Poutre simplement appuyée : Structure en équilibre avec deux appuis simples, l'un empêchant le déplacement vertical et l'autre permettant la rotation.
- Calculer la charge totale
- Appliquer les équations d'équilibre
- Déterminer les réactions d'appui
- Vérifier la solution
\(P = q \times L = 10 \times 6 = 60\) kN
\(\sum F_y = 0 \Rightarrow R_A + R_B - P = 0\)
Par rapport à A : \(\sum M_A = 0 \Rightarrow R_B \times L - P \times \frac{L}{2} = 0\)
\(R_B \times 6 - 60 \times 3 = 0\)
\(R_B = \frac{180}{6} = 30\) kN
\(R_A = P - R_B = 60 - 30 = 30\) kN
\(\sum F_y = 30 + 30 - 60 = 0\) ✓
\(\sum M_B = 30 \times 6 - 60 \times 3 = 0\) ✓
Les réactions d'appui sont \(R_A = R_B = 30\) kN
• Charge uniforme : Équivalente à une force concentrée au centre de la poutre
• Symétrie : Pour une charge uniforme, les réactions sont égales
• Équilibre : 3 équations pour 3 inconnues (isostatique)
Grue mobile : Structure de levage mobile permettant de soulever des charges à différentes hauteurs et distances.
\(P = m \times g = 5000 \times 9.81 = 49050\) N = 49.05 kN
\(M_r = P \times d = 49.05 \times 8 = 392.4\) kN.m
Pour que la grue ne bascule pas : \(M_s > M_r\)
Où \(M_s\) est le moment stabilisant dû au poids de la grue
En général, on applique un coefficient de sécurité de 1.5 à 2.0
\(M_{admissible} = \frac{M_s}{coef_{securite}}\)
Les vérins hydrauliques doivent supporter les efforts de levage
Le moment de renversement est de 392.4 kN.m
• Stabilité : Le moment stabilisant doit être supérieur au moment de renversement
• Sécurité : Coefficient de sécurité de 1.5 à 2.0 pour les grues
• Dimensionnement : Calculer les masses et distances pour assurer l'équilibre
Bras de levage hydraulique : Système articulé permettant de soulever des charges à l'aide d'un vérin hydraulique.
Bras articulé avec vérin hydraulique et charge à soulever
Identifier les forces : charge F, effort hydraulique \(F_h\), réactions aux articulations
Par rapport au point d'articulation : \(F_h \times c \times \sin\theta = F \times a\)
\(F_h = \frac{F \times a}{c \times \sin\theta}\)
\(F_h = \frac{20 \times 2}{1.5 \times \sin(60°)} = \frac{40}{1.5 \times 0.866} = 30.8\) kN
L'effort hydraulique est plus grand que la charge due au bras de levier
L'effort hydraulique nécessaire est de 30.8 kN
• Bras de levier : Plus le bras est long, plus l'effort est amplifié
• Hydraulique : Le vérin exerce une force qui compense le moment de la charge
• Position angulaire : L'efficacité varie selon l'angle θ
Structure triangulaire : Système de barres articulées formant des triangles pour assurer la stabilité.
Triangle équilatéral avec charge P = 10 kN au sommet
Commencer par le nœud où la charge est appliquée
\(\sum F_x = 0 \Rightarrow N_{AB}\cos(60°) - N_{AC}\cos(60°) = 0\)
\(\sum F_y = 0 \Rightarrow N_{AB}\sin(60°) + N_{AC}\sin(60°) - P = 0\)
De la première équation : \(N_{AB} = N_{AC}\)
De la deuxième équation : \(2N_{AB}\sin(60°) = P\)
\(N_{AB} = \frac{P}{2\sin(60°)} = \frac{10}{2 \times 0.866} = 5.77\) kN
Par symétrie, \(N_{BC} = N_{AB} = 5.77\) kN
Les efforts dans chaque barre sont de 5.77 kN
• Méthode des nœuds : Équilibre des forces en chaque nœud
• Symétrie : Pour une structure symétrique, les efforts sont égaux
• Triangles : Forme stable qui résiste bien aux charges
Panneau solaire : Structure rectangulaire exposée aux forces du vent, nécessitant une fixation robuste.
\(p = \frac{1}{2}\rho v^2\) où ρ = 1.2 kg/m³ (masse volumique de l'air)
\(p = \frac{1}{2} \times 1.2 \times 20^2 = 240\) Pa
\(F = p \times S \times C_x\) où \(C_x\) est le coefficient de traînée
Supposons \(C_x = 1.2\) pour un panneau plat : \(F = 240 \times 2 \times 1.2 = 576\) N
Le moment de renversement : \(M = F \times h\) où h est la hauteur du centre de poussée
Les fixations doivent résister à la force du vent et au moment de renversement
Appliquer un coefficient de sécurité pour les vents extrêmes
La force du vent est de 576 N
• Vent : Force proportionnelle au carré de la vitesse du vent
• Stabilité : Système de fixation robuste pour résister aux intempéries
• Sécurité : Coefficients de sécurité pour les charges extrêmes
- Méthode analytique : Écrire les équations d'équilibre et résoudre le système
- Méthode graphique : Polygone des forces pour les systèmes plans
- Méthode des torseurs : Formalisme complet pour les systèmes spatiaux
- Principe des puissances virtuelles : Méthode énergétique pour les systèmes complexes
- Principe d'isolement : Séparer le système à étudier du reste du monde
- Modèle simplifié : Représenter les éléments par des objets mathématiques idéaux
- Hypothèses : Solide indéformable, frottements négligés, charges ponctuelles
- Validation : Vérifier la cohérence physique des résultats obtenus
