - 500 \times 10 = 0\)
\(R_B = \frac{5000}{20} = 250\) kN
\(R_A = P - R_B = 500 - 250 = 250\) kN
\(\sum F_y = 250 + 250 - 500 = 0\) ✓
\(\sum M_B = 250 \times 20 - 500 \times 10 = 0\) ✓
Les réactions d'appui sont \(R_A = R_B = 250\) kN
• Charge uniforme : Équivalente à une force concentrée au centre de la poutre
• Symétrie : Pour une charge uniforme, les réactions sont égales
• Équilibre : 3 équations pour 3 inconnues (isostatique)
Charpente triangulaire : Structure composée de barres articulées formant des triangles, très stable et économique.
Triangle équilatéral avec charge P = 50 kN au sommet
Commencer par le nœud où la charge est appliquée
\(\sum F_x = 0 \Rightarrow N_{AB}\cos(60°) - N_{AC}\cos(60°) = 0\)
\(\sum F_y = 0 \Rightarrow N_{AB}\sin(60°) + N_{AC}\sin(60°) - P = 0\)
De la première équation : \(N_{AB} = N_{AC}\)
De la deuxième équation : \(2N_{AB}\sin(60°) = P\)
\(N_{AB} = \frac{P}{2\sin(60°)} = \frac{50}{2 \times 0.866} = 28.9\) kN
Par symétrie, \(N_{BC} = N_{AB} = 28.9\) kN
Les efforts dans chaque barre sont de 28.9 kN
• Méthode des nœuds : Équilibre des forces en chaque nœud
• Symétrie : Pour une structure symétrique, les efforts sont égaux
• Triangles : Forme stable qui résiste bien aux charges
Tour de transmission : Structure élancée destinée à supporter des lignes électriques, soumise aux charges de vent.
\(p = \frac{1}{2}\rho v^2\) où ρ = 1.225 kg/m³ (masse volumique de l'air)
\(p = \frac{1}{2} \times 1.225 \times 35^2 = 750\) Pa ≈ 735 Pa
\(F = p \times A \times C_x\) où A est la surface projetée et \(C_x\) le coefficient de traînée
Supposons une largeur de tour de 2m : \(A = 30 \times 2 = 60\) m²
\(F = 735 \times 60 \times 1.2 = 52.9\) kN
\(M_r = F \times \frac{H}{2} = 52.9 \times \frac{30}{2} = 793.5\) kN.m
Les fondations doivent résister au moment de renversement et à la force latérale
Le moment stabilisant doit être supérieur au moment de renversement
Le moment de renversement est de 793.5 kN.m
• Vent : Force proportionnelle au carré de la vitesse du vent
• Stabilité : Système de fondation robuste pour résister aux charges latérales
• Sécurité : Coefficients de sécurité pour les charges extrêmes
Ossature rigide : Structure composée de poteaux et poutres liés par des connexions rigides, permettant la continuité des efforts.
Charges permanentes (poids propre), charges d'exploitation (usage), charges climatiques
ELU (État Limite Ultime) : sécurité, ELS (État Limite de Service) : confort
La structure est hyperstatique, nécessitant des méthodes avancées pour le calcul
Utiliser des logiciels de calcul structural ou des méthodes manuelles (Cross, Clapeyron)
Calculer les contraintes maximales et comparer à la résistance des matériaux
Les efforts dépendent des combinaisons de charges et de la rigidité des connexions
• Eurocodes : Normes européennes pour le calcul des structures
• Sécurité : Coefficients partiels de sécurité sur les actions et matériaux
• Hyperstatisme : Structure avec plus d'inconnues que d'équations d'équilibre
Arc de pont : Structure courbe qui transfère les charges vers les appuis par compression, très efficace pour les grandes portées.
Portée de 40m avec une flèche de 10m, donnant un arc de rapport L/f = 4
Charges permanentes (poids propre), charges mobiles (véhicules), charges dynamiques
L'arc est principalement soumis à la compression, avec des efforts tranchants limités
Les appuis doivent résister à des efforts horizontaux importants dus à la poussée de l'arc
Calculer la capacité portante des fondations pour résister à la poussée horizontale
La poussée horizontale est \(H = \frac{wL^2}{8f}\) où w est la charge linéique
• Compression : L'arc est conçu pour résister principalement à la compression
• Poussée : Les appuis doivent résister à des efforts horizontaux importants
• Stabilité : Dimensionnement des fondations pour résister à la poussée
- Méthode analytique : Écrire les équations d'équilibre et résoudre le système
- Méthode graphique : Polygone des forces pour les systèmes plans
- Méthode des torseurs : Formalisme complet pour les systèmes spatiaux
- Principe des puissances virtuelles : Méthode énergétique pour les systèmes complexes
- Principe d'isolement : Séparer le système à étudier du reste du monde
- Modèle simplifié : Représenter les éléments par des objets mathématiques idéaux
- Hypothèses : Solide indéformable, frottements négligés, charges ponctuelles
- Validation : Vérifier la cohérence physique des résultats obtenus
